利用波耳共振仪研究受迫振动的非线性特性

谢　宁,高志华,孙迎春

(东北师范大学 物理学院，吉林 长春 130024)



利用波耳共振仪研究受迫振动的非线性特性

谢宁,高志华,孙迎春

(东北师范大学 物理学院，吉林 长春 130024)

摘要：利用波耳共振仪实测数据，通过对其轴承摩擦进行理论修正，建立受迫振动的非线性方程，并采用Matlab软件求解其数值解的方法，研究了受迫振动的非线性特性.

关键词：波耳共振仪；受迫振动；轴承摩擦；非线性特性；Matlab

资助项目：吉林省教育厅大学物理实验精品课；东北师范大学大学物理实验精品课；东北师范大学“东师教育教学扶持计划”项目(No.15B1XZJ015，No.15B2XZJ001)

从狭义上说，通常把具有周期性的往复运动称为振动[1]. 周期性外力持续作用在系统时，受到的振动即为受迫振动，此周期性外力即为强迫力. 当强迫力频率与系统的固有频率相同时，受迫振动会产生共振现象，共振是物理学领域普遍存在的现象[2]，它既有危害性的一面，又有很多的可利用价值[3]. 对许多物理事件常采用数学建模的方式进行模拟，例如沙漏摆振动的摆幅、周期随流量非线性变化的实验中，用Matlab软件模拟的结果与理论结果吻合得较好[4].

在高校物理实验教学中波耳共振仪被普遍用于研究受迫振动[5]. 该装置中，转动惯量和蜗卷弹簧的劲度系数是影响振动参量的最大因素，但仪器一旦制作完成，这2个参量就固定不变了，而电磁阻尼对应的等效黏滞阻尼的阻尼比则是影响阻尼振动的主要因素，影响振动非线性特征的现象也随着阻尼比的不同而不固定，但其中许多问题都由不可预测的原因造成，具有极大的不确定性. 因此，本文只研究影响振动的一个非线性因素，即轴承摩擦因素的影响，所以在对振动的理论方程进行修正时，运用Matlab软件对修正后的受迫振动方程进行求解和分析，从而得到轴承摩擦对此类振动非线性特征的影响结果.

1实验的理论依据及对轴承摩擦的修正

1.1　波耳共振仪及其受迫振动的线性理论

(1)

即

(2)

因为摆轮只受到弹性恢复力矩(即周期性外力矩)和阻尼力矩的作用，不存在其他周期性外力矩的作用，但是实际实验时，摆轮是在受到周期性外力作用时发生的受迫振动，所以kαm可以等效视为周期性外力矩M，则式(2)可改写为[6]

(3)

设定参量变换为

则式(3)可改写为

(4)

式(4)即为稳定状态的受迫振动运动方程，其有确定的解析解：

(5)

因此可见，振幅θ取决于4个参量λ，ω，ω0和β，与振动的起始状态无关[3].

当发生共振时，振幅θ达到极大，因此可求解出此时的圆频率和振幅分别为

(6)

(7)

1.2　轴承摩擦的影响

轴承摩擦普遍存在于定轴转动的运动中. 研究发现转速较小时轴承摩擦力较大，而当转速达到一定临界值后轴承摩擦力将保持稳定[4].

设置电磁阻尼为0挡，即去掉电磁阻尼的影响时，就可研究空气阻尼和轴承摩擦的影响. 经过实验测量发现:β随摆角θ变化(如表1所示). 由表1可见：当θ>20°时，β基本为稳定值;而当θ<20°时,β随着θ增大而迅速减小. 因此说明:当选择θ>20°进行实验测量时，阻力的变化主要由轴承摩擦引起. 考虑到轴承所承受的压力与转动系统的加速度、速度以及摆动角度都相关，因此，根据经验设定轴承的摩擦力矩近似为

表1　β随摆角θ变化的测量值

(8)

其中，常系数A>0,B>0,C>0，说明轴承摩擦与角加速度、角度呈正相关，而与速度呈负相关，这与实际物理现象几乎一致.

1.3　建立修正的运动方程

(9)

通过变量代换，将式(9)变为一阶常微分方程组[7]：

(10)

其中：

2实验测量及受迫振动的非线性模拟

通过实验测定出β,ω0,λ和ω的数值. 而另外的3个常数a,b,c与轴承摩擦相关，不能通过实验测得，需利用Matlab软件多次给定数值进行模拟计算得出.

2.1　β的测量

依据文献[3]可知β满足下式：

(11)

调节系统在电磁阻尼2挡，使摆轮从较大振幅开始作衰减运动，并从电器控制箱显示屏上读出振幅变化值，同时进行测量，结果见表2.

表2　电磁阻尼2挡时测得的角度与周期

将表2数据代入式(11), 经两轮加权处理，即可求出β的平均值为

2.2　ω0，λ和ω的测量

电磁阻尼在2挡时使摆轮做受迫振动. 改变电机转速[8](即改变强迫力矩频率)，当受迫振动稳定后，读取摆轮的振幅值与振动周期(此时电机强迫力矩周期与摆轮振动周期一致). 梯度改变电机不同的转速，即改变强迫力外力矩的频率，进行逐点测量，可通过测得数据找到振动最大的振幅，此时T0=T，即为达到共振状态(见表3).

表3　电磁阻尼2挡测得的强迫力矩周期T和振幅θ

实验测量自由振动时与振幅θ对应的固有周期T0，测得数据40组. 由表3中振幅与测得的40组数据对照，得到自由振动时与振幅θ对应的固有周期T0及计算获得的结果见表4.

表4　自由振动时与振幅θ对应的固有周期T0及

2.3　受迫振动的非线性方程及其模拟

将获得的常系数β，ω0，λ，ω代入方程组(10)中，得：

(12)

图1　振幅θ随时间t的变化曲线

图随θ的变化关系曲线

由图1~2可见，随着时间的推移，振动系统的振幅逐渐增大到某个极大值后开始减小，振幅的增加是受限的而不是无限增大，呈现出非线性混沌特征，这也与文献[9]的单摆非线性运动特点几乎一致.

3结束语

利用波耳共振仪研究了自由振动、阻尼振动和受迫振动3种振动状态. 通过自由振动测得了与阻尼系数相关的参量β，并通过电磁阻尼振动测得了系统的固有圆频率ω0、参量λ和强迫力的圆频率ω，通过对轴承摩擦的分析探讨及对其进行修正，构建了考虑轴承摩擦因素在内的受迫振动的非线性方程组，利用Matlab软件求解出该非线性方程组的数值解，表明受迫振动振幅的幅值具有明显的非线性特征. 因此，采用波耳共振仪研究受迫振动的非线性性质对理解一般非线性受迫振动的问题有借鉴作用，对一些实际工程问题的处理也将有一定的现实意义[9].

参考文献：

[1]宋徐林，王昆林. 利用DIS数字化信息系统对高脚玻璃杯振动声现象的研究[J]. 物理实验，2015，35(3)：43-46.

[2]闻邦椿. 机械振动理论及应用[M]. 北京：高等教育出版社，2009：67-71.

[3]陈铭南，何雨华. 用波耳共振仪研究受迫振动[J]. 工科物理，1999，9(2)：26-28.

[4]史彤阳，孔维姝，胡林，等. 不同流量沙漏摆的振动规律[J]. 物理实验，2015，35(10)：37-40.

[5]董霖，王涵，朱洪波. 波尔共振实验“异常现象”的研究[J]. 大学物理，2010，29(2)：57-60.

[6]朱鹤年. 波耳共振仪受迫振动的运动方程[J]. 大学物理，2006，25(11)：47-48.

[7]刘秉正，彭建华. 非线性动力学[M]. 北京：高等教育出版社，2005：14-15.

[8]王浙伟. “受迫振动、共振”演示实验的研究与改进[J]. 物理实验，2009，29(10)：16-19.

[9]汤艳芬. 非线性系统受迫振动的周期解[J]. 大学物理，2004，23(9)：25-28.

[责任编辑：尹冬梅]

Study on the nonlinear characteristics of forced

oscillation by using Pohl resonator

XIE Ning, GAO Zhi-hua, SUN Ying-chun

(School of Physics, Northeast Normal University, Changchun 130024， China)

Abstract:Using the experimental data from Pohl resonator, the nonlinear equations of forced vibrations were established after a theoretical correction of the bearing friction. The nonlinear characteristics of forced vibrations were studied by solving the equations numerically using Matlab.

Key words:Pohl resonator; forced vibration; bearing friction; nonlinear; Matlab

通讯作者：孙迎春(1961-)，女，吉林长春人，东北师范大学物理学院级教授，博士，研究方向为生物物理、理论物理及物理实验研究.

作者简介：谢宁(1990-)，女，辽宁沈阳人，东北师范大学物理学院级理论物理2013级硕士研究生.

收稿日期：2015-08-30；修改日期：2015-11-29

中图分类号：O321

文献标识码：A

文章编号：1005-4642(2016)02-0014-04