Hull—White利率模型仿真与债券估值

陈勇　邓坤

摘 要 应用Vasicek模型和NelsonSiegel模型估计HullWhite利率模型的参数，运用蒙特卡洛方法模拟利率路径，根据利率路径估计中国国债的价值，并进行敏感性分析.结果表明，运用蒙特卡洛方法模拟HullWhite利率模型，具有计算简单和运算速度快的特点，且债券估值的结果较为精确.该方法可广泛地应用于债券及其衍生品的定价分析.

关键词 利率期限结构；HullWhite模型；蒙特卡洛

中图分类号 F830.91 文献标识码 A

Abstract This paper used the Vasicek model and the NelsonSiegel model to estimate the parameters of HullWhite model，and simulated the HullWhite term structure model. The theoretical prices of sample bonds were priced through the Monte Carlo simulation methods. We conducted a sensitivity analysis. It is shown that simulation-based method is more precise than the three-tree one to price bonds.

Key words term structure of interest rates； Hullwhite model； Monte Carlo simulation

1 引 言

利率期限结构是某个时点上债券的到期期限与收益率之间的关系.利率期限结构模型是资产定价、衍生品设计和利率风险管理的基础性问题.在利率市场化背景下，对利率期限结构的研究可以为债券的定价提供理论依据，促进债券及其衍生品的发行和交易，并为度量和管理利率风险提供工具和手段.

利率期限结构模型可以分为静态模型和动态模型.静态模型考虑某个时点上不同到期期限的债券收益率，应用样条函数拟合整条利率曲线.动态模型应用随机过程刻画利率波动.动态模型根据随机因子的个数可以分为单因子模型、双因子模型和多因子模型.单因子模型应用单因子扩散过程刻画即期利率的动态变化.由于单因子模型的参数估计简单，往往可以求出解析解，应用最为广泛.

Vasicek（1977）[1]应用均值回归的扩散过程描述即期利率的波动，是最早的单因子模型.为了克服Vasicek模型名义利率可能为负的缺点，Cox、Ingersoll & Ross（1985）[2]提出了均值回归的平方根扩散过程CIR模型.后来，Chan et al（1992）[3]将各种形式的单因子模型归纳为CKLS模型.

各种单因子扩散模型在很大程度上揭示了利率波动的水平效应和均值回归特征，但是不能反映初始时期利率曲线的形状对未来即期利率的影响.Hull & White（1990）在Vasicek模型中引入了初始时期的利率曲线，反映了初始时期经济环境对未来即期利率的影响[4].

由于HullWhite模型的参数包含初始时期的利率曲线，数值模拟的难度较大，相关研究成果较少.已有文献主要应用三叉树方法对HullWhite模型进行离散化处理，并对债券及其衍生品进行定价分析.Hull & White（1994，1996）提出了分解HullWhite模型的三叉树方法[5，6].宋逢明和石峰（2006）应用三叉树方法模拟了银行间债券市场的利率波动[7].石峰（2008）应用三叉树方法对信用衍生品进行定价分析[8].

已有文献主要采用三叉树方法分解Hull-White模型，缺乏应用蒙特卡洛方法的研究成果.本文首先估计HullWhite模型的参数，然后应用蒙特卡洛方法模拟Hull-White模型下的利率波动，并根据利率路径估计无风险债券价格，最后进行了敏感性分析.

5 参数估计和债券估值

5.1 HullWhite模型参数估计结果

选取期限为1个月的上海银行间同业拆借利率估计Vasicek模型的参数.样本期间从2008年1月至2013年11月，共71个月度数据.由于均值回归过程属于平稳过程，先检验样本数据的平稳性.ADF检验结果显示样本数据为平稳过程，再依据式（3）进行回归分析.回归结果如表1所示.

应用NS模型拟合2013年11月1日的交易所的国债利率曲线.搜集了2013年11月1日有交易价格的14只样本债券，应用高斯牛顿迭代法估计NS模型，最小化样本债券的理论价格与市场价格的差额的平方和.NS模型的参数估计结果如表2所示.

5.2 债券估值结果与敏感性分析

我们选取2013年11月1月在上海证券交易所流通的八只附息票国债作为研究对象，债券代码分别为019307、010501、010603、019315、010512、010107、010303、010706.用蒙特卡洛方法模拟利率路径，再用利率路径对债券的现金流进行贴现，并将债券的估计价格和当天的实际收盘价进行比较.利率模拟的次数为1 000次.8只债券的估值结果如表3所示.

从总体上看，HullWhite利率模型对8只债券的估值结果较为精确，特别是到期期限较短的债券，理论价格与实际价格误差不超过0.9%.究其原因，债券的到期期限越短，交易越活跃，债券的流动性越好，实际价格的波动越小.与三叉树方法相比，蒙特卡洛方法具有实现过程简单和运算速度快的特点，并且不存在模型偏误.

选取代码为010603的债券分析估值结果对参数k和σ的敏感性.从总体上看，债券价格与参数k和σ的变动方向符合预期，但是债券价格对参数变动不敏感.首先，当均值回归速度k上升时，债券的价格上涨.当k增长时，即期利率向较高的远期利率的收敛速度加快，导致即期利率水平上升，债券的价值趋向于下降.同时，当k增长时，在其他参数不变的情况下，即期利率的波动方差上升，由于债券价格是即期利率波动方差的增函数，债券的价值趋向于上升.由于两种作用相互抵消，导致债券价值对k的变动不敏感.其次，当即期利率的波动标准差σ上升时，债券的价格上升.由于债券价格是即期利率的凸函数，因此，即期利率的波动越大，债券的价格越高.

6 结 论

分别应用Vasicek模型和NS模型估计HullWhite利率模型的参数，再对即期利率进行变量变换，并运用蒙特卡洛方法模拟利率路径，最后应用利率路径贴现债券的现金流，并分析债券估值对HullWhite模型参数的敏感性.结果表明，运用蒙特卡洛方法模拟HullWhite利率模型，具有计算简单和运算速度快的特点，且债券估值的结果较为精确.由于HullWhite模型既考虑利率波动的特征，又反映初始时期利率曲线的影响，该方法可广泛地应用于债券及其衍生品的定价分析.

参考文献

[1] O VASICEK. An equilibrium characterization of the term structure[J]. Journal of Financial Economics， 1977，5 （2）： 177-188.

[2] J C COX， J E INGERSOLL， S A ROSS. A theory of the term structure of interest rates[J]. Econometrica， 1985， 53（2）： 385-407.

[3] K C CHAN， G A KAROLY， F A LONGSTAF， et al. An empirical comparison of alternative models of the short term interest rate[J]. Journal of Finance， 1992， 47（3）： 423-455.

[4] J HULL， A WHITE. Pricing interest rate derivative securities[J]. Review of Financial Studies， 1990， 3（4）： 573-592.

[5] J HULL， A WHITE. Numerical procedures for implementing term structure models： singlefactor models[J]. Journal of derivatives， 1994 （1）： 7-16.

[6] J HULL， A WHITE. Using hullwhite interest rate trees[J]. Journal of Derivatives， 1996， 3（3）： 26-36.

[7] 宋逢明，石峰.基于HullWhite模型的债券市场利率期限结构研究[J].运筹与管理，2006（3）：34-36.

[8] 石峰.HullWhite模型在次级债定价中的应用研究[J].运筹与管理，2008（5）：108-122.