自由向量在解析几何中的应用

王玉光，李亚男



自由向量在解析几何中的应用

王玉光1，李亚男2

解析几何是数学专业学生一门重要的基础课程，其理论和方法对于后继课程有重要的基础作用；同时也是数学联系实际的重要体现，在工业生产和工程建筑等在内的生产实践和现实生活中都有重要的应用[1-3]．解析几何核心的思想就是把几何对象数量化，用代数的方法研究几何．为了实现这一目的，就必须寻找合适的工具，向量恰是实现上述目的的一个有力工具，因此在解析几何中起着举足轻重的作用．

1　自由向量的概念

向量源于现实生活中一类常见对象，用来表示那些既有大小又有方向的量，如力和速度等．与向量概念相对的是那些只有大小没有方向的量，即数量，如功和温度等．一般用有向线段来表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，所以向量有2个要素，一是长度，二是方向．既然如此，一个自然的问题就是会遇到长度和方向都一样的向量，此时一般规定，如果2个向量的大小相等，方向相同，那就称为相等向量，或者说这2个向量是同一个向量．由此可见，向量的起点在哪并不重要，或者说只要保持向量的长度和方向不变，起点可以随便选取．这就相当于一个向量可以自由移动，移动前后表示的是同一个向量，这就是自由向量的概念．

2　自由向量的应用

自由向量在几何中是一个极其重要的基本概念，几何中很多重要的对象都和这个概念有关．

2.1共线向量和共面向量如果2个向量都平行于同一条直线，就称这2个向量平行．由于自由向量的概念，如果一个向量和一条直线平行，则一定可以将该向量平行移动到该直线上．进而可知，和该向量平行的所有向量都可以移动到该直线上，所以，平行向量又称为共线向量．同理，如果一个向量和某个平面内的另一个向量平行，则称该向量平行于该平面．根据自由向量的概念，一定可以把该向量移动到该平面内，从而可知，所有与该平面平行的向量都可以移动到该平面内，因此称为共面向量．显然，共线向量和共面向量中的直线和平面不是唯一的．

2.2空间平面的点位式方程有的学生在学习过程中会有这样的疑惑，中学几何认为：二条相交直线确定一个平面，这是一个公理，而在解析几何中，平面的方程却不能仅有2个不共线的方位向量确定，还需要１个点，这是因为如果只给定２个不共线向量，由于自由向量的概念，可以任意找一点作为起点，这样就会得到无穷多平行平面，并不能确定唯一的平面．所以，要想得到唯一确定的平面就必须再给出平面上的一点，这就是空间平面的点位式方程要求给出平面的２个不共线方位向量和平面上一点才能确定的原因．尽管中学有二条平行直线确定一个平面这样的公理，但若给定２个平行向量相当于给了一条可以在空间平行移动的直线，也不能确定唯一的平面．即使给出起点，如果对２个方位向量方向不做要求也不能保证确定唯一平面．如果给出一点和２个共线的方位向量，就相当于给出经过给定点的一条直线，只有一条直线是不能确定平面的，得到的是经过该直线的有轴平面束．所以，在确定空间平面的点位式方程是需要给定一点和２个不共线的方位向量．

2.3空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角由于自由向量的原因，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角都可以转化为直线的方位向量之间、直线的方位向量和平面的法向量之间、平面的法向量之间的夹角．

2.4点到直线的距离和异面直线的距离由于自由向量的原因，可以将已知直线的方向向量的起点选为直线上的给定点，这样所求点到直线的距离就转化成一个平行四边形一边上的高，从而可以利用平行四边形面积（即向量积的模长）和对应边长（即方向向量的模长）的商得到；类似地，两异面直线间的距离转化为平行六面体的体积和对应底面积的商，也即转化成3个向量的混合积与2个向量的向量积计算问题．

学生在学习过程中之所以觉得有困惑甚至会出错，主要是课程一些基本概念不清，一些重要的学科意识没能够树立起来．所以，基本概念和学科意识对于课程的学习是至关重要的，只要这些基础扎实了，解决相应的问题才能够化繁为简，事半功倍，也只有这些基础扎实了，才能在学习过程中避免不必要的失误．

[1] 吕林根，许子道．解析几何[M]．4版．北京：高等教育出版社，2006

[2] 孟道骥．高等代数与解析几何[M]．北京：科学出版社，2010

[3] 丘维声．解析几何[M]．北京：北京大学出版社，2015

（1. 宁夏大学 数学计算机学院，宁夏 银川 750021；2. 河南理工大学 万方科技学院，河南 焦作 454000）

宁夏大学科学研究基金资助项目（ZR1414）