矩阵正交对角化与相似对角化的讨论

刘爱兰

摘 要： 如果实矩阵正交相似于对角阵，必然相似于对角阵.反之，如果矩阵相似于对角阵，却不一定正交相似于对角阵.通过施密特正交化的方法，得到正交阵的列向量，不能保证仍旧是矩阵的特征向量，从而矩阵相似于对角阵不一定正交相似于对角阵.

关键词： 正交阵 相似 对角化

一、引言

定理3[2]实矩阵A，如果A的特征值是实数，则A正交对角化的充要条件是A为正规矩阵.

如果矩阵A为复矩阵，则称矩阵A可酉相似对角化.对于复矩阵，有以下结论.

定理4[3]复矩阵可酉相似对角化的充要条件是矩阵为正规矩阵.

三、结论

可对角化的矩阵有个线性无关的特征向量.这些特征向量的线性组合中，当且仅当它们对应于矩阵的同一个特征值时，其线性组合能保持是矩阵的特征向量.当矩阵对应于不同特征值的特征向量满足彼此正交时，则由施密特正交化后的向量仍旧是矩阵的特征向量.满足这一性质的矩阵，当且仅当它是一个正规矩阵.从而相似对角化不一定正交对角化.

通过讨论，澄清了相似对角化与正交对角化的关系，并且对于可相似对角化的矩阵，分析得出了它可以可正交对角化的条件.

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]程云鹏.矩阵论（第二版）[M].西安：西北工业大学出版社，2005.

[3]徐仲，张凯院，陆全，等.矩阵论简明教程（第二版）[M].北京：科学出版社，2004.