概率论与数理统计课程教学模式探究

陈志高，朱恩文（长沙理工大学 数学与计算科学学院，长沙 410076）

概率论与数理统计课程教学模式探究

陈志高，朱恩文
（长沙理工大学 数学与计算科学学院，长沙 410076）

结合概率论与数理统计课程教学提出了三点研究体会： 概念教学直观化，多联系实际； 例题教学注重概念、性质以及问题的转化； 开设概率统计实验.

直观化； 例题教学； 实验

概率论与数理统计是高等学校理工科专业的一门重要的公共基础课，也是数学基础课中实践性和应用性较强的一门课程. 目前，概率论与数理统计已经广泛地应用于自然科学、社会科学、工程技术、工农业生产和军事技术中，并且与其他学科互相渗透和结合，成为近代经济理论、管理科学等学科的应用和研究中的重要工具，也是科学家和工程师、经济学家们最常用的工具. 因此理工科学生学好这门课程非常有必要，同时对完善自身知识结构有帮助，并为后续学习打下坚实的基础.

概率论与数理统计的研究对象是随机现象，随机现象具有不确定性，这使得该课程在理论上和方法上与高等数学、线性代数这些大学数学基础课程有较大差异. 该课程理论性较强，概念抽象难理解，思路比较独特，计算要求高，教学内容与现实生活联系比较紧密. 初学者如果对一些基本概念没理解好，加上高等数学课程学习不够扎实的话，学习起来会有些困难. 如何在课堂教学中深入浅出地讲授抽象概念，讲解解题技巧，调动学生学习的积极性从而取得较好的教学效果成为教师迫切需要解决的问题. 结合多年的概率论与数理统计课程的教学实践，我们做了一些有意义的探索.

1 概念教学直观化，多联系实际

概率论与数理统计中很多概念比较严谨、抽象，对于只有高等数学和线性代数基础的工科专业学生来说，理解起来有一定难度. 而概念学习是基础，是不能绕过去的一道坎. 因此，如何使学生正确地理解概念是摆在教师面前的一道难题. 教学中适当运用直观化的教学方法，通过一定的方式和手段，使数学概念易于接受和理解，能有效地提高课堂教学效果.

例如在零概率事件教学中，可以举个实际例子： 某同学会在7点40分到8点整这20分钟内到达教室，在这二十分钟内每个时间点到达是等可能的，问他在7点50分整到达教室是否有可能，概率为多少？再比如在光滑的教室里随机扔一只乒乓球，假设乒乓球在教室里任何一点停下来都是等可能的，问学生乒乓球有没有可能落在教室正中间？概率为多少？通过这样直观的例子引导学生积极思考，就能使学生较好地理解零概率事件.

概率论与数理统计和实际联系紧密，是该课程的特点. 概率论与数理统计课程教学中加强与实际的联系，使学生树立理论联系实际的学风，能提高对现实的认识，同时对学生更好地理解概念和提高运用知识解决实际问题的能力都有帮助. 概念是从一些实际问题中抽象出来的，具有高度概括性和广泛应用性. 因此在概念教学中多与实际相联系有助于学生理解概念的内涵与外延.

例如在样本概念教学中，学生难以理解概念中样本与总体同分布这一点，因此可以举个学生成绩的例子： 假设全班成绩服从正态分布N（μ，σ2），也就是说总体X服从N（μ，σ2），准备从学生试卷中随机抽取其中的n份，那么这n份成绩都与全班成绩有相同的分布. 如何理解？试想，假设全班有80%的同学考试及格，则抽取的每份试卷成绩都有80%的可能性是及格的，并且抽取的每份成绩在每个分数段中的概率和总体X落在对应每个分数段中的概率是一样的. 通过这样的实际例子，学生会对样本的概念有较好的理解. 再比如在极大似然估计中，如何理解极大似然估计的统计思想？可以举个查学生到课情况的例子： 如果随机的一次查到中，某同学准时到了，则有理由认为该同学平常基本上是准时来上课的. 因为在随机的一次试验中某事件发生了，可以认为该事件发生的概率是比较大的，这可以看成一个生活常识. 通过这样的例子，学生就自然而然地理解了极大似然估计的统计思想.

总之，在概念教学中注意直观化，多联系实际，则有可能起到事半功倍的效果.

2 例题教学注重概念、性质以及问题的转化

有学生反映： 概率论与数理统计课程听起来好懂，自己也看得懂教材，但就是不能得心应手的解题，经常碰到一些卡壳的题目. 究其原因还是对题目中相关概念的理解不够清晰，性质不能灵活运用，有时则是问题转化的技巧不够. 和高等数学不同的是，概率论与数理统计的习题往往有一定的概率意义，不理解透彻难以下手，甚至解错了还找不到错误的原因. 所以教师在例题教学中要在这些方面下工夫.

例如在两个随机变量的函数的分布一节中，学生对有些题目不会分析. 如例题： 设连续型随机向量（X，Y）的联合密度函数为f（x，y），求Z=X-Y的密度函数. 学生因为没有现成的公式可以直接使用，做起来感到有点吃力. 在已知连续型随机向量的密度函数而求两个随机变量的函数的分布中，可强调概念： 随机变量的函数不管是一元的还是多元的，都是一个随机变量. 求其密度函数的 一般思路是根据分布函数的定义先求分布函数，再通过对分布函数求导来求密度函数. 在求分布函数过程中，注意问题的转化，具体说来，若Z=g（X，Y ），则把P（Z≤z ）转化为P（g（X，Y）≤z ），再转化为. 在二重积分计算中要注意： 先分别找出f（x，y）≠0的区域以及满足不等式g（x，y）≤z 所包含的区域. 这两个平面区域的交集作为最终的积分区域. 其中g（x，y）≤z 所包含的区域与z的取值有关，所以一般要讨论z的取值变化产生两平面区域不同的交集的各种情况. 这里可以举几个例子来告诉学生如何根据z的取值变化分别求出两平面区域的交集.

另外，在中心极限定理的例题教学中，要使学生学会在题目中找出哪个随机变量可以表示为众多独立的随机变量的和. 因为根据中心极限定理，这样的随机变量一般服从或近似服从正态分布. 找到这样的随机变量后将其标准化后服从标准正态分布，往往可以解决相关问题.

从上面例子中可以看出，在例题教学中引导学生思考题目中的概率统计意义，从相关概念、性质入手把问题一步步转化成具体的计算表达式，对提高学生解决问题的能力是非常有益的.

3 开设概率统计实验

兴趣是最好的老师. 在概率论与数理统计课程教学中适当增加一些概率统计实验可以加深学生对基本概念、原理的理解，提高学生的学习兴趣，培养学生应用概率论与数理统计知识解决实际问题的能力和创新能力. 实验可从学生比较熟悉的excel软件入手，并让学生掌握mathematica、spss、sas等软件的使用，学会常见数据处理方法和基本编程. 实验教学能极大提高学生用概率统计知识解决所学专业中的相关问题的能力. 实验中应侧重培养学生掌握处理随机现象的基本思想与方法，提高数学素质和应用能力.

例如进行泊松分布、二项分布、几何分布、超几何分布、正态分布的验证性实验，将抽象的理论以直观的形式给出，能加深学生对概率统计理论的了解. 再如在泊松分布中改变λ的值，让学生观察图形的变化，从而理解参数λ的意义，并发现规律. 另外，在教材上中心极限定理没有证明，学生对定理理解不深，可以安排中心极限定理的直观演示实验，让学生对“大量独立同分布随机变量的和的分布近似服从正态分布”有直观的认识. 具体可以分两步： （1） 产生服从二项分布b（n，p）的n个随机数，取p=0.2，n=50，计算n个随机变量的和y以及（2） 将第一步重复m=1000组，并用这m组的数据作频率直方图进行观察. 输入<

4 小结

本文结合笔者多年的教学实践探讨了概率论与数理统计课程中概念教学、例题教学和实验教学三方面的问题，为高等学校工科概率论与数理统计课程教学改革做了一点有益的尝试，希望对从事概率论与数理统计教学的教师有所帮助.

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙，等. 概率论与数理统计教程[M[. 第2版. 北京： 高等教育出版社，2011

[2]梁小林，谢永钦. 概率论与数理统计[M[. 上海： 复旦大学出版社，2014

[3]复旦大学. 概率论[M[. 北京： 人民教育出版社，1979

[4]吴赣昌. 概率论与数理统计[M[. 北京： 中国人民大学教育出版社，2009

[5]吕传汉. 数学的学习方法[M[. 北京： 高等教育出版社，1990

[6]田万海. 数学教育学[M[. 杭州： 浙江教育出版社，1993

Exploration on Teaching Model of Probability and Statistics

CHEN Zhi-gao，ZHU En-wen
（Institute of Mathematics and Computing Sciences，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410076，China）

Combining course teaching of probability and statistics，research experience was introduced from three aspects： Visualization on concept teaching and being more practical； Pay attention to concept，property and transformation problem on the example teaching； Open probability science experiment.

visualization，example teaching，experiment

G642

A

1672-5298（2016）02-0089-03

2015-10-28

长沙理工大学校级教改项目（JG1344）

陈志高（1974- ），男，湖南沅江人，长沙理工大学数学与计算科学学院讲师. 主要研究方向： 概率论与数理统计