船舶的冰运动方程研究

余超(安徽省皖江船舶检验局,安徽芜湖241000)



船舶的冰运动方程研究

余超
(安徽省皖江船舶检验局,安徽芜湖241000)

摘要：由于破冰船航行区域及工作任务的特殊性，对于海冰与船体的相互作用越来越受到重视。了解冰的作用机理，对冰船间运动的数值模拟极其重要。本文对三维的冰运动方程进行了分析，并运用水弹性理论，对冰的平移、转动和变形方程的耦合作用进行了分析。

关键词：冰运动;水弹性理论;合

目前在经济快速发展、能源紧缺的情况下，海洋和极地新能源的开发备受关注，破冰船将为此承担不可替代的作用。破冰船在冰区作业过程中，海冰对其的作用力是破冰船设计中的主要载荷。为了对冰船间的作用进行数值模拟，必须对冰运动过程有准确的表示，这就涉及到冰运动方程的求解问题。

冰的运动可分为三部分，即平动、转动和变形，其方程如下所示。可见，其包含了刚性和弹性运动，本文运用水弹性理论对其进行分析，并对三者间的耦合作用进行了说明。

1冰运动方程

1.1平动方程

运用牛顿第二定律，即可得到方程1-1，其中M为单元冰的质量矩阵，U为单元冰的速度矩阵，Fi为冰块间的接触力矩阵。

1. 2、转动方程

根据动量矩定理：

Q为绕质心的动量矩：

其中，r为某点至质心的矢径：

则有：

而惯性矩表达式为：

可以得到：

从而可推导出冰运动的转动方程式1-2。

3、弹性变形方程

弹性变形方程1-3即为弹性变形的本构方程，其中Me为冰块的有效质量矩阵，ε、σ分别为冰块的应变、应力。

2水弹性理论

水弹性力学是研究惯性力、水动力及弹性力之间的相互作用现象的学科。它将流体对结构的作用和结构的响应统一起来进行研究，与传统理论相比，水弹性力学理论更准确地考虑了流体与船体结构之间的相互耦合影响,因而具有更加广泛的工程应用价值和发展前途。在水弹性理论中把干模态作为广义基函数，考虑包含流固耦合作用力在内的浮体所受的各种作用力，在浮体运动方程的基础上建立和求解主坐标运动方程。

在水弹性统一理论中，无论是计算广义质量、刚度、阻尼矩阵，还是计算广义波激力都需要结构的振动干模态。该方法是先把结构与流体分开，求出结构在真空中的固有频率和固有模态；根据实际需要进行模态截断，使自由度数大大减少；在做干模态坐标转换后再考虑流体的影响。因此，在进行模态叠加法分析时，把刚体的运动称为0阶模态，而将弹性体振动的固有模态称为r阶模态（r=1,2,….），并按照干模态法的理论来计算其附加质量。

2.1基本方程

对结构划分有限单元，则有

则单元应变能和动能分别为：

由哈密尔顿原理，即在任意时间间隔内动能与内部势能之差加上保守力和非保守力外力做功之和为零，可得：

Ce为单元阻尼力向量矩阵；Fe为集中力；Pe为分布面力；Qe为体积力；Re为内部平衡内力。

将（1-3）式化简可得：

将各单元的运动方程依次列出，并且把各个矩阵和列阵的大小均扩大为n×n和n×1，扩展处均添加零元素，然后将各式等号两端相加，Re为系统平衡内力，相加后抵消，可得到弹性浮体的系统运动方程为：

其中M、C、K分别为系统的总质量向量矩阵、总阻尼向量矩阵和总刚度向量矩阵；U为系统总节点位移向量列阵；P、F、Q分别为结构所承受的分布外力、集中力和体积力的等效节点力向量列阵。

2、系统响应的求解

以系统无阻尼的振型模态（干模态）为空间基底，通过坐标转换，使原动力方程解耦，求解n个相互独立的方程获得模态位移，进而通过叠加各阶模态的贡献求得系统的响应。

令物理位移向量：

pr( t )—广义位移向量，也称模态位移向量，即

D—振型向量（也称主模态）矩阵

可将结构运动方程转到模态空间中进行求解，将式（3-5）两边左乘DT可得到：

左侧的系数矩阵分别为结构广义质量矩阵、广义阻尼矩阵、广义刚度矩阵：

可以证明对于整体位移被刚性约束的弹性结构，各个主振型间具有正交性，因而广义质量矩阵[a],广义阻尼矩阵[b]和广义刚度矩阵[c]均为对角阵，从而解除了联立耦合关系。

至此，以节点位移U为待定变量的运动方程转化为以模态位移向量P为待定变量的运动方程，使数值计算得到了简化。当作用于结构上的广义力与广义位移向量之间的关系确定后，通过求解该运动方程，即可获得系统各模态的位移向量，进而可通过几何和物理关系求解其他变量值。

运动方程（3-7）也可相应的分为两组（刚性运动和弹性运动）：

3、附加质量

定义式（3-7）右侧为广义外力A，则各阶广义外力Ar由下式得到：

本文采用三维势流理论，对Ar中流体惯性力进行计算，并引入附加质量惯性矩，以在结构方程中考虑水弹性的影响。

定义包括刚体运动和弹性体振动的附加质量矩阵Mf为：

4、水弹性影响下的运动方程

在求解流固耦合下的结构动响应问题中，可以采用上面得到的附加质量矩阵以考虑水弹性影响，因此式（3-7）可写为：

所有广义外力A中的流体惯性力由附加质量矩阵Mf加以考虑。注意到由于附加质量耦合项的影响，上式中的广义质量矩阵不再是对角阵，各阶之间是相互耦合的，不能独立求解，因此在动响应计算中将所有阶（包括刚性运动和弹性体振动）统一联立求解。

3冰运动方程间的耦合

冰的运动方程可分为三部分，即平动、转动和变形，其包含了刚性和弹性运动，根据前一章3.1.3-3.1.4节，介绍的水弹性理论，在流固耦合下，刚性运动方程式（1-1）中的质量矩阵M和式（1-2）中惯性矩矩阵Ⅰ，弹性运动方程式（1-3）中的有效质量矩阵Me，是相互影响，相互耦合的，且都需要考虑由水弹性影响的附加质量矩阵。可知，由此三个方程耦合后的冰运动方程的广义质量矩阵不再是对角阵，因而不能独立求解。

参考文献:

[1]王志军,李润培,舒志．结构刚度变化对船舶水弹性响应的影响[J]．船舶工程，2001.

[2]万志男．超大型浮体的水弹性响应分析[J]．中国水运，2014.

[3]沈庆,陈徐均，江召兵.浮体和浮式多体系统流固耦合动力分析[M]．上海科学出版社，2011.

DOI编码：10.13646/j.cnki.42-1395/u.2016.01.014

中图分类号：U675.5

文献标识码：A

文章编号：1006－7973（2016）01－0049－02