基于分形特征的同步器齿环缺陷识别研究

赖科学, 李灿灿, 陈　朗, 何　涛

(湖北工业大学现代制造质量工程重点实验室， 湖北 武汉 430068)



基于分形特征的同步器齿环缺陷识别研究

赖科学, 李灿灿, 陈朗, 何涛

(湖北工业大学现代制造质量工程重点实验室， 湖北 武汉 430068)

[摘要]通过展开同步器齿环(齿环)内轮廓，发现其具有不规则、统计自相似性和相对平滑的特征。采用分形理论中的分形维数(FD)对其进行缺陷识别。首先，用结构函数法对(Weierstrass-andelbort)W-M函数模型进行分析，可得结构函数法计算相对平滑曲线的维数误差小；然后，基于齿环内轮廓展开曲线相对平滑的特性，采用结构函数法对正常和缺陷齿环内轮廓展开曲线进行分维计算。实验结果表明，正常齿环内轮廓展开线的分维不同于缺陷齿环的分维，从而通过维数差异实现对正常和缺陷齿环的识别。

[关键词]同步器齿环； 结构函数法； W-M函数； 分维

缺齿、缺耳以及齿形不规则等缺陷是困扰汽车变速箱中同步器齿环制造质量的重要问题之一[1-2]。通过对齿环内轮廓展开曲线的观察与分析，发现其具有不规则和统计自相似性特征。因此，本文采用分形理论方法对缺陷齿环进行识别。分形理论[3]用于物体轮廓缺陷识别，一般用分形维数(FD)对其进行定量描述，实现物体轮廓的有效表征。在进行物体轮廓的分形表征时，必须选择适当的维数计算方法。目前，计算物体表面轮廓分形维数的方法有盒维计数法、尺码法、方差法、均方根法和结构函数法[4]等，以上方法都有各自的特点和适用范围，如果采用的分形维数计算方法与实际分形集合的类型不相符，就会产生较大的计算误差。研究表明，齿环内轮廓展开线的维数范围一般在1.2~1.3之间。基于齿环内轮廓展开曲线维数较小的特征和结构函数法计算维数较小轮廓误差小的特点，结构函数法能够很好地识别缺陷齿环轮廓。本文首先用结构函数法计算W-M函数图像的维数，分析其使用范围；再根据齿环内轮廓展开线的特征，用结构函数法进行分维计算和比较，实现对正常和缺陷齿环的识别。

1结构函数法

设测量的轮廓高度为采样点数的任意增量，将表面轮廓曲线视为一个时间序列Z(x),则具有分形特征的时间序列能使其采样数据的结构函数满足[5]

S(f)=[Z(x+f)-Z(x)]2=Cf4-2D

(1)

式中:[Z(x+f)-Z(x)]2表示差方的算术平均值,f是数据间隔的任意选择值。针对若干尺度f对轮廓曲线的离散信号计算出相应的S(f),然后在对数坐标中得logS~logf直线的斜率T,如此，则分形维数D与斜率T的转换关系为

(2)

2W-M函数及分形测度验证

2.1W-M函数曲线

W- M 函数是连续且不可微的函数演变而成的。W -M 分形函数可用于刻画表面轮廓[6]。1991 年, M.Majumdar与B. Bhushan提出了对原W -M函数的修正，其公式为

(11)

(3)

其中：x表示轮廓的水平位置坐标，Z(x)为随机表面轮廓高度，D为轮廓分形维数，G是特征尺度系数，γn表示轮廓的空间频率，γ为大于1的常数，nl为轮廓最低截止频率相对应的系数。

2.2W-M函数曲线设计

W- M函数曲线属于标准分形函数曲线,它的理想分形维数为D。由式(3)知,W-M函数主要由模型D、G、γ、n所决定,取G=0.01，γ=1.5，n=1000,x在[0. 6,0. 7]取值，Δx=0.001。D=1.1，D=1.5，D=1.8时，其模拟结果如图 1所示。

(a)D=1.1

(b)D=1.5

(c)D=1.8图 1　W-M函数曲线

2.3结构函数法对W-M函数的分形验证

通过结构函数法对图1中的曲线进行维数计算，其中数据间隔f分别取2，4，8， …， 2n。图2中分别表示了结构函数计算理论分形维数为1.1、1.5、1.8的测度-尺度的双对数关系，其对应拟合直线的斜率T分别为1.7289、1.1035、0.6546。通过式(2)，可得到函数结构法计算W-M函数曲线维数(表1)。

图 2　W-M函数曲线的双对数拟合直线

理论维数实际计算维数相对误差/%D=1.1d=1.13553.23D=1.5d=1.44803.47D=1.8d=1.67277.07

由表1可知，当曲线的理论分形维数越小时，结构函数法计算值越接近理论值，随着曲线的维数增加，其计算结果误差越大。实验结果表明，结构函数法针对轮廓曲线较为平滑的分形维数计算结果误差越小，轮廓曲线就越复杂，其计算结果误差亦越大。

3结果函数法对齿环轮廓分形维度测定

3.1齿环采集系统

齿环样本图像的采集系统如图3所示。相机安装于齿环正上方，在齿环下面放置一个背光源，并距离齿环上端100 mm处放置一个环形光源。这种图像采集系统能较好地去除噪声，保留齿环的轮廓和表面信息。对样本1(正常齿环)和样本2(缺陷齿环)进行图像采集，采集图像大小为512×512，采集样本图像如图4所示。

图3　图像采集系统

图 4　齿环样本原始图像

3.2齿环内轮廓展开流程

对齿环内轮廓进行维数计算时，需要先对其进行预处理并展开，再用结构函数法计算其展开后曲线的维数，其计算流程如图5所示。

图 5　齿环内轮廓维数计算流程图

现以样本1图像为例，详细说明其维数的计算。首先对样本图像进行二值化，结果如图6a所示。直接对二值图像进行轮廓提取会存在齿环内部细小轮廓，需要对其进行膨胀处理，其计算公式为

(4)

式中：b(s,t)为平坦结构元，[g⊕b](x,y)为图像g中与b重合区域的最大值。对膨胀后图像进行轮廓提取，获得齿环内轮廓圆，并采用最小二乘法拟合最接近齿环轮廓提取线的基准圆，计算得到该基准圆的圆心坐标(x0,y0)[7]。

图 6　齿环样本1预处理

(5)

找出这一系列R值中的最小值

(6)

则展开后轮廓曲线上所有点的高度

h=R-Rmin+1

(7)

根据式(5)-(7)对样本1和样本2的内轮廓进行展开，得到样本的内轮廓展开曲线如图7所示。

图 7　齿环内轮廓展开曲线

3.3齿环维数计算与分析

用结构函数法对样本1内轮廓展开线进行分形维数计算，当数据间隔f为10，得到测度-尺度的双对数离散点(图8)。可见所有离散点成曲线分布，其拟合直线的斜率T不能准确表示分维D。通过实验分析，本文选取前30个离散点进行线性拟合(图9)，得到拟合直线的斜率T为1.659 0，并通过式(2)计算出齿环内轮廓展开线的分形维数D为1.170 5。

图 8　所有的点的分布图

图 9　前30个点的双对数拟合图

用结构函数法对9组正常和缺陷齿环内轮廓展开曲线样本进行维数计算，结果如表2所示。正常组和缺陷组齿环的平均维数分别为1.174 5和1.154 0，动态范围分别为±0.005 9和±0.007 3。根据表3中改进差分盒维法的计算结果得到分布趋势(图10)。正常组齿环的维数大于缺陷组齿环，两者存在一定间距，且各自平稳，能够实现正常和缺陷齿环识别。

表2　正常和缺陷齿环内轮廓展开曲线的维数

图10　齿环分形维数对比图

4结论

1)结构函数法对轮廓曲线分形维数计算结果误差随着曲线复杂度的增加而增大。

2)结构函数法可以用于区别正常和缺陷齿环，且具有一定的稳定性，具工程应用价值。

[参考文献]

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[3]Mandelbrot B . The Fractal Geometry of Nature, Henry Holt and Company[M],New York: henry holt & co, 1983.

[4]朱华,葛世荣.结构函数与均方根分形表征效果的比较[J].中国矿业大学学报,2004(04):34-37.

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[6]乔忠云.基于Matlab复合材料磨损表面形貌W-M分形模型及其模拟[J].煤矿机械,2007(10):37-38.

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[8]Gonzalez Rl C， Woods R E. Digital Image Processing [M]. Third Edition.北京： Publishing house of electronics industry,2011：428-429.

[责任编校： 张众]

Synchronizer Gear Ring Defect Recognition Based on Fractal Characteristics

LAI Kexue, LI Cancan, CHEN Lang, HE Tao

(HubeiKeyLabofModernManufactureQualityEngin.,HubeiUniv.ofTech.,Wuhan430068,China)

Abstract：Through expanding the synchronizer gear ring (gear ring) outline, the paper found that it has an irregular, statistical self-similarity and relatively smooth features, using fractal dimension (FD) of fractal theory for defect identification. Firstly, the study analyzed the (Weierstrass-andelbort)W - M function model using the structure function method, concluding that the error is small after using such a method to calculate the fractal dimension of the smoother contour curve. Secondly, since the gear ring contour curve is relatively smooth, the structure function method was adopted to calculate the fractal dimension of inner outline curve of normal and defect gear rings. Experimental results show that fractal dimension of normal gear ring inner contour line is greater than the defects, implementing the dimension identification of normal gear and defect rings.

Keywords：synchronizer gear ring; structure function method; W-M function；fractal dimension

[中图分类号]TP391.4

[文献标识码]：A

[文章编号]1003-4684(2016)01-0008-04

[作者简介]赖科学(1990-)， 男， 四川隆昌人，湖北工业大学硕士研究生，研究方向为图像处理技术

[基金项目]国家自然科学基金(51275158)

[收稿日期]2015-11-16