整式乘法中的思想方法

□李庆社

整式乘法中的思想方法

□李庆社

《整式乘除》一章中蕴涵着诸多的数学思想方法，现作如下归纳，供同学们学习时参考.

一、字母代数的思想

《整式乘除》中公式、法则的推导过程大多都是从具体的数开始，通过字母推导出一般的结论.计算时常常用字母代数，能起到化繁为简、化难为易的作用.

分析：设字母代数进行计算.

解：令a＝2000，

则2001＝a＋1，1999＝a-1，

原式＝20002-2001×1999

＝a2-（a＋1）（a-1）

＝a2-a2＋1＝1.

点评：本题引入字母a＝2000，将数2001和1999变形得2001＝a＋1，1999＝a-1，运用乘法公式，避免了幂的运算和大数字的乘法运算，从而使问题得以简便解决.

二、整体思想

在应用幂的法则和乘法公式时，常常将一个代数式视为一个整体，整体代入公式进行计算.整体思想在解题中的应用，新颖独特，简捷明快.

例2已知x2-x-1＝0，则代数式（x3-2x＋1）2＝________.

分析：视x2-x-1为一个整体，将待求的式子进行变形，整体代入.

解：x3-2 x＋1＝x（x2-x-1）＋（x2-x-1）＋2＝2.

∴原式＝4.

点评：本题若从已知条件求出字母x的值，代入计算，因x2-x-1＝0是一个二次方程，暂时无法求出，而整体变形代入则可避开这个困难.

三、逆向思维的思想

逆用幂的运算法则和性质，往往能使计算简捷.

例3已知xm＝2，xn＝3，求x3m-2n.

分析：x3m-2n＝x3m÷x2n

＝（xm）3÷（xn）2，

将xm、xn整体代入便可.

解：x3m-2n＝x3m÷x2n

点评：本例逆用同底数幂的除法法则，但解题中不能误以为x3m-2n＝x3m-x2n.

四、配方法

整式乘法中的完全平方公式的推导过程就是配方的过程.配方法在代数变形中有着广泛的应用.

例4已知a2＋2 a＋b2-4 b＋5＝0，求（2 a＋b）2016的值.

分析：将已知条件配方，再利用非负数性质求解.

解：（a＋1）2＋（b-2）2＝0，

∵（a＋1）2≥0，（b-2）2≥0，

∴a＝-1，b＝2.

则（2 a＋b）2016＝0.

点评：本题将已知条件配方成两个非负数的和，根据非负数的性质求解.

常见的非负数形式主要有：

五、化归思想

例5已知ax＝2，ay＝3，az＝6，求a3x+2y-z的值.

分析：求解本题的关键在于寻找求值式与已知的关系，可用下面两种解法.

解法一：由ax＝2，得（ax）3＝23，即a3x＝8.

由ay＝2，得（ay）2＝32，即a2y＝9.

又az＝6，

∴a3x·a2y÷az＝8×9÷6＝12.

即a3x+2y-z＝12.

解法二：a3x+2y-z＝a3x·a2y÷az＝（ax）3·（ay）2÷az＝22×32÷6＝12.

点评：解法一根据等式两边可以同时乘方的原理，从已知中构造出求值式中有关的a3x、a2y及az，再根据同底数幂的乘法、除法性质构造出求值式a3x+2y-z，这种解法的基本思路是由已知向目标转化，即“已知→目标”；解法二利用幂的运算性质的可逆性，即逆用幂的乘方性质，同底数幂的乘法、除法性质，求解过程直接了当，一气呵成，这种解法的基本思路是由目标向已知转化，即“目标→已知”.

六、建模思想

例6计算11×101×10001.

分析：若直接相乘，计算量很大，但仔细观察可知：11＝10＋1，101＝100＋1，10001＝10000＋1，所以在原式中只要乘以（10-1），即可连续运用平方差公式计算.

＝11111111.