根式背后的世界级难题！

顾森

斯里尼瓦瑟·拉马努金是印度最著名的数学家，也是世界上为数不多的数学天才之一.他几乎未受过系统的数学教育，所有的数学知识都是自学的，他在数论、连分数、数学分析、无穷级数等领域，都作出了很大的贡献.第一次世界大战期间，他的身体状况急剧恶化，最终于1920年离开人世，当时他才‘32岁，在短暂的一生里，他一共归纳整理出了3000多个漂亮的数学等式，其中有很多式子都别具一格，给后人以无数的启发.

拉马努金的很多研究成果，都以问题的形式发表在了《印度数学会杂志》上.1911年，他在第3期的《印度数学会杂志》上提出了这样一个问题：

这是他在《印度数学会杂志》上最早提出的问题之一.注意，这是一个无限嵌套的根式，各个根号前面的系数分别是1，2，3，…，拉马努金等了6个月，也没有收到一份答案.后来，他只好自己公布了答案：这个式子精确地等于3.而事实上，他总结出了一个更加普遍的公式：

而拉马努金原本提出的那个问题，其实只是上述公式中a=0，n=l，x=2时的特殊情形，

拉马努金很喜欢“把玩”根式，在191 1年至1919年，他一共向《印度数学会杂志》提供了58个问题，其中的很多问题都与根式有关.他在第6期的《印度数学会杂志》上问道：竞等于多少，很多时候并不容易.拉马努金在此提出的，就是这类问题的一种特殊形式：如何求出两个立方根之和（差）的平方根.

拉马努金在第7期的《印度数学会杂志》上还提出了一个类似的问题：

拉马努金对四次根式也有研究.他在第9期的《印度数学会杂志》上提出了这样的问题：

在同一期杂志中，他提的另一个问题则涉及到了五次根式：

在第11期的杂志上，甚至还出现了一些更高次的根式：

有时，拉马努金也会提出一些形式上迥然不同的根式问题，如：

注意，这个结论并不是显然的，你可以拿计算器用具体数值来验证一下.另一个类似的问题如下：

当然，同学们现在还无力解决这些问题，但同学们也一定能感受到，数学里的学问实在是太多太多了.这不，就连小小的根式背后，也有数不清的大难题呢！