以函数极值问题为例植入博弈论思想的研究性学习

王能发

(贵州财经大学 数统学院, 贵州 贵阳 550025)

以函数极值问题为例植入博弈论思想的研究性学习

王能发

(贵州财经大学 数统学院, 贵州 贵阳 550025)

研究性学习是大学数学课堂教学的一种重要的教学形式, 它是在教师的精心设计下, 引导学生发现问题、分析问题和解决问题, 并进一步将问题引向深入和探究。本文通过大学数学中常见的函数极值问题为例, 植入博弈论思想, 引导学生进行研究性学习。

研究性学习；极值；博弈论

所谓数学研究性学习, 是指学生在教师的指导下, 通过与数学学科内容相关的课题, 学生作为主体参与, 体验问题提出和解决的全过程[1]。 这一学习过程不但使学生发展了思维能力, 而且逐渐领悟到数学研究的基本过程和方法, 提高学生的科学精神和人格素质。 因此, 近些年来研究性学习受到了广泛的关注。本文以大学数学中最常见的函数极值问题为例, 植入博弈论的思想, 引导学生进行研究性学习。我们知道, 在《数学分析》或《高等数学》中，函数的极值问题是其中一个非常重要的教学内容，函数的极值不仅是函数性态的重要特征，而且在实际应用中有着重要的作用。

例如, 在实际问题中我们经常会遇到这样的问题，怎样才能使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“风险最小”、“收益最大”等等，这些问题归结起来，常常需要求一个一元函数或多元函数的最大值或最小值，他们统称为最值。 一般在实际问题中出现的需要求其最值的函数，我们称其为目标函数，而该函数中的自变量被称为决策变量。 在目前我们的大学教材《数学分析》或《高等数学》中, 关于极值问题的研究都讲得比较清楚，无论是无极值问题的求解还是有极值问题的求解，基本都是针对目标函数是一个的情形，当然决策变量可以是多个。 但是对于目标函数是两个或以上的问题基本没有涉及，下面就目标函数是两个的为例, 将函数的极值问题引向深入。

一、以函数极值问题为例植入博弈论思想的研究性学习

在学习完一元函数极值问题时, 我们可以设计一个如下问题：

问题一：有一家企业生产某产品(假设只有这一家企业生产这种产品)，当其产量为x时，根据市场规律，其卖出价格为p=a-bx，其中a、b均为大于0 的常数，a为产品的最高价格，b为每多生产一个单位产品所导致的价格下跌。 假设每生产一个产品的边际成本都为c, 且a>c。 于是该企业的利润函数为

f(x)=px-cx= (a-bx)x-cx

(1)

这是一个无约束的最优化问题, 目标是如何选择产量x, 使企业的利润最大? 根据无约束最优化问题的求解方法, 先求得

f′(x)=-bx+(a-bx)-c

(2)

这样一个问题在我们的《数学分析》或《高等数学》中都是完全可以解决的。 现在引导学生思考：要是有两家企业呢？并且这两家企业生产同质的产品, 生产相互独立, 情况会如何呢? 于是有下述问题：

问题二：有两家企业生产某产品，当企业1 产量为x 、企业2 产量为y 时，根据市场规律，他们卖出价格均为p = a-b(x+y) ，其中a 、b 与问题一同样的含义。 假设两个企业的边际成本都为c , 且a>c 。

于是该企业1 的利润函数为

f1(x, y) =px-cx=[a-b(x+y)]x-cx,

(3)

企业2 的利润函数为

f2(x, y)=py-cy=[a-b(x+y)]y-cy

(4)

这也是一个无约束的最优化问题, 不同的是有两个目标函数, 企业1 如何选择产量x、企业2 如何选择产量y, 使企业1 和2 的利润都达到最大? 目前一般的《数学分析》或《高等数学》没有讲到这类问题。 而这样的问题显然一方面有很现实的意义, 另一方面作为极值问题的深入, 可以引导学生做一个研究性的学习。

其实上述问题二是一个最简单的博弈问题。 著名的经济学家萨缪尔森曾经说过：要想在现代社会做一个有文化的人, 你必须对博弈论有一个大致了解。 作为当代大学生, 更应该了解一点博弈论。 那么何为博弈呢? 张维迎教授在[2]中是这么描述的：博弈论, 英文为gametheory, 是研究决策主体的行为发生直接相互作用时候的决策以及这种决策的均衡问题的，也就是说，当一个主体，好比说一个人或一个企业的选择受到其他人、其他企业选择的影响，而且反过来影响到其他人、其他企业选择时的决策问题和均衡问题。 田国强教授：博弈论就是一门专门研究在各种不同行为假设(如Nash均衡行为假设，占优均衡假设等)下人们如何互动，并作出最佳决策的理论。 大百科全书数学大辞典：博弈论也称对策论，是运筹学的一个重要分支。 它所研究的是2 个及以上个决策者在某种对抗或竞争的局势下，如何各自作出决策，从而使自己得到尽可能最有利的结果。 到目前为止, 也没有一个统一的定义, 但是并不妨碍人们学习和研究博弈问题。博弈有两个重要的特征：第一、你中有我、我中有你；第二、换位思考和系统的看待问题。作为一个刚学习《数学分析》或《高等数学》的极值问题的大一学生, 更迫切的知道上述问题二的解答。 可以引导学生这样分析问题: 作为企业1 而言, 假设他已经知道企业2 选择了某个产量y, 那么此时企业1 千方百计的选择一个产量x , 使自己的利润f1(x, y)=[a-b(x+y)]x-cx最大(此时视y 为一个常数)。 此时就转化为问题一了。 于是

(5)

(6)

作为企业2 而言, 可以同样的考虑。 假设他已经知道企业1 选择了某个产量x , 那么此时企业2 千方百计的选择一个产量y , 使自己的利润f2(x, y)=[a-b(x+y)]y-cy最大(此时视x 为一个常数)。 于是

(7)

(8)

(9)

因此解得

(10)

(11)

问题到此, 可以进一步引导学生思考：要是有n家企业呢? 于是有下述问题：

(12)

那么各个企业又如何选择自己的产量xi而使自己的利润函数达到最大呢? 思路与问题二一致, 这样就可以留给学生自己去思考。 当然也可以提示学生去参考[3]和[4]。

三、结语

本文主要是以函数极值问题为例, 介绍了如何进行研究性学习, 引导学生发现问题、分析问题和解决问题。 并将学生引入比较前沿的学科——博弈论。 从而激发学生去探索新知识、新方法的兴趣和能力。 这里面当然还可以引导学生考虑价格函数非线性的, 以及每家企业的边际成本不同的情况等等。

[1] 王金红. 大学数学实施研究性学习的若干途径[J]. 大学数学, 2007, 23(4): 11～13 .

[2] 张维迎. 博弈论与信息经济学[M]. 上海：格致出版社，2004 .

[3]王能发. 基于轻微利他均衡的古诺博弈研究[J]. 重庆师范大学学报(自然科学版), 2014, 31(4): 26～29 .

[4] 俞建. 博弈论选讲[M]. 北京: 科学出版社，2014 .

2095-4654(2016)12-0008-03

2016-05-06 基金项目：国家自然科学基金资助(No.11501349;61472093)；贵州省教育厅自然科学基金青年项目资助(黔教合KY 字[2015]421)

G642.0

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