初等数学“三个模型”的数学思想研究

夏 磊

(无锡机电高等职业技术学校 本科部，江苏 无锡 214000)



初等数学“三个模型”的数学思想研究

夏 磊

(无锡机电高等职业技术学校 本科部，江苏 无锡 214000)

长期以来由于受到中国传统精英教育的影响，进入职业学校学习的学生普遍缺乏自信，职业学校对数学的教学明显存在以教师为中心，存在教材编写与专业建设和课程开发联系不强，文化功能被忽视的现象。基于此种现象，现将初等数学内容归纳整理，总结出了初等数学中“三个模型”的数学思想，从本质上把初等数学各部分内容通过三种形式找出了各自的联系，并通过不断变换和三个模型的有机结合，得到了初等数学的基本内容，加深学生对概念的理解和应用，引导学生领会和掌握隐含在数学课本内容背后的数学思想方法，建立科学的数学观念，促进整体素质的提高。

三个模型；初等数学；数学思想

一、当前职业教育数学教学中存在的问题

(一)职业教育中初等数学发展的现状与认识

长期以来，受到中国传统精英教育的影响，职业教育发展困难重重。职业学校中的学生多数是成绩中等及中等偏下的，但是进入职业学校学习的学生大部分都不是心甘情愿的，部分职业学校的学生在和普通高中的学生比较时，缺乏自信，并且这不仅仅是学生个人的想法，有一些教育工作者在教学工作中也给学生灌输了这样的思想。[1]从数学课程的编排上来看，职业学校对于数学的教学明显存在课程内容和教材改革滞后，课程模式单一的问题。在教育和教学方式上出现了以教师为中心，教材编写与专业建设和课程开发联系不强，文化功能被忽视的现象。

(1)教学模式

不管是职业类学校还是普通高校(高中)，其教学模式都是需要随着社会需求以及专业知识的不断变化进行变革。[2]尤其是在当代社会，改革成了不可避免的趋势，然而实际情况并非如此，大多数的职业学校的数学教学模式一成不变，在这种教学模式下的学生缺乏创新与活力，并且这种模式导致学生所学的知识与本专业乃至社会需要的数学知识产生了一定程度上的脱节，学生在学习的时候也会觉得无关紧要，产生重专业课，轻基础课的心理。因此数学教学模式要在数学理论严谨的基础上，加以变通使之适应专业课程的内容，使理论与实际应用相结合。

(2)教学环境

环境对学生的影响不可小觑。学生对待学习的态度受多种因素的影响，其中最重要的就是家庭环境，孩子在入学前，家庭成员的一举一动是他们学习的对象，而入学后，虽然家庭环境的影响仍然是举足轻重，但是学习环境对学生的影响也是十分重要的。职业学校作为教学系统不可分割的一部分，其教学器材的不完备以及不浓郁的学习氛围都制约了它的发展。

(3)影响学生学习的因素

在学生的学习过程中，除了受到客观因素的影响外，其学习成绩还受到非智力的主观因素的影响，比如学习目标、学习情绪、学习习惯和意志力等，如果学生可以处理好这些因素，其成绩必然会得到显著的提升，否则往往会起到负面影响，导致学生学习成绩的下滑。

因此对职业学校来说，摸索出适合学校教学与学生学习有效融合的具体方法以及对教学体系的改革迫在眉睫。

(二)初等数学在12年发展中教学内容的不完善

如今，初等数学的教学内容由于受到应试教育等条件的制约，数学知识在教授时已经不像以往一样逐一教授，而是把现有的数学知识划分成不同的模块，按照教学计划和课程标准进行模块化教学。不同专业的学生为了满足自身需求，可以选择部分模块进行学习，但是数学毕竟是一个严谨的、完整的学科，各部分内容之间存在着紧密联系。应试教育促成的模块化教学虽然提供了多个选择面，但对于学生完全掌握和运用知识产生了负面的影响，大部分学生只是注重公式的记忆和运算，而对于公式的来源和形成过程一知半解，影响了今后高等数学的学习和专业技术能力的形成。

二、初等数学“三个模型”的阐述

(一)加法模型：A+B=C

四则运算中，加法是最基本的运算。学生从小学一年级开始学习10以内的加法运算，这便是加法模型的雏形。通过加法模型，借助借位和进位的方法可以把10以内的加法推广到20以内的加法运算，进而可以推广到任意两个确切的整数相加。如果把A和B都定义为分数，学生可以通过加法模型得到分数的加法运算，从而引进小数运算甚至扩大到无理数乃至复数域。如果把加法模型进行适当变形，得到A=C-B，这样所有的减法运算都可以用加法模型来进行解释。在这样的一个学习进程中，隐藏着重要的数学思想。

美国学者富森指出：正整数加减法的现实意义主要包括以下几个方面(1)聚合(2)比较(3)增加性变化(4)减少性变化。例如，小红有5个苹果，小明有3个梨，则问他们两人一共有多少水果？当对两者的水果个数进行比较时，如果只是关注了“加法”的动态模型，即只是一个量的随时间顺序上的“增加”，而忽略了加法的“具有同一质的两个量才能相加”的思想，即“在理论与实践上加法是有其深刻的意义的”，当两个量非同质时，求和是不可进行的。

(二)乘法模型：A*B=C

在自然数中，如果每个加数都相同的若干个数相加时，那么为了计算的简便，我们引入一个新的模型：乘法模型，也就是在加法模型的基础上，把A+B=C中的B看成是A+A的加法模型的结果，依次类推，得到n个A相加，从而得到基本的乘法模型。小学阶段所学的九九乘法表就是在此基础上得以衍生。如果把乘法模型适当变形，当B不等于0时，A=C/B,这样所有的除法模型都可以用乘法模型来进行解释。

在长期趋势分析中，乘法模型在具体应用中公式可变为Y=S*T*C*I，除了趋势成分(T)、季节成分(S)和周期成分(C)外，还有不规则成分(I)。不规则成分说明时间数列中不能由趋势和季节成分解释说明的任何随机影响。

根据实际统计问题的不同，乘法模型将会有所变动。例如

1) 在一定周期内计算时间数列的数值时，周期成分(C)将不参与计算，而计算预测结果时，将以周期(C)阶段的数值进行统计计算。即时间数列数值Yc=Tc(周期C内的趋势成分)*Sc(C周期内的季节成分)*Ic(C周期内的不规则成分)。

2) 对于在一年内发生的情况进行计算的时候，由于季节更迭无交叉，因此季节成分(S)不纳入计算范畴。即时间数列数值Y=T(趋势成分)*C(周期成分)*I(不规则成分)。

同时，在运用乘法模型计算的时候，我们也可以将其转化为加法模型进行计算。Y=T*S*C*I可以转化为 logaY=logaT+logaS+logaC+logaI,(a>0且a≠1)。

初等数学包含的各种知识内容，不管是代数方面还是几何方面，都能归纳总结为以上三个模型。

三、初等数学“三个模型”数学思想

(一)函数

(1)函数的定义

函数主要描述的是不同变量之间的关系，其本质思想是通过熟悉特征，建立对应的数学模型，这种思想与变化与联系的唯物主义观点具有高度的一致性。在实际的函数学习过程当中，所谓的函数思想就是通过实际问题建构函数，并利用所建立的函数的性质解决对应的问题，在实际的解题过程当中常用到的函数性质有：单调性、奇偶性、周期性、最值以及函数图像等。大部分的函数都具有上述的特征，因此，我们必须要掌握函数的相关特征。如果在加法模型A+B=C中，把A、B、C三个量中两个量标记为x和y，并对式子进行整理，把y写到等式的左边，把x和另外一个量写到等式的右边，形成y=x+C的形式，从而引入了一次函数的概念。如果式子中的x本身就是通过乘法运算得到的结果，比如x是通过乘法运算得到的结果，那么二次函数就形成了。那么数学中的五种基本初等函数都可以通过“三个模型”得到：把指数模型中的A定义为自变量x，C定义为因变量y，得到幂函数y=xB；把指数模型中的B定义为自变量x，C定义为因变量y，得到指数函数y=Bx；在指数模型中，为了要确定B的取值，我们由指数模型引进了新的函数:对数函数，根据任意角三角函数的定义，我们可以通过乘法模型，得到三角函数的定义，而反三角函数则需要通过各种模型的结合，首先来确定反函数的定义，再根据反函数的定义来确定反三角函数的定义。

(2)函数的性质

单调性：根据函数单调性的定义，如果对于函数的定义域内任意两个实数，我们只需要比较它们的大小，就能确定函数是单调递增还是单调递减，我们可以利用加法模型进行变形，把A+B=C变形成A-B=C的形式，通过C与0比较大小，我们就可以判断函数的单调递增和单调递减。

奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时利用加法模型和定义域的变形观察图像，若关于原点对称，则该函数为奇函数，若关于Y轴对称则该函数为偶函数。

有界性：我们可以利用不等式的概念来解释有界性。设函数f(x)的定义域为D，数集X∈D。如果存在数K1使得f(x)≤K1对任意x∈X都成立则称函数f(x)在X上有上界。此外，如果存在数字K2使得f(x)≥K2对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。 如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M对任一x∈X都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在就称函数f(x)在X上无界；这也就是说，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

周期性：函数的周期性定义为T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。进一步解释函数的周期性即为当自变量增大任意实数时(自变量有意义)，函数值有规律的重复出现。将概念具体化，以正弦函数为例f(x)=sinx,这个函数的周期为T=2kπ(k∈Z且k≠0)。

(二)方程与不等式

(1)方程：如果在加法模型中，A、B、C中任意一个换成未知数x,那么加法模型就推广成了一元一次方程；如果其中有两个换成未知数，就形成了二元一次方程。如果二元一次方程中的其中一个未知数写成两个未知数的和的模型，那么可以得到三元一次方程，依次类推，我们可以用加法模型来解释多元一次方程。如果在多元一次方程中，某一个未知数利用乘法模型加以改写的话，就可以得到n元高次方程的定义。若在各种普通的方程中，加入指数模型，把其中一个已知数定义为未知，我们则可以定义指数方程和对数方程。

(2)不等式：在定义方程的基础上，将式子中的等号改成不等号(<,>,≥,≤,≠)，就得到了不等式。将不等式引用到现实生活中，可以用来进行量之间大小的比较，我们可以通过不等式或者对加法模型进行变形，把A+B=C的形式改写成A-B=C的形式，通过C与0的比较，得到两个数或者两个式子的大小关系。

(三)几何

平面几何主要是研究平面上的直线和二次曲线的几何结构和度量性质。为了解释线段的长度，我们就可以通过加法模型，引进线段的长度表示数字的大小。当笛卡尔引进坐标系的概念以后，代数和几何的关系变得十分明朗。根据解析几何的相关内容，方程的性质以及代数的性质可以通过几何图形反映出来，因此可以把方程与代数的相关问题转化为几何问题，而方程正是我们可以利用三种模型得到的概念。而立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴，从而研究二次曲面(如球面、椭球面、锥面、双曲面、鞍面)的几何分类问题，就归结为研究代数学中二次型的不变量问题。二次曲线方程和二次曲面方程同样隶属于方程的范畴，我们同样可以利用三种模型的结合来加以解释。

(四)三角函数的定义

三角函数是一种角度函数，即三角函数的自变量为角度，直角三角形两边的比值由于对应角度的变化而变化的这种关系被称之为三角函数。任意角的三角函数是通过比值来定义的，比值正是乘法模型的一种变形。同样三角函数可以写成泰勒级数的形式。由于三角函数能够计算三角形中未知长度的边和未知的角度，因此在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的应用。

四、研究的总结

在当今科学技术和数学本身大发展的趋势下，数学思想方法比形式化的知识更加重要，数学思想方法的教学意义更为突出。[3]初等数学”三个模型”的数学思想，从本质上把初等数学各部分内容通过三种形式找出了各自之间的联系，并通过不断变换和三个模型的有机结合，得到了初等数学的基本内容。除了方便学生在掌握知识的同时牢记知识点的起源外，更能加深学生对概念的理解和应用，引导学生领会和掌握隐含在数学课本内容背后的数学思想方法，建立科学的数学观念，促进个体整体素质的提高。

[1] 徐杰.巧用函数与方程的思维联系解题[J].贵阳学院学报(自然科学版),2008,3(4):67-72.

[2] 王锡泉.中等职业学校数学教学存在的问题及对策[D].烟台:鲁东大学,2013：35.

[3] 张月媚.中学数学思想方法的教学研究与实践[D].福州:福建师范大学,2002：22.

责任编辑：一 粟

Research on Mathematical Thought of “Three Models” in Elementary Mathematics

XIA Lei

Under the influence of China’s traditional elite education, students in professional colleges are usually lack of confidence. Mathematics teaching in professional studies exists as teacher-centered and textbook compilation does not have close relationship with professional establishment and curriculum development. There is a phenomenon that the cultural function has been ignored. Based on this phenomenon, the paper makes a consolidation on the content of elementary mathematics, and summarizes the mathematical thought of “three models” in elementary mathematics, finds out their relationship in essence, and gets the basic content of elementary mathematics by constantly changing and organically associating the three models. It can help strengthen students’ understanding and application of concepts, guide them grasp the mathematical thought methods behind content in mathematics textbooks, establish scientific mathematics concepts and improve the advancement of overall quality of individuals.

three models; elementary mathematics; mathematical thought

2016-08-15

夏磊(1980—)，男，江苏无锡人，讲师，研究方向：数学软件及数学教学。

G712

A

1671-8275(2016)06-0067-03