利用“基本不等式”求最值时的常见错误剖析

丁称兴��

利用基本不等式求最值是高中数学求最值的基本方法之一.在运用基本不等式求最值时应注意以下三个方面：（1）表达式中含变量的各项均为正；（2）表达式中含变量的各项之和（或积）应为定值；（3）表达式中含变量的各项可以相等.许多同学由于对基本不等式的使用条件理解不透彻，导致解题过程中出现错误.下面我们首先简要回顾基本不等式的内容：

1.基本不等式：a+b2≥ab

（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0；

（2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.

2.利用基本不等式求最值问题：已知x>0，y>0，则

（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2p.（简记积定和最小）

（2）如果和x+y是定值q，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是q24.（简记和定积最大）

这三个条件简称为“一正，二定，三相等”.其次我们就以例题的形式指出同学们在使用基本不等式时常常出现的错误.

一、忽视取“正”条件

基本不等式的两个变量都必须是正实数.如果两个变量异号或同为负实数，不等式要么不成立，要么不等号的方向会改变.

例1已知实数x≠0，求y=x+4x的取值范围.

错解：由基本不等式得，y=x+4x≥2x·4x=4，故y=x+4x的最小值是4，即取值范围是[4，+∞）.

错因分析：因为x，4x未必是正数，故不能直接用基本不等式来解题.

正解：当x>0时，y=x+4x≥2x·4x=4，当且仅当x=4x，即x=2时取等号；

当x<0时，-x>0，-4x>0，则-x+（-4x）≥2（-x）·（-4x）=4，当且仅当-x=-4x，即x=-2时取等号，即y=x+4x=-[（-x）+（-4x）]≤-4.

故y=x+4x的取值范围为（-∞，-4]∪[4，+∞）.

二、忽视“定值”情况

用基本不等式求最值时必须满足和为定值或积为定值.如果不具备“定值”条件时，需进行适当的“配凑”将其构造成定值.

例2求y=4x+2x-1（x>1）的最小值.

错解：∵x>1，∴4x>0，2x-1>0，∴y=4x+2x-1≥24x·2x-1=42xx-1，

当且仅当4x=2x-1，即x=1+32（x=1-32舍去）时，等号成立.

故y=4x+2x-1的最小值是43+4.

错因分析：本题所要求的是关于x的函数y=4x+2x-1（x>1）的最小值，由于4x与2x-1的乘积不是定值，也就是所谓的最小值是一个变化的量，最小值不确定，所以无法直接用基本不等式求解.本题所求的最小值必须是一个确定的值，也就是必须满足右边“积为定值”的条件，若将4x拆成4（x-1）+4即可.

正解：∵x>1，故x-1>0，∴y=4x+2x-1=4（x-1）+2x-1+4≥24（x-1）·2x-1+4=42+4，当且仅当4（x-1）=2x-1，即x=1+22（x=1-22）时取等号.

∴当x=1+22时ymin=42+4.

三、忽视“取等”条件情况

用基本不等式求最值时，必须保证等号能够取到.同学们经常会忽略取等号的条件，特别是两次取等的时候经常会出现前后矛盾情况.

例3若正实数a，b满足a+2b=1，求1a+1b的最小值.

错解：∵a+2b≥22ab，即22ab≤1，∴ab≤18，故1a+1b=a+bab≥2abab=2ab≥218=42，所以，1a+1b的最小值是42.

错因分析：此题两处用到基本不等式，忽视了取等的条件，两次取等情况a，b的取值不能完全满足，所以这个最小值是不对的.

正解：解法一（整体代入法）∵a，b都是正实数且a+2b=1，∴1a+1b=a+2ba+a+2bb=3+2ba+ab≥3+22，当且仅当2ba=ab，即a=2-1，b=2-22时，等号成立.故1a+1b的最小值是3+22.

解法二（妙用“1”的代换）∵a，b都是正实数且a+2b=1，∴1a+1b=（1a+1b）（a+2b）=3+ab+2ba≥3+22，当且仅当2ba=ab，即a=2-1，b=2-22时，等号成立.故1a+1b的最小值是3+22.

例4已知函数f（x）=x2-2x+ax，x∈（0，2]，其中常数a>0，求函数f（x）的最小值.

错解：f（x）=x2-2x+ax=x+ax-2≥2a-2，当且仅当x=ax，即x=a时取等号.故函数f（x）的最小值为2a-2.

分析：虽然考虑了取等的条件，但是忽视了等号是否能取到的条件.

正解：f（x）=x2-2x+ax=x+ax-2≥2a-2，当且仅当x=ax，即x=a时取等号.

当0

当a≥2，即a≥4时，f（x）在（0，2]上单调递减，所以当x=2时，f（x）的最小值为a2.

综上，当0

以上是使用基本不等式解题时常犯的几种错误，通过这样的总结和分析，希望对同学们解决有关基本不等式的问题有所帮助，在以后的学习中继续深刻理解“一正二定三相等”的本质含义.

（作者：丁称兴，江苏省溧水高级中学）