素数循序逐增现象与“素数黄金带”

张尔光

【摘 要】本文将寻求素数的表达式及其得数称之为“素数黄金带”，并从将正整数方阵变为棱阵的方法中，发现了素数的循序逐增规律，进而找到了一种可找到优质“素数黄金带”的形态。

【关键词】素数表达式；素数黄金带；形态

“素数黄金带”是素数研究的一个课题。这些年，笔者依照素数与自然数同存相随及循序逐增规律，对“素数黄金带”进行了研究和探索，取得了应有的成果。

所谓“素数黄金带”，是笔者根据人们寻找素数的方法，将“黄金含量”引进素数“域”里面而创立的名词。是指人们依照素数与自然数同存相随及循序逐增规律，为寻找素数而创立的表达式及其得数依序形成的“数字链条”。而这条“数字链条”的素数比率，就是其“含金量”。

“素数黄金带”的“含金量”有高低之分。笔者认为，如其素数比率等于或小于同自然数范围的素数比率的，则称之为劣质“素数黄金带”；如其素数比率为同自然数范围的素数比率的2至3倍的，则称之为普通“素数黄金带”；如其素数比率等于或大于同自然数范围的素数比率的3倍以上至4倍的，则称之为含金量较高的“素数黄金带”；如其素数比率大于同自然数范围的素数比率的4倍的，则称之为优质“素数黄金带”。

自古以来，不知有多少数学家为寻找“素数黄金带”创立了不少表达式。他们都希望能找到一条其得数全为素数的“素数黄金带”。可惜，至今还没能实现。

据笔者所知，比较有名的素数表达式有“费马素数”、“梅森素数”。数学家费马认为，形如22n+1的数是素数（n=0，1，2，3，4，…）。可事实作出了回答，费马素数，除了前5个得数是素数之外，人们至今还没找到第6个费马素数。

梅森素数是指形如2∧P-1的正整数，其中指数P是素数，常记为MP。若MP是素数，则称为梅森素数。事实证明，到目前为止，人们找到了48个梅森素数。从素数比率这个角度来说，梅森素数也不是一条优质的“素数黄金带”。但是，梅森素数对素数研究的最大贡献，是在于为人们寻找更大素数提供了便于计算、验证的式子。所以，进入电子计算机时代之后，人们新发现梅森素数，便是人们知道的最大素数。

笔者认为，类似于“当0

总而言之，寻找素数的式子还有很多。因笔者知之甚少，不够资格做更多的解读。但是，有一点可以肯定，其式子得数依序连续为40个素数的“素数黄金带”，恐怕难于找到。这是由素数特征所决定的。

这些年，笔者也在寻找“素数黄金带”。笔者依照素数与自然数同存相随及循序逐增规律，创立了多个式子，并对式子得数进行验证，属于理想的式子只有几个。其中，“6×m±1”式子算是优良的“素数黄金带”。此外，发现了一种可找到优质“素数黄金带”的形态。现将该式子和形态进行分析解读。

1 “6×m±1”式子的“素数黄金带”

笔者研究结果表明，“6×m±1”式子，按照m的个位数0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分为10条支线，此10条支线所计得的得数就是10条“素数黄金带”，且是含金量较高的“素数黄金带”。为此，笔者将此10条支线的前100个等式的得数素数比率进行了统计（表1）。

表1 “6×m±1”式子得数的素数比率分析表

注：自然数5至6000范围的素数比率为13.02%.

从表1看出，“6×m±1”式子中的10条支线的得数的素数比率，均大于同自然数范围的素数比率的3倍。由此可见，此10条支线是含金量较高的“素数黄金带”。

2 一种可找到优质“素数黄金带”的形态

笔者依照素数与自然数同存相随以及循序逐增的原理，应用矩阵的方法，发现了一种可找到多条含金量高的“素数黄金带”的形态。

笔者根据正整数方阵的原理，将自然数“1，2，3，4，5，6…n”依序按方阵形式排列，然后，再将这个方阵旋转90°，使之成为四棱矩阵（见图1）。从这个棱阵的排列数字中，便可发现一种有趣现象。

从图1看出，如将中线数划归与左半棱，那么，左半棱数字中存在素数的量明显多于右半棱。经验证，在自然数2至121（112）的范围，共有30个素数，其中左半棱的素数22个，右半棱只有8个。再认真细看左半棱的数字，不难发现，第3行的边线数至中线数的2个数均为素数，第5行的边线数至中线数的3个数均为素数，第11行的边线数至中线数的6个数均为素数。如将棱阵的自然数扩延至412（即1681），第17行的边线数至中线

图1数的9个数均为素数，第41行的边线数至中线数的21个数均为素数。经笔者对此种现象研究，发现此种现象就是“一种形态素数”。现以表格形式表达出来。见表2。

从表2的4个实例看出，它们有一个共同特征，就是中线数、左边线数、棱阵行次数均为素数。但不能因此就妄下定论，说具有这个特征的，循着其有序规律而求得的得数“链条”，必是一条纯金的“素数黄金带”。因为，笔者研究结果表明，具有这个特征的、循着其有序规律而求得的得数全为素数的，仅局限于此4个实例，“当0

笔者研究结果表明，“n2-n”的式子与“2×C2 n”的式子是同一个意思，即：

22-2=2×1=2×C2 2； 32-3=2×3=2×C2 3；

42-4=2×6=2×C2 4； 52-5=2×10=2×C2 5。

此后依次类推。

又组合数的循序逐增原理告诉我们，C2 n的组合数乃是自然数“1，2，3，4，5，…”的依次累加数，即：

1=C2 2；1+2=C2 3；1+2+3=C2 4；1+2+3+4=C2 5。

此后依次类推。

笔者将以上的规律加基数素数的方法，创立了“当基数素数+（2×C2 n）有可能是素数”的形态，并应用此形态找到了若干优质“素数黄金带”。笔者将此成果以表3表达出来，以与素数研究者共享。

表3 “当基数素数+（2×C2 n）有可能是素数”形态的4条“素数黄金带”

注：素数黄金带d，其（41+2×C2 2）至（41+2×C2 40）的39个式子得数全为素数，（41+2×C2 41）式子得数1681，是合数，为41的平方.表中的素数比率不含（41+2×C2 2）至（41+2×C2 40）的39个式子得数.

从表3看出，表中a、b、c、d四条“素数黄金带”的素数比率，均为同自然数范围的素数比率的5倍，甚至还高于“235状态”的10条“素数黄金带”的素数比率10个百分点，尤其是“素数黄金带d”，其素数比率遥遥领先，应该说是“素数黄金带”的王者。可见，表中a、b、c、d四条“素数黄金带”是优质“素数黄金带”。

在对“当基数素数+（2×C2 n），有可能是素数”的形态的研究中，笔者根据两素数差的原理，又发现了奇素数原理，即“奇素数+（2×C2 n）”式子的得数虽然不可能是全为素数，但是，凡是大于3的奇素数均可表为“一个小于其的奇素数+（2×n）之和”。笔者正是根据这个“奇素数原理”，发现了哥德巴赫猜想成立的证明方法（见《中国少年》2016年第三期《哥德巴赫猜想成立的两种证明方法》）。

[责任编辑：王楠]