广义反埃尔米特矩阵的特征

谢凤繁，殷 倩

(武汉科技大学 理学院数学与统计系，湖北 武汉 430065)

广义反埃尔米特矩阵的特征

谢凤繁*，殷 倩

(武汉科技大学 理学院数学与统计系，湖北 武汉 430065)

致力于研究一类重要的、具有特殊性质的矩阵——反埃尔米特矩阵。反埃尔米特矩阵A有A=-A*的性质，推广反埃尔米特矩阵概念的一种方式是考察A～-A*的矩阵类。这里我们用几种方式刻划了这一类矩阵，通过研究得出了A相似于-A*的几个等价条件。

埃尔米特矩阵; 反埃尔米特矩阵；相似

反埃尔米特矩阵是一类特殊形式的矩阵,在矩阵理论及其应用中有着重要的地位。 关于它的研究有很多文章(见[1],[2],[3]等)，1985年，Roger A.Horn和Charles R.Johnson在矩阵分析这本书中给出了A～A*时的几个等价条件(见[4])。本文将探讨A～-A*时的一些情况, 并且给出了几个等价的条件。

下面我们先给出一些必要的符号和本文论证中需要的引理(见[5],[6])。

本文用R表示实数域,用Rk×k表示实数域R上所有的n×n矩阵组成的集合，用Mn表示n×n复矩阵的集合, 用A*表示矩阵A的共轭转置。

引理1: 相似的矩阵具有相同的特征值。

引理2: 设A是任意的反埃尔米特矩阵, 则A的特征值为0或bi,b∈R。

引理3: 对任意的实方阵A∈Rn×n相似于具有形状

引理4: 对任意的正规矩阵A∈Mn, 它的特征值是λ1,…，λr，存在一个酉矩阵U∈Mn, 使得

二、主要结果

定理 设矩阵A∈Mn,则以下各命题彼此等价：

a) 相似于矩阵iB, 其中B∈Mn(R);

b)A～-A*;

c)A经反埃尔米特矩阵相似变换相似于-A*;

d)A=HK,其中H，K∈Mn，一个为反埃尔米特矩阵, 另一个为埃尔米特矩阵, 并且H,K中至少有一个为可逆矩阵;

e)A=HK, 其中H,K∈Mn，一个为反埃尔米特矩阵, 另一个为埃尔米特矩阵 。

证明:首先要指出的是a)⟹b)：如果a)成立，则A～iB～iB*=(-iB)*=-(iB)*～-A*, 这就是说，A～-A*，b)成立。

为了证明b)⟹c)，假定S-IAS=-A*, 且注意到，如果对任意非零a=reiθ∈C,T=aS, 那么T-1AT=-A*. 因而AT=T(-A*),-AT*=T*A*, 所以A(T-T*)=(T*-T)A*。如果(T-T*)是可逆的,则(T*-T)-1A(T-T*)=-A*。下面只需要找到一个θ∈[0,2π], 使e-2iθ∉σ(S-1S*)结论成立，即可得证。 因为T-T*可逆等价于T-1(T-T*)可逆, 即1∉σ(T-1T*), 而T-1T*=e-2iθS-1S*,θ∈[0,2π], 所以总可以找到一个θ∈[0,2π]使得e-2iθ∉σ(S-1S*)成立。 因而b)蕴涵c)。

其次，c)⟹b)显然成立的。如果c)成立，A通过一个反埃尔米特矩阵相似于-A*, 则存在一个反埃尔米特矩阵S使得S-1AS=-A*.则S-1A=(-A*)S-1,A=S(-A*)S-1, 令A=S((-A*)S-1), 显然S是一个反埃尔米特矩阵,((-A*)S-1)*=(S*)-1(-A)=(-S)-1(-A)=S-1A=(-A*)S-1, 所以(-A*)S-1是埃尔米特矩阵且S是可逆的。同理可以令A=(S(-A*))S-1, 则S-1是反埃尔米特矩阵,S(-A*)是埃尔米特矩阵。因而d)成立。

d)⟹b)如果d)成立，且A=HK,不妨设H是反埃尔米特矩阵且是可逆的,K是埃尔米特矩阵，则H-1AH=H-1HKH=KH,又H*=-H,K=K*,所以KH=-K*H*=-(HK)*=-A*, 所以H-1AH=-A*. 从而b)成立。

显然d)⟹e)；我们要证明e)⟹a)。如果H,K中至少有一个是可逆的, 则e)⟹d), d)⟹b), b)⟹a),所以e)⟹a)。

其中K1是埃尔米特矩阵, 所以DK1是埃尔米特矩阵. 假设归纳DK1相似一个r阶实矩阵Br, 所以DK1得特征值为实数或者成对出现的共轭复数. 由引理3可知, -iA相似于一个实矩阵B, 则A～iB。

[1] 徐进,盛兴平. 广义酉矩阵与广义(斜)Hermite矩阵的约当标准型[J]. 合肥工业大学学报(自然科学版), 2006, 29(12): 1 620～1 623.

[2] 程静,何承源. 广义酉矩阵与广义Hermite矩阵的一些性质[J]. 重庆师范大学学报(自然科学版), 2010, 27(3): 58～60.

[3]袁晖坪. 广义酉矩阵与广义Hermite矩阵[J]. 数学杂志, 2003, 23(3): 375～380.

[4]RogerA.Horn,CharlesR.Johnson.MatrixAnalysis[M].London:CambridgeUniversityPress, 1985.

[5] 王萼芳, 石生明. 高等代数(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社, 2003.

[6] 樊恽. 代数学词典[M]. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.

2095-4654(2016)12-0001-02

2016-10-31 基金项目: 湖北省教育厅青年基金项目(B20111101); 冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室(Y201316); 武汉科技大学校基金(2012XG011)

谢凤繁(1978-)，女，湖北省武汉人，武汉科技大学理学院数学与统计系副教授，博士，主要研究方向：凸体几何与积分几何，E-mail:xiefengfan@wust.edu.cn。

O151.21

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