浅析数学最值问题

马小芸

最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考热点问题.它主要考查学生对平时所学内容的综合运用，在生活实际中常要考虑在一定条件下怎样使成本最低，消耗最少，收益最大，方案最优，行走路径最短，周长面积最小等问题.这类生活问题一般可转化为求函数或线段的最小值或最大值的数学问题，通过这类问题的解决可以培养学生的数学思想方法，提高学生的数学思维能力.下面就初中数学中有关最值问题一些常用方法做举例介绍.

一、利用轴对称性求最值

例1：如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，求AP+BP的最小值.

求某些几何图形中的线段的和的最小值时，可采用轴对称变换的方法将其中一条线段变换，进而把两条线段合并成一条线段从而求出最值.

解析：可利用两点之间线段最短求AP+BP的最小值.因为圆是轴对称图形，作点A关于直径MN的对称点C，连接BC交MN于P点，连接OB、OC，由∠BOC=90°得BC=，故AP+BP的最小值

例2：如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B.

（1）求此抛物线的解析式.

（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标.

（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由.

解析：如图本题第（2）问中的求使△PAC的周长最小的点P的坐标与例1相同就是连接点A关于抛物线对称轴的对称的B与点C，BC与直线L的交点就是所求的点P.此题仍然利用的是抛物线的轴对称性.

二、利用垂线段最短求最值

在一些几何问题中要求线段、周长、面积最小值时，可通过把相关线段特殊化，化为垂线段，根据垂线段最短的性质从而得解.

例3：如图AB是⊙O的弦，AB=8，⊙O的半径为5，点M是AB上的一个动点，求线段OM的最值.

解析：当线段OM垂直于AB时利用垂线段最短可得OM最小值等于弦心距3，当点M与点A或点B重合时利用直径是圆中最长的弦可得OM的最大值等于半径5.

例4：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合.

（1）证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值.

解析：本题第（2）问可由△ABE ≌△ACF可得

此题（2）中可直接利用二次函数的顶点纵坐标是其最大值；但在第（3）中由于方案A中x=35不在20

总之，无论是代数问题还是几何问题都存在最值问题.此类问题涉及知识面广，综合性强，解法灵活多样，而且具有一定的难度和技巧性.所以解决问题应以数学思想方法为指导，找准问题的切入点，建立合适的解决问题的数学模型，寻找解决问题的捷径，才能使问题由难转化为易，由复杂转化为简单，使问题得到顺利解决.