自主招生选修要点问题讲解

江苏 吴 俊

自主招生选修要点问题讲解

江苏 吴 俊

立足高考，链接自招，在讲练中感悟提升。

在选考内容（相对高考来说）中，涉及的主要内容有：分子动理论、理想气体的状态方程、热力学定律、振动与波动、几何光学、物理光学、光电效应、能级跃迁、原子物理、动量守恒定律和能量守恒定律的综合应用等，对应方法有图象法、对称法、类比法、近似法等。这些内容和方法在高考中也经常见到，所以理清这些考点一举两得。除此之外，应对自主招生考试，还要补充学习参考圆、多普勒效应、相对论、平面镜成像、透镜、恢复系数等。

一、微量估算——阿伏加德罗常数的应用

【例1】（2011·华约自招）已知在压强不太大、温度不太低的情况下，气体分子本身的大小比分子间的距离要小得多，因而，在理想气体模型中通常会忽略分子的大小。已知液氮的密度ρ＝810kg·m-3，氮气的摩尔质量Mmol＝28× 10-3kg·mol-1。假设液氮可看作是由立方体堆积而成的，根据所给的数据对标准状态下的氮气做出估算，说明上述结论的合理性。

【点悟】在热学中，微量运算还有分子数量的估算、分子大小（油膜法测分子直径）、分子质量、分子间距、分子力大小的估算等，这些问题都涉及宏观量向微观量转换，在转换中要正确建模，巧用阿伏加德罗常数牵线搭桥。

二、气缸问题——气体实验定律的综合应用

理想气体的状态方程表述了一定质量的气体压强p、体积V和热力学温度T之间的关系：

道尔顿分压定律：混合气体的压强等于各组分的分压强之和。

图1

（1）两个活塞的横截面积之比SA：SB；

（2）气缸内气体的最后温度；

（3）在加热气体的过程中，气体对活塞所做的总功。

【解析】（1）平衡时气缸A、B内气体的压强相等，故

由①式和题给条件得SA∶SB＝2∶1 ②

（2）两活塞上各放一质量为2m的质点前，气体的压强p1和体积V1分别为

两活塞上各放一质量为2m的质点后，B中活塞所受到的气体压力小于它和质点所受重力之和，B中活塞将一直下降至气缸底部为止，B中气体全部进入气缸A。假设此时气缸A中活塞并未上升到气缸顶部，气体的压强p2为

设平衡时气体体积为V2。由于初态、末态都是平衡态，由理想气体状态方程有

这时气体的体积小于气缸A的体积，与活塞未上升到气缸顶部的假设一致。

设此时气缸内气体的温度为T，由状态方程有

（3）升高恒温槽的温度后，加热过程中，A活塞上升量为

【点悟】（1）解决理想气体状态变化问题时，首先要明确研究对象，找准初末状态的物理量，特别是压强，针对“活塞”压强或者“水银柱”压强，可以利用平衡法或者牛顿运动定律。

（2）活塞分为导热和绝热两种，很多问题中涉及功能问题，所以审题时一定要看清关键词，不要一概而就。功能问题的定量运算中要注意功、能的正负号及其含义。

三、干涉问题——波的叠加原理的典型应用

在几列波重叠的区域内，每个介质质点都将同时参与几列波引起的振动，每个质点的振动都是由几个分振动合成的。故在任一时刻，每个质点的位移都是几列波各自的分振动引起的位移的矢量和。这种现象称为波的叠加。

【例3】（2014·卓越自招）如图2所示，空间中有两个机械波波源A、B，其振动同步且振幅相同，已知A、B两点的间距为两个波长，考查空间中一点C的干涉情况，其中，C到A的距离为1.5倍波长，且AC垂直于AB。设C点的振动频率是A点处振动频率的m倍，C点的振幅是A点振幅的n倍，则下列选项成立的是 （ ）

图2

A.m＝1 B.m＝2 C.n＝1 D.n＝2

【解析】两列波形成干涉的条件是：两列波的频率相同，干涉中不会改变波的频率，由此可知：m＝1；如果两列波的振动方向相同，根据波的叠加原理：振动位移矢量叠加，合位移为两列波在此位置的位移的矢量和：由勾股定理可知B、C两点的距离为2.5λ，故A、B两波源到达C点的距离之差等于一倍的λ，即波长的整数倍，所以C点的振动加强，故C点的振幅为这两列波的（相同）振幅的和，n＝2，A、D项正确。

【答案】AD

【点悟】自主招生对干涉的命题考查主要表现为两个方面，一个是对实际应用现象的解释，另一个就是加入了数理元素。不管哪种问题，解决时都要明确发生干涉的必要条件是频率相同。

若设两列波到某一点的波程差为Δs。若两波源振动情况完全相同，

加强区始终加强，减弱区始终减弱，加强区的振幅A＝A1＋A2，减弱区的振幅A＝｜A1-A2｜。

四、棱镜问题——光的折射定律的综合应用

折射定律的数学表达式是n1sini1＝n2sini2。常见问题有视深、视高、棱镜、蒙气差等；全反射与高考要求雷同。

【例4】（2011·北约自招）如图3所示，等腰直角三角形棱镜ABC，一组平行光垂直斜边AB射入。

图3

（1）如果光线不从AC、BC面射出，求三棱镜的折射率n的范围。

（2）如果光线顺时针转过θ＝30°，即与AB成60°角斜向下，不计反射两次以上的光线，当n取（1）中最小值时，能否有光线从BC、AC边射出？（不考虑经过多次反射的情况）

【解析】（1）光线穿过AB面后方向不变。在AC、BC面上的入射角均为45°，发生全反射的条件为

（2）在n取时，全反射的临界角为iC＝45°

折射光线如图4所示，

图4

所以光线可以从BC边射出。

θ＝45°＋α＞iC＝45°

所以光线在AC边发生全反射，不可以从AC边射出，因此只有BC边有光线射出。

【点悟】就几何光学的内容，自主招生的考查要求高于高考，综合性更强，另外相对高考还有超纲问题，如2013年自主招生华约卷中的凸透镜成像问题、2012年北约卷中的平面镜成像个数问题等。

全反射现象是自主招生和高考命题的热点交汇处。对于全反射问题主要抓住条件，即光从光密介质进入光疏介质时，然后再判断入射角是否大于等于临界角，若满足就发生全反射。在发生全反射时一定要借助光路图作答。

五、电子偶数——牛顿运动定律规律的应用

物体做圆周运动时存在供需关系。当F供＝F需时，物体做匀速圆周运动；当F供＜F需时，物体做离心运动；当F供＞F需时，物体做近心运动。常见问题有卫星公转和电子绕核运动等。

【例5】（2012·清华保送）物理学家在微观领域发现了“电子偶数”这一现象。所谓“电子偶数”就是由一个负电子和一个正电子绕它们的质量中心旋转形成的相对稳定的系统。已知正负电子的质量均为m，电量大小均为e，普朗克常数h，静电力恒量k。

（1）用波尔模型推算“电子偶数”的基态半径；

（2）求赖曼线产生光子的最高频率。

赖曼线产生光子的最高频率理解为从n＝∞跃迁到n＝1的轨道产生。

【点悟】在波尔能级问题中，rmv＝nh/2π也是属于超纲内容，但是作为近代物理学中的重要发现，这些大学初步知识是需要掌握的。在计算氢原子总能量时，不要混淆电子的动能、系统的电势能和总能量的差异。

六、碰撞问题——动量守恒定律和能量守恒定律的综合应用

动量守恒定律：相互作用的物体组成的系统不受外力或所受合外力为零时，这个系统的总动量就保持不变，这就是动量守恒定律。表达公式：m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2。

【例6】（2011·华约自招）如图5所示，竖直墙面和水平地面均光滑，质量分别为mA＝m，mA＝3m的A、B两物体如图所示放置，其中A紧靠墙壁，AB之间有质量不计的轻弹簧相连。现对B物体缓慢施加一个向左的力，该力做功W，使AB之间弹簧被压缩但系统静止，后突然撤去向左推力解除压缩，求：

图5

（1）从撤去外力到物块A运动，墙壁对A的冲量大小；

（2）AB都运动后，A、B两物体的最小速度各是多大？

此时墙壁对A的冲量等于弹簧对A冲量的大小，也等于弹簧对B的冲量的大小，则

（2）弹簧恢复原长后，物体A的速度为最小值，为vAO＝0，物体A离开墙壁后，弹簧伸长，A的速度逐渐变大，B的速度逐渐减小，当弹簧恢复原长时，物体A的速度达到最大值，为vA，物体B的速度减小到最小值，为vB，在此过程中系统的动量守恒，机械能守恒，有：

【点悟】（1）在自主招生命题中，对力学三大定律的综合性应用要求更高。三大定律分别为：牛顿运动定律（∑F＝ma）、动量守恒定律（m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2）、能量守恒定律（E总＝恒量），俗称三把金钥匙。在处理两大守恒定律综合性问题中，首先要明确研究对象，判断对象是否满足守恒条件，对于能量守恒定律要分析能量转化的过程，以流程图的方式呈现更利于列出能量方程。

对于动量守恒定律，使用时要注意“四性”，即矢量性、同时性、相对性、普适性。而追碰问题中要注意系统动量是否守恒、系统能量不能增加，追碰时要注意判断追与被追者速度的比较，即合理性。

小试身手

1.（2012·卓越自招）在两端开口竖直放置的U形管内，两段水银封闭着长度为L的空气柱，a、b两水银面的高度差为h，现保持温度不变，则 （ ）

A.若再向左管注入些水银，稳定后h变大

B.若再向左管注入些水银，稳定后h不变

C.若再向右管注入些水银，稳定后h变大

D.若两管同时注入些水银，稳定后h变大

2.（2011·卓越自招）如图所示，两段不可伸长细绳的一端分别系于两竖直杆上的A、B两点，另一端与质量为m的小球D相连。已知A、B两点高度相差h，∠CAB＝∠BAD＝37°，∠ADB＝90°，重力加速度为g。现使小球发生微小摆动，则小球摆动的周期为 （ ）

3.（2011·华约自招）在杨氏双缝干涉实验中，如果单色光源S从如图所示的中轴位置沿垂直于SO的方向向上移动一段微小的距离，则中心干涉条纹向何方向移动？相邻明条纹间的间距如何变化 （ ）

A.相邻明条纹间的间距不变，中心干涉条纹向上移动

B.相邻明条纹间的间距变大，中心干涉条纹向下移动

C.相邻明条纹间的间距不变，中心干涉条纹向下移动

D.相邻明条纹间的间距变小，中心干涉条纹向上移动

5.（2011·卓越自招）利用光的干涉可以测量待测圆柱形金属丝与标准圆柱形金属丝的直径差（约为微米量级），实验装置如图所示。T1和T2是具有标准平面的玻璃平晶，A0为标准金属丝，直径为D0；A为待测金属丝，直径为D；两者中心间距为L。实验中用波长为λ的单色光垂直照射平晶表面，观察到的干涉条纹如图所示，测得相邻条纹的间距为Δl。

（2）若轻压T1的右端，发现条纹间距变大，试由此分析D与D0的大小关系。

6.（2014·华约自招）在磁场中，一静核衰变成为a、b两核，开始分别做圆周运动。已知a和b两核圆周运动的半径和周期之比分别为Ra∶Rb＝45∶1，Ta∶Tb＝90∶117。此裂变反应质量亏损为Δm。

（1）求a和b两核的电荷数之比qa/qb；

（2）求a和b两核的质量数之比ma/mb；

（3）求静核的质量数和电荷数；

（4）求a核的动能Eka。

参考答案

1.BCD 【解析】对气体，从右管看，其压强为p＝ρgh右＋p0，若再向左管注入些水银，p＝ρgh＋p0，因为气体压强不变，所以h不变，B项正确；若再向右管注入些水银，压强增大，所以稳定后h变大，C项正确；同理D项正确。

2.D 【解析】因为∠CAB＝∠BAD＝37°，所以，如图所示，作竖直辅助线DE，AB的垂线DF，F为垂足，单摆可以看成是摆长为而重力加速度在该方向的投影为g′＝gcos∠EDF＝gcos∠BDF，所以单摆的周期为。

4.【解析】令ΔU表示系统内能的增量，Q和W分别表示系统吸收的热量和外界对系统所做的功，由热力学第一定律，有

令T1、T2分别表示状态A和状态B的温度，有

令p1、p2和V1、V2分别表示状态A、B的压强和体积，由（2）式和状态方程可得

要系统吸热，即Q＞0，由以上各式解得

（3）由电荷与质量之比，可设ma＋mb＝119m0，qa＋qb＝46q0，其中m0、q0为定值，单位分别为一个原子质量单位和一个单位正电荷，可推测m0＝2，q0＝2，此时静核为，则此衰变为的α衰变。

（作者单位：江苏省江阴市第一中学）