解析球反射 揭示虹之谜

解析球反射揭示虹之谜

◇辽宁郑金

当光线射入透明球体时,先在其界面发生折射,然后一部分光线在界面内侧发生反射,再次遇到界面时出射光线在界面发生色散.当太阳光照射雨后的云层时,形成彩虹.应用几何光学知识和数学知识可解答有关问题,揭示彩虹形成的原理.

1球体反射问题

图1

图2

(1) 在图上大致画出光线在球内的路径和方向.

(2) 求入射光与出射光之间的夹角α.

(3) 如果入射的是一束白光,透明球的色散情况与玻璃相仿,问哪种颜色光的α角最大,哪种颜色光的α角最小?

图3

(1) 光线从入射到出射的光路如图3所示.入射光线AB经玻璃折射后,折射光线为BC,又经球内壁反射后从D点射出,折射光线为DE,OB、OD为球的半径r.

(3) 由上可知,n越小,sinr越大,α角越大,所以红光的夹角α最大,紫光的夹角α最小.

图4

例2雨过天晴,人们常看到天空中出现彩虹,它是由阳光照射到空中弥漫的水珠上时出现的现象.如图4所示，一束细光线射入水珠,水珠可视为一个半径为R的球,球心O到入射光线的距离为d,水的折射率为n.求：这束光线从射向水珠经一次反射到射出水珠的过程中,每一次偏转的角度.

图5

δ=2δ1+δ2=π+2i-4r=180°+90°-120°=150°.

要特别注意光线在水滴内不能发生全反射,而是部分反射.

2球体色散问题

例3雨后太阳光入射到水滴中发生色散而形成彩虹.设水滴为球形,图6中的圆代表水滴过球心的截面,a、b代表2条不同颜色的出射光线.以下说法正确的是().

图6

Aa光的频率比b光小;

B在水滴中,a光的传播速度比b光小;

Ca光在P处发生了全反射;

D射出水滴的光线一定与入射光线平行

图7

例4(2015年重庆卷) 虹和霓是太阳光在水珠内分别经过1次和2次反射后出射而形成的,可用白光照射玻璃球来说明.2束平行白光照射到透明玻璃球后,在水平的白色桌面上会形成MN和PQ两条彩色光带,光路如图7所示.M、N、P、Q点的颜色分别为().

A紫、红、红、紫;B红、紫、红、紫;

C红、紫、紫、红;D紫、红、紫、红

白光中的可见光谱从红到紫排列,波长渐小,频率渐大,则对同一介质的折射率渐大,即n紫>n红.由折射定律可知紫光的折射角较大，由光路可知，紫光将到达M点和Q点,而红光到达N点和P点,故选项A正确.

3虹的形成原理

当太阳的平行光线照射到水滴上时,各处的入射角不同,因此在水滴内经折射、反射后射出的光线不平行,出射方向与入射方向之间的夹角称为偏向角,若光线入射角不同,则出射角不同,可以证明,有一条光线的偏向角最小,称为笛卡儿光线.

图8

这表明,当入射角发生变化时,偏向角不能小于δmin=π+2(imin-2rmin),那么在笛卡儿光线附近的光线,由于折射,将趋近于笛卡儿光线的某一侧,因为这时入射角在一定范围内的变化相应于偏向角的变化最小,即光线的偏向角大致与笛卡儿光线接近,此时在笛卡儿光线附近的光能量较集中,光强度较大,正是沿着该方向才能看到虹的一种色光,因此在研究彩虹的形成时,关键是确定这条光线的位置.

对于波长为656.3 nm的红光,水的折射率为n=1.3318,可知最小偏向角为δmin=137°42′,则θmax=180°-δmin=42°18′.

该角度称为红光的虹角或角半径,这样的虹称为42°虹.这个角度是指被观测到的光线与太阳光线的夹角,而不是与地平线的夹角.只有当太阳光线水平时,才表示与地平线的夹角.对于紫光,n=1.3435,则θmax=40°36′.所以红光的虹角为42°,紫光的虹角为40°,其他颜色的光的相应角度介于二者之间.可知虹的宽度张角为1°42′,张角的2条边对应不同颜色的光线,即上边对应红色光线,下边对应紫色光线,因此从彩虹的外侧到内侧颜色依次为红、橙、黄、绿、蓝、青、紫.

图9

雨过天晴,当太阳高度比较低时,我们背对太阳,在雨幕背景的天空中,有时可看见彩虹.它是由大量水珠对日光的折射、反射、再折射而形成的.由于云层水滴很远,一个水滴的出射光线经过色散后到达观察者时已显得非常发散,尽管从每一水滴上出射的光线中含有各种色光,但在某一位置的观察者从一个水滴上只能看到一种颜色的光,而且只能从较高位置的水滴上看见红光,从较低位置的水滴上看见紫光.如图9所示,设想太阳光平行于地平线照射远方云层(相当于背景较暗的屏幕),你背对太阳,当发现雨后的天空出现彩虹时,红光来自对你的眼睛仰角为42°的半圆周上的所有小水滴的色散;同样,紫光来自仰角为40°的半圆周的小水滴的色散,在2圆弧之间能看到其他颜色的光.凡是在一个角半径为42°的圆锥曲面上的水滴,都对彩虹的形成有贡献.若太阳从地平线上逐渐升高,则虹的高度将下降,其可见部分将减小,因此当太阳光线与地平线的夹角大于42°时,将看不到虹了,所以通常在雨后的上午或傍晚能看到虹.

(作者单位：辽宁省凌源市职教中心)