学习逻辑知识，运用基本规律——例谈“逻辑思维的基本规律”在小学数学中的运用

●冯回祥

学习逻辑知识，运用基本规律
——例谈“逻辑思维的基本规律”在小学数学中的运用

●冯回祥

一、逻辑思维基本规律的内容

逻辑思维的基本规律，内容包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。它是客观世界相对稳定性在思维活动中的反映，是进行正确思维的必要条件。它们的共同要求是在思维过程中，必须保持思维的确定性，不自相矛盾，不含糊其辞。在数学教学过程中，教师使学生学会遵守这些思维的基本规律，掌握并运用这些规律进行思考，做到概念明确，判断恰当，推理有逻辑性，论述有说服力，是学生学好数学基础知识，培养与发展其数学能力的基本前提与有效途径。

（一）同一律。在同一思维过程中，每一思想都必须与其自身保持同一。即在同一论证过程中，概念和判断必须保持同一性，也就是确定性，它的公式是：A是A。这里的“A”是指概念或判断。“A是A”是说在同一思维过程中，A这个概念或判断无论重复或使用多少次，自身始终不变，前后一致，保持确定。

在数学思考过程中，必须遵守同一律，否则会造成逻辑混乱或错误。如，“整除”的概念是说，“数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，就说a能被b整除”。这一概念的组成部分是：①被除数是整数；②除数是非0的自然数；③商是整数；④余数是0。因此，由36÷9=4，商是整数，余数为0，从而可以断定36能被9整除。但是，由3.6÷0.9=4，商是整数，余数为0，也断定3.6能被0.9整除就错了。这是由于前一个判断与其组成部分是同一的，而后一个判断与其组成部分不统一，即被除数和除数是小数。因此后者是错误的判断，其根本原因是混淆了“整数”与“除尽”这两个不同的概念。同一律要求的同一是对象、时间、关系三者的同一。若针对同一对象，在不同时间或不同关系下，人们使用的概念或判断发生变化，这不能看成是违反了同一律，而是属于时间不同或关系不同的两个思维过程。

（二）矛盾律。在同一思维过程中，一个思想不能既是自身又是对自身的否定。它的公式是“A不是”。

在数学思维过程中必须遵守矛盾律。例如，两个数相等与不相等不能认为同时成立，两直线相交与不相交也不能认为同时成立。因为根据矛盾律，两数相等与不相等，其中必有一个判断是错误的。两直线相交与不相交，其中也必有一个判断是错误的。

在同一思维过程中，对某一对象除了两个互相矛盾的判断外，还可能有第三种判断。因此矛盾律指出，不仅这两个矛盾（对立）的判断不能同真，还可能两个判断都为假。例如，对某一实数a，除了两个互相矛盾的判断“a＞0”或“a＜0”外，还可能有第三种判断“a= 0”。因此，当“a=0”为真时，则“a＞0”和“a＜0”这两个判断都为假。

由此可见，矛盾律只指出两个互相对立的判断是不相容的，其中至少有一为假，但没有指出哪一个为假，也没有指明究竟只有一假还是两个都为假，因而我们不能用矛盾律来判定某一判断是真。

（三）排中律。在同一思维过程中，互相矛盾关系的判断中必有一个为真。它的公式是“或是A，或是”。

（四）充分理由律。充足理由律的内容是：“任何真实判断，都必须有充足理由作为依据。”也就是说，正确的判断必须有充足理由。它的公式是，所以有B是因为有A。也可以说，A是B的充足理由。

在数学学科中，充足理由律要求我们必须以数学的已知概念和公理以及由此推导出来的定理、公式作为根据进行推理判断。

解答数学问题进行正确判断也必须有充足的理由，否则会造成错误。

例如，设a=b（b≠0）

两边乘a得：a2=ab

两边减去b2得：a2-b2= ab-b2

两边因式分解得：（a+b）（a-b）= b （a-b）

两边除以（a-b）得：a+b=b

由a=b得：2b=b

两边除以b得：2=1

显然，所得结果是错误的，错误的原因在于以（a-b）除等式两边。因为a=b⇒a-b=0，用0除等式两边，理由就不充足了，因为在除法算式里，除数是不为0的。

二、数学中违反逻辑思维规律的错误案例及分析

（一）违反同一律。即“同一思维过程中的概念、判断不确定”，具体表现是“偷换概念”（或者叫“混淆概念”）和“偷换论题”）的逻辑错误。

1.同一思维过程中，概念不确定的逻辑错误

所谓概念不确定是指概念的内涵、外延不同一。就是说，在同一思维过程中，不加说明地用一个完全不相同的概念去代替原有的概念进行推理和证明（即“偷换概念”），或者用一个相近、类似的概念去代替原有的概念进行推理和证明（即混淆概念）。

例如，利用商不变的规律进行如下计算：840÷50=84÷5=16……4，我们知道，840÷50=84÷5，84÷5=16……4，这两个等式都是成立的，但840÷50≠16……4。

上面连等式中，前面一个等式反映的是等号两边算式的商相等，而后一个等式则是反映算式中被除数、除数、商和余数之间的关系，这是两个完全不同的概念，这里出现错误是由于“偷换概念”，违反了同一律所致。

2.同一思维过程中，判断不确定的逻辑错误

判断不确定是指判断的组成部分不同一，即在同一思维过程中，不加说明地用一个完全不同的判断去代替原有的判断。如前面提到的由3.6÷0.9= 4，商是整数，余数为0，从而断定3.6能被0.9整除就是这方面的例子。

判断不确定的另一种情况是，在同一思维过程中，判断的论题不同一。如，讲长方形的周长概念时，有的教师对学生说：“长方形的一周，就是长方形的周长”，并用手指沿着长方形的黑板画一圈；在推导公式时又说：“长方形四条边的和，就是长方形的周长。”其实，长方形的一周或四条边都是形，都没有涉及量。“边长”“一周的长”说的才是量，而量是要通过度量才能知其大小。边与边长、一周与一周的长是性质完全不同的概念，不能混淆不清，这属于“偷换概念”的错误，在小学数学教学中比较常见。

又如，以前的教材是这样给“距离”下定义的：从直线外一点到一条直线所画的垂线段叫这点到这条直线的距离。定义的概念是符合某一条件的一条线段，而被定义为的概念却是“距离”。“线段”是几何图形，“距离”却是度量的长度，形与量不同一。新课标教材注意到了定义要符合逻辑规律，因此对“距离”的定义表述为：“从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。”

（二）违反矛盾律。违反矛盾律的错误就是既肯定又否定，即两个互相否定的判断都成立，我们熟知的古代寓言楚人“自相矛盾”就是这种情况。例如，角的大小与边的长短没有关系。

新人教版《数学》四年级上册教材，对角的描述是：“从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。”在“角的度量”后面“做一做”有一道练习题：“量出下面两个角的度数，并比较它们的大小。你发现了什么？”该题意在引导学生发现并深化认识“角的大小与两边叉开的大小有关，与两边的长短无关”的道理，强化对角的特征的理解。我们不妨把“角的定义”和此题的“发现”综合起来考虑，笔者认为，既然角的边是射线，射线本无长短可言，角的边又哪来的长、短呢？一方面说“角的边是射线”，同时又说“角的大小与边的长短没有关系”，对“角的边是射线”加以否定，岂不自相矛盾？有悖矛盾律，因此，这道题是不妥当的。

（三）违反排中律。违反排中律的逻辑错误是“模棱两可”或“含混不清”。

例如，在整数范围内，对数a作“a既不是奇数也不是偶数”的判断就违反了排中律。因为在整数范围内，“a为奇数”和“a为偶数”是具有矛盾关系的判断。但如果超出整数范围，则这两个判断就是对立关系的判断，那么以上的判断就没有违反排中律。如当a是一个小数或分数时，则a既不是奇数也不是偶数。

（四）违反充足理由律。古人云：“持之有故，言之有理。”这说的是论证要有充足的理由，如果论证“理由不充分”或是“虚假理由”，那就会导致出现违反充足理由律的逻辑错误。

下面是理由不充分的例子。

例1.四年级判断题：412÷58=7……5（）。此题有不少学生出现判断错误。究其原因，学生说：“由于只认为余数5比除数58小，那么这道题的计算结果当然就是正确的。”

在有余数的除法中，余数比除数小，计算结果并不一定正确。余数比除数小只是计算正确的必要条件，而不是充分条件。由此可见，理由不充分就会导致推断错误。

由上例可知，如果判断B真，论断A是B的必要条件，但由B不足以推出论断A真，则B不是A的充分条件，这时候，我们称由B推出论断A真的理由不充分，即缺少条件。

例2.若a= k·b，则b能被a整除。这个推断缺少a、b为整数，k为自然数的条件。又如，∵（a+b）是偶数，且a、b是整数，∴a、b都是偶数。此推断缺少条件a×b是偶数。

举一个虚假理由的例子。

虚假理由是指在判断B和论断A中，B不是A的充分条件，且A亦不是B的必要条件，即A和B没有因果关系。

例3∵a是奇数，b是偶数

∴a与b互质

此推断中，理由和结论之间不存在因果关系。

三、数学教学中应注意的逻辑问题

（一）注意数学概念的同一性

我们在教学时，对一些重要的数学概念，都要让学生明确它们的内涵和外延，并在这个确定的、同一的意义上反复使用它。这样，在整个思维过程中，才能避免发生混乱，产生歧义。

值得注意的是，对教材中出现的某些容易引起混淆的概念，要注意及时地进行比较和区别。

例如，现行小学数学教材关于长方体有这样两段叙述：一是，建立长方体的概念即“长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）”；二是，建立正方体的概念即“长、宽、高都相等的长方体叫做正方体（也叫立方体）”。

显见，上面两次所提到的“长方体”的概念是不一致的。前一个“长方体”，由于最多只限“两个相对的面是正方形”，因此并不包含正方体，而后一个“长方体”确实包括“正方体”在内的。因此它们的内涵、外延是不一致的，容易引起学生理解上的混淆。

（二）注意教学用语的严谨性

在数学教学中，教师要尽可能避免把日常口语以及不准确规范的语言带到课堂上，这样的例子在教学中是很常见的。

例如，有的教师这样提问：“同学们，这个等腰三角形的两腰相等吗？”腰正是对等腰三角形而言的，一般三角形只称边，只有等腰三角形才把两条相等的边称为腰。既然是两腰，就一定相等，否则就违反了矛盾律。因此，这样的提问是错误的。

又如，当学生忘了写出单位名称（计量单位），或忘了给单位名称加括号时，教师常说“不要丢掉名数”或“不要忘了给名数加上括号”等。这种说法是把计量单位与名数混淆起来了，是不正确的。

再如，有的教师对学生这样提问“平行四边形的对边是否为平行线”，还有的对学生说“长方形的两条边都是平行线”“带有一个单位名称的数叫做单名数”等等，这些语言表述都是不严谨的。因此，教师在教学中应充分注重自己的教学语言规范化，符合逻辑思维的基本规律，在此基础上，对学生进行严格要求，这样才有利于培养学生思维的深刻性。

（三）注意构题的合理性

数学新课标中明确提出，通过数学教学达到掌握数学基础知识、训练数学基本技能、领悟数学基本思想、积累数学基本活动经验的要求。由于数学基本技能的训练在数学教学中有着极其重要的作用，所以历来受到广大教师的高度重视。不少教师还针对学习的重点和关键内容，有针对性地编选一些课内课外练习及专项训练，这对巩固与加深学生对所学知识的理解与掌握是非常必要的。在编拟习题时，除了注意把握好习题的针对性、层次性和形式的多样性外，注重习题编拟的科学性是极为重要的。这就要求我们在编拟时构题必须符合逻辑思维的基本规律，避免发生以下类似错误：

例如，已知一个三角形各边边长分别为2cm、3cm、5cm，另一个三角形各边边长分别为4cm、5cm、10cm，求这两个三角形的周长。

上例中出现了三角形两边之和等于或小于第三边长的谬误，显然与三角形的性质相矛盾。

又如，某工地运来水泥和黄沙210吨，其中水泥占总数的1/5，以后又运来一些水泥，这时水泥占总数的1/3，以后又运来水泥多少吨？题中两次出现总数这一概念，其中后一个究竟是指原来的总数，还是指后来的总数，内涵不明确，模棱两可，这种歧义的产生违背了排中律。

作为一名数学教师，不仅需要扎实的数学专业理论知识，还应学习与掌握一些必要的逻辑思维的基本理论和方法，这不仅是提高自己专业素质和教学能力的一个重要方面，而且更是发展学生逻辑思维能力，提升学生数学素养的有力保障。

（作者单位：华中科技大学附属小学）

责任编辑严芳