小物和小理的物理对话录(33)———通量、电通量与磁通量

小物和小理的物理对话录(33)———通量、电通量与磁通量

◇北京何龙蒋炜波孟卫东(特级教师)

前言:小物和小理是2名普通的高中生,他们酷爱物理,在学习高中物理的过程中,小物经常向小理提出许多刁钻而有趣的物理问题,了解他们的故事也能让你的物理达到新的高度．

1对话录

小物:学习了这么久的电场和磁场,我感觉自己在一些较难的问题上已经比较清楚了,电和磁的统一关系也愈发明了,尤其是电磁感应和电磁场的学习让我更加理解了电与磁的本质联系．

小理:我也是一样的感觉,以前一直觉得电学很抽象,很难懂,但是当我仔细研究，深入理解了电与磁的种种现象之后,也觉得对电与磁的学习更加轻松了．

小物:这几天我有一种感觉,那些很深很难的问题已经能够解释了,但是总觉得一些基本的概念还不够清晰．

小理:哦?什么概念你觉得不够清晰?

小物:回想起来,电场部分的很多概念,像电场、电势能、电势、电势差等,现在看来这些概念的建立体系还是比较有逻辑的,一环接一环，能够依次推导得出.磁场的概念也是如此,不过有一个概念感觉突然就出现了,没有找到概念的来源,一直觉得很别扭,这个概念就是磁通量．

小理:我也觉得当时突然就冒出这么一个物理量了,然后就是学习电磁感应的时候使用磁通量的概念计算感应电动势．

小物:对啊,这么重要的一个概念就只是这样突然冒出来,不应该啊！应该有依据或者推导吧?或者说磁通量的物理意义究竟是什么呢?

小理:这个我也不大清楚,让我想想……

2小理的思考

物理每一章节的概念学习都是非常成体系的,前后概念之间的联系也非常紧密,相互之间能够有较为清晰的逻辑联系．并且每一个概念都有相应的具体推导过程、存在的意义以及概念运用等环节．相比之下,磁通量的定义和得到方式的确比较突兀,没有交代清楚概念的起源和存在的意义．

2.1　流量的概念

我们知道物理中有一个概念叫作流量,用于描述液体的流动,其定义为通过横截面积的液体体积除以时间,即q=V/t. 将公式稍加变形,可以得到流量的另一种计算方式

即流体的流量等于流体的流速与流体路径的横截面积的乘积．这里需要注意的是，横截面积S与流速是相互垂直的,不是成任意角度的．

在物理上,速度和面积都是矢量,速度的矢量方向自不必说,面积的矢量方向为与该面相垂直的法线方向,因此再这样的数学工具下,流量的计算方式可抽象为

θ为速度方向和面积法线方向的矢量夹角,因此可知流量有正负之分,但是正负号并不代表流量的大小,也不表示流量方向(事实上由矢量运算规则可知流量为标量,没有方向),正负号可表示流体相对某一选择的横截面是“流入”或是“流出”．

2.2　通量的概念

通量的概念可以借鉴流量的概念得到,即某一矢量与某一面积的矢量点乘为该矢量对应的通量,即

Φ=A·S=AScosθ.

矢量通量描述的是矢量“穿入”或者“穿出”该面积的“流量”,但是经过抽象之后,通量已经脱离流量的概念了.具体到一些实际情况下可以退化到流量,比如液体的流量.空气流动的流量都属于通量概念．

2.3　电场的通量

电场强度也是矢量,因此电场也有相应的通量——电通量,其定义方式为电场强度与面积的矢量点乘,即

Φ=E·S=EScosθ.

如果面积不是平面而是曲面,那么可以将面积分为若干个小块面积,求出每一块面积的电通量之后，再将每一部分的电通量进行求和就行了,因为电通量本身是标量．

电通量有什么物理运用价值呢?我们看一个例子:带电荷量为Q的正电荷,位于一个半径为R的球面的球心处,球面处的电场与球面始终垂直,那么穿过球面的电通量为

可见电通量与场源电荷直接相关,而且对于确定的电荷量,不论我们选择的球面的半径多大,球面对应的电通量都是一个确定的值,这个值由场源电荷的电荷量决定．可见,电通量的值由场源电荷决定,但是又等于场源电荷,那么电通量描述的是什么呢?

在高中物理中我们形象地利用电场线来描述电场的强弱和方向,即电场线的疏密程度表示电场的强度大小,电场线的切线方向即为电场强度的方向.那么如何描述电场线的疏密程度呢?常用的方式是选定一个和电场垂直的单位面积,比较穿过面积的电场线的条数即可.自然穿过垂直的单位面积的电场线数量越多,场强越强．也就是说，场强可以用穿过垂直单位面积的电场线数量(N)表示,即E=N/S,因此电场线的数量为N=ES.

可以看到这就是电通量,因此电通量描述的就是电场线的数量,这样就能够解释为什么包裹点电荷的面的电通量不变化了,因为点电荷发出的电场线数量不会变化,因此穿过球面的电场线数量始终恒定且只由电源决定,即电通量只由场源电荷决定!

不光如此,当我们明白这其中的联系之后,可以用一种全新的方法求解电场强度,即穿过闭合曲面的电通量始终与闭合曲面包围的电荷量成正比,即

E·S=4πkQ.

这就是著名的高斯定理,于是对于点电荷周围的电场强度,可以这样求解:在距离点电荷r处,作一个半径为r的以点电荷为球心的球面,由对称性可知，球面上场强处处相等且垂直于球面,因此

E·S=ES=4πkQ.

因此高斯定理和库仑定律是等效的,但是高斯定理的使用在很多时候更加方便,比如平行板电容器的电容计算公式的推导．

2.4　平行板电容器电容

如图1所示，真空中(介电常数ε为1)的平行板电容器极板的带电荷量为Q,间距为d,极板面积为S,假定极板间电场是匀强电场,那么画一个长方体面包裹住一块极板,则由高斯定理可知

ES=4πkQ.

图1

又U=Ed,因此电容为

2.5　磁场的通量

与电通量类似,磁通量的计算方式直接利用通量的定义可以得到

Φ=B·S=BScosθ.

当磁感应强度和面积垂直的时候,磁通量就等于磁感应强度和面积的乘积,与教材上的计算结果完全相同．因为磁感线的疏密程度反映了磁感应强度,因此穿过垂直磁场的单位面积的磁感线数量即是磁感应强度，即B=N/S， 磁感线的数量为N=BS.

这就是此时的磁通量,因此磁通量也可以理解为垂直穿过单位面积的磁感线的数量,和电通量的结论完全一致．这样理解就不会觉得磁通量的概念很突兀了,有了通量的概念作铺垫,我们对磁通量的理解就能够更加深入了．

故事到了最后,小物又给小理提出了一个问题,磁场有没有类似电场的高斯定理呢?即穿过闭合曲面的磁通量与曲面包裹的什么东西有关呢?

(作者单位：清华大学附属中学)