排列组合问题教学探究

陶智慧

排列、组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础.事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题。这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程中极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧和解题模型，最终达到灵活运用。

从解法上看，排列组合问题大致有以下几种模型：

一、“在或不在”问题

例1：六个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

（1）甲乙两人必须排在两端；

（2）甲不在左端，乙不在右端。

分析：（1）甲乙两人排在两端有种站法；其余的人共有A■■种站法，故共有A■■A■■=48种站法。

（2）直接法求解有困难，选用间接法：甲在左端的站法有A■■种；乙在右端的站法也有A■■种；且甲在左端而乙在右端的站法有A■■种；故共有A■■-2A■■+A■■=504种站法。

注：“在”通常用直接法，“不在”常选用间接法。

二、相邻问题捆绑法

例2：六个人按下列要求站一横排，甲乙必须相邻，有多少种不同的站法？

分析：甲乙两人构成一个集团的站法有种；这个集团再与余下的4人全排，故共有A■■A■■=240种站法。

变式1.六个人按下列要求站一横排，甲乙之间间隔两人，有多少种不同的站法？

分析：先选出甲乙之间间隔两人并排列有A■■种站法；这两个人再与甲乙两人构成一个集团的站法有A■■A■■种；这个集团在与余下的两人全排，故共有A■■A■■A■■=144种站法。

注：将需要相邻的元素构成一个集团，先内排再外排。

三、不相邻问题插空法

例3：六个人按下列要求站一横排，甲乙不相邻，有多少种不同的站法？

分析：甲乙不相邻，插空法：第一步让余下的4人排，有A■■种站法；第二步将甲、乙插入4人形成的5个空中（含两端），有A■■种站法，故共有A■■A■■=480种站法。

变式2.有3名男生，4名女生，按下列要求站一横排，有多少种不同的站法？

（1）男生不相邻；

（2）男女相间。

分析：（1）男生不相邻，插空法：第一步让4名女生排，有种站法；第二步将男生插入4名女生形成的5个空中（含两端），有种站法，故共有A■■A■■=1440种站法。

（2）“相间”要考虑两方面，与“不相邻”有区别。先排男生有A■■种站法，再将女生插空，有A■■种站法，故共有A■■A■■=144种站法。

注：将无要求的元素先排，再把要求不相邻的元素插空。

四、“多面手”问题

例4：由12人组成的课外文娱小组，其中7个人会跳舞，7个人会唱歌，若从中选出4个会唱歌，4会跳舞的人去排演节目，共有多少种不同的选法？

分析：由人数分析，12人中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，2个人既会跳舞又会唱歌，即有两人为“多面手”。这一类问题从多面手出发按一个标准分类即可。（1）“多面手”不参加跳舞：有C■■C■■种选法；（2）“多面手”1人参加跳舞：有C■■C■■C■■种选法；（3）“多面手”2人参加跳舞：有C■■C■■C■■种选法，故共有C■■C■■+C■■C■■C■■+C■■C■■C■■=525种选法。

注：这种做法讨论简单易行，条理清晰。

五、“成双成对”问题

例5：从不同号码的5双鞋中任取4只，恰好一双的取法共有多少种？

分析：5双鞋中任取4只，恰好一双，说明4只鞋中，有一双和两个单只。分两步：（1）先选出一双：有C■■种选法；（2）再选出两双各取一只：有C■■C■■C■■种选法；故共有C■■C■■C■■C■■=120种选法。

注：“成双成对”问题，成双成对处理。

六、定序问题

例6：在书柜的某一层上原有6本书，如保持原书顺序不变，再放入3本不同的书，那么有多少种放置方法？

分析：解法1：（1）先全排：有A■■种方法；（2）再除以6本书的全排：故共有■=504种方法。

解法2：只需在9个位置中选3个排后放入的3本书，故共有A■■=504种方法。

注：定序问题“无序化”，即若某几个元素必须保持一定的顺序，则可按通常排列后再除以这几个元素的排列数。

七、相同元素隔板法

例7：要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？

分析：要从7个班中选10人参加数学竞赛，其实相当于有10个名额，即相同元素。采用隔板法：10个元素有9个空，在9个空中选6个位置插6个隔板，分成7份给7个班，故共有C■■=C■■=84种方法。

注：隔板法的特征：相同元素、至少一个。

八、分组分配问题

例8：按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

（1）分成三份，一份2本，一份2本，一份3本；

（2）平均分成三份，每份两本；

（3）分成三份，一份4本，另两份每份1本；

（4）甲得1本，乙得1本，丙得4本。

分析：（1）无序不均匀分组问题

分三步：先选1本有C■■种选法；再从余下的5本中选2本有C■■种选法；对于余下的3本全选有C■■种选法，由分步计数原理知有C■■C■■C■■=60种选法。

（2）无序均匀分组问题

先分三步，则应是C■■C■■C■■种选法，但是这里出现了重复，不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C■■C■■C■■种分法中还有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）共有A■■种情况，而且这A■■种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只是一种情况，故分法有■=15种。

（3）无序部分均匀分组问题

两组均分产生顺序重复，故分配方式有■=15种。

（4）直接分配问题

甲选1本有C■■种选法；乙再从余下的5本中选1本有C■■种选法；丙在余下的4本全选有C■■种选法，故共有C■■C■■C■■=30种选法。

注：均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型。解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，几组均分就除以几的阶乘，形成无序的组再分配。可以概括为以下几个环节：选数、形成无序的组、分配。

无论是排列还是组合，最主要的是掌握从实际问题的叙述中分析特点，明确完成的是哪个事件，合理地完成每一步。区别有序还是无序，鉴别并抽出模型的主要特征，进而确定并建立相应的数学模型解决问题。对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用，把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通。