从极大似然原理到单脉冲公式

徐振海，王罗胜斌，刘兴华

(国防科技大学 电子信息系统复杂电磁环境效应国家重点实验室，湖南 长沙 410073)

从极大似然原理到单脉冲公式

徐振海，王罗胜斌，刘兴华

(国防科技大学 电子信息系统复杂电磁环境效应国家重点实验室，湖南 长沙 410073)

本文首先推导得到大信噪比条件下单脉冲比的近似公式；然后根据和、差通道噪声特性求得单脉冲比的统计特性；最后利用极大似然估计原理推导单脉冲公式，同时得出了信噪比的极大似然估计。研究建立了单脉冲与极大似然估计的理论联系。该研究不仅有利于“雷达原理”课程教学，同时对雷达工程实践也有参考价值。

极大似然原理；单脉冲公式

0 引言

在“雷达原理”课程教学中，单脉冲测角是一项重要内容。单脉冲测角原理是通过比较天线波束同时接收的两个或多个信号从而获取目标的精确角度。理想条件下，无论“比幅”或“比相”单脉冲最终得到线性的鉴角曲线，即单脉冲比与目标角度呈线性关系：

(1)

式中：Σ、Δ分别表示和、差通道输出电压，s、d分别对应目标的和、差通道电压，θ为目标角度，K为单脉冲斜率。

可以看出，只要测量得到单脉冲比即可求得目标角度。实际条件下考虑到和、差通均有道热噪声的存在，单脉冲比应为

(2)

其中：nΣ、nΔ分别表示和、差通道热噪声。假定和、差通道热噪声服从零均值复高斯分布，并且相互独立，噪声强度均为σ2，则有：E[nΣ]=E[nΔ]=0，E[nΣ·nΔ]=0，E[|nΣ|2]=E[|nΔ|2]=σ2。

受热噪声的影响单脉冲比出现了虚部，在实际应用中直接取单脉冲比的实部进行测角，即：

(3)

之所以这么处理，文献[1-4]给出的理由是：目标只对实部有贡献，虚部是由热噪声引起的。在课堂讲授过程中，学生对此理解起来较困难，并提出直接将单脉冲比取实部运算是否合理？学生对该知识点提出了较多类似质疑。鉴于此，笔者对该问题进行了深入研究。

要想彻底解决该问题，必须从单脉冲比的统计特性出发，但直接根据式(2)推导单脉冲比的统计分布比较困难。笔者采用的思路是：首先推导大信噪比条件下单脉冲比的近似公式；然后根据和、差通道噪声特性获得单脉冲比的统计特性；最后利用极大似然估计原理推导出单脉冲测角公式。

1 单脉冲比近似

(4)

将式(1)代入式(4)可得：

(5)

当和通道SNR很高时，单脉冲比近似为

(6)

考虑到热噪声信号相位的随机性，不妨令s为实数，或者在复平面上以和信号矢量为参考，上式简化为

(7)

2 单脉冲比统计特性

根据和、差通道噪声统计特性可知，单脉冲比仍然服从复高斯分布，均值和方差分别为

E[χ]=Kθ

(8)

(9)

(10)

3 极大似然估计

根据式(10)可得目标角度与信噪比的似然函数为

(11)

根据极大似然估计原理，似然函数对未知参数分别求偏导，并令之为零得到

(12)

(13)

根据式(12)可得

(14)

将式(14)代入式(13)可得：

(15)

至此，从极大似然估计原理推导出单脉冲公式，单脉冲测角是极大似然估计的结果。另外还要注意，单脉冲测角公式是在SNR足够高的前提下得到的，如果SNR不是足够高，应用单脉冲公式是有一定风险的。

同时将式(15)代入式(14)还可得到SNR的极大似然估计为

(16)

这个极大似然估计的“副产品”，在任何教材中均未见到，为目标回波信噪比估计提供精确公式。

4 结语

本文从极大似然估计出发详细推导了单脉冲测角公式。在高信噪比条件下单脉冲测角公式与极大似然估计是一致的，并且还得到了信噪比的极大似然估计结果，这是在任何已有的文献中还未见到的。

(徐振海等文)

在“雷达原理”的教学方面，该研究是对《雷达原理》教材的有益补充，对“雷达原理”知识点的讲解以及学生的理解都十分有利。在雷达工程实践方面，该研究提醒雷达工程师单脉冲测角公式在低信噪比时是有误差的，并且为目标回波信噪比估计提供了精确公式。

[1] Samuel M.Sherman, David K.Barton, Monopulse Principles and Techniques (Second Edition), Artrch House, 2011

[2] 王德纯，丁家会，程望东，精密跟踪测量雷达技术，北京：电子工业出版社，2006.03

[3] 斯科尔尼克，雷达手册(第二版)[M].北京：电子工业出版社，2003.07

[4] 丁鹭飞，耿富录，陈建春，雷达原理(第四版)[M].北京：电子工业出版社，2011.05

From Maximum Likelihood Principle to Monopulse Formula

XU Zhen-hai, WANG Luo-sheng-bin, LIU Xing-hua

(StateKeyLaboratoryofComplexElectromagneticEnvironmentEffectsonElectronicsandInformationSystem,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

At first, the monopulse ratio is approximated on the high SNR condition.Then the statistical property of monopulse ratio is obtained based on thermal noise in sum and difference channels.Finally, the monopulse formula is derived from maximum likelihood principle.Meanwhile, the SNR is estimated as byproduct.This work establishes a contact between monopulse and maximum likelihood principle.Both the teaching and radar engineering practice will benefit from this work.

maximum likelihood principle; monopulse formula

2016-01-09;

2016-04-03

徐振海(1977-)，男，博士，研究员，主要从事阵列雷达信号处理等领域的教学、科研工作，E-mail:drxzh930@sina.com

TN951;G642.3

A

1008-0686(2016)06-0066-03