说谎者悖论中的自指与否定

赵　震

(安徽大学 哲学系，合肥　230601)



说谎者悖论中的自指与否定

赵震

(安徽大学 哲学系，合肥230601)

摘要：通过列举并分析一些常见说谎者悖论的例子，对说谎者悖论中的自指与否定这两个重要概念及相关问题进行了讨论。讨论了自指及其实现方式，以及自指与说谎者悖论产生的关系；讨论了说谎者悖论中否定的含义及其在说谎者悖论中的实现方式，以及否定与说谎者悖论的关系。

关键词：说谎者悖论；自指；否定

一、说谎者悖论的例子

说谎者悖论的例子有很多，这里介绍几个典型代表：

例(1)例 (1) 不是真的。

这个句子的真值是什么？如果它是真的，根据(1)自身它是假的；如果它不是真的，根据(1)它是真的。用逻辑的方法可以把这个推理描述如下：

1.(1)=(1) 不是真的

已知

2.(1) 不是真的

假设

3.(1)不是真的不是真的

1 ,2,等值置换

4.并非 (1) 不是真的

3,(T),等值置换

5.(1)不是真的并且并非(1)不是真的

6.(1)是真的

2～5,归谬法

7.(1)不是真的是真的

1,6,等值置换

8.(1) 不是真的

7,(T)

9.(1)是真的并且(1)不是真的

上面这个直接带有自指的说谎者悖论被称为“简单的说谎者”，这个例子还有一些变体，它们没有直接的自指，但是有间接的自指，比如下面这个例子：

例(2)A:B 不是真的。

B：A是真的。

使用相似的推理可以得出：如果 A 是真的，那么 B 不是真的，因而 A 不是真的；如果 A 不是真的，那么 B 不是真的不是真的，所以 B 是真的，因此 A 是真的。所以 A 是真的当且仅当 A 不是真的。同样的推理也可以得到 B 是真的当且仅当B 不是真的。

上面例子的一个典型特点就是都包含自指和否定，这似乎说明说谎者悖论都与这二者有关，但是下面的这个说谎者悖论就没有否定，至少表面上没有否定。

例(3)克里(H.Curry) 悖论：令 K 是下面的这个句子的缩写：

True()→ 地球是平的

1.K↔(True()→⊥)

K的构造

2.True()↔(True()→⊥)

1,(T),等值置换

3.True()→(True()→⊥)

↔-

3,一阶逻辑定理

5.True()→ ⊥

6.(True()→⊥)→ True()

↔-

7.True()

5,6,MP

8.⊥

5,7,MP

从上面的例子看，虽然不是所有的说谎者悖论都包含否定(至少表面上不包含否定)，但是它们都包含自指。这让人感觉似乎说谎者悖论必须有自指。但是，并非如此，还有另一个例子表明可以不使用自指也能构造出说谎者悖论。

例(4)雅布罗 (S.Yablo) 悖论：设想一个无穷的句子序列 (S1),(S2),(S3)……每一个句子说的都是接下来的句子都是不真的：

(S1) 任给k>1,Sk是不真的

(S2) 任给k>2,Sk是不真的

⋮

假设有Sn是真的，如果 Sn说的是真的，那么任给k>n，Sk是不真的。因此，(a) Sn+1 是不真的，并且(b)任给m>k+1，Sm是不真的。根据(b)，Sn+1 所说的恰是这种情况，而这与(a)相矛盾。所以，任给n，序列中的句子 Sn是不真的。但是这又恰说明任给n，Sn是真的。因此，对于任何n，Sn是真的当且仅当 Sn不是真的。很明显，这个例子里并没有自指，但是依然产生了与“真”有关的悖论。这个悖论表明，我们可以不需要自指而仅需要非良基性就能构造出悖论。

二、说谎者悖论中的自指

从上面的例子可以看出，除了雅布罗悖论之外，其他的说谎者悖论都涉及自指。自指可以说是说谎者悖论甚至语形悖论产生的一个很重要的原因。自指 (self-reference) 就是指涉自己。这种现象广泛存在于现实之中，比如，北京天安门上有国徽，而国徽上有天安门，那么这个国徽上的天安门也应该有国徽，这样就形成了“自指”。再比如，两面相对放着的镜子，其中任何一面镜子中都有“自己”。不过，这里讨论的主要是语言中的一个现象。语言中的自指主要是指一个句子(或陈述、或命题等)谈论了它自己这个句子(或陈述、或命题等)自身的一些属性或关系。

自指有直接自指和间接自指两类。直接自指就是直接说自己，比如说上面的例(1)。而间接自指则是通过某些媒介转一圈之后再指涉自己，比如说上面的例(2)。那么自指是如何实现的呢？自指是指称的一种，所以有必要先谈一下指称的方式。

最简单最自然的指称方式是日常语言中的指称。日常语言中的指称方式概括起来大概有三类：一是通过描述来指称，二是通过代词来实现指称，三是通过直接命名来实现指称。

第一种，比如我正和一些人在屋子里并且我只说了下面这句话：

这个屋子里 IQ 最低的人说的那句话是假的。

经过 IQ 测试之后，发现我恰好是那个智商最低的人，所以“这个屋子里 IQ 最低的人说的那句话”就指称“这个屋子里 IQ 最低的人说的那句话是假的”这句话，并且因为我只说了这一句话，因此它不仅是指称这个句子，而且是自指。但是，这是通过描述恰好和实际情况相符合来实现自指的。如果我的 IQ 不是最低的，那么这句话就没有实现自指，甚至如果这个屋子里的别人都没有说话，那么这个句子都没有指称。所以说，通过描述来实现指称进而实现自指的方法带有一定的偶然性。

第二种，自指的方式是通过代词实现自指，比如下面这句话：

本句话由 20 个汉字组成。

这里就通过“本”(this) 这个指称代词实现指称，并且是自指这句话本身。

直接命名指称的方式也有两种。一种是著名的引号命名法，即直接给某个表达式(这里没有用句子或公式，因为可能是不合语法的字符串)加上引号，以此作为它的名字，比如用 (x) 表示下面这句话的缩写：

“(x)”这句话是用英文写的。

“(x)”是 (x) 这个句子的名字。这里不仅有指称，而且显然是自指。这种方法相对于上面的描述法来说更确定，没有偶然性，因为它命名的那个表达式就在引号里面。

此外，还有一种直接命名的方法叫作结构描述法。这种方法(以英文为例)首先为语言的每一个字母指定一个名字，比如用 “Sn”“Nn”“On”“Wn”“In”“Sn”“Hn”“Tn”“En” 等分别命名 “s”“n”“o”“w”“i”“s”“h”“t”“e”，然后可以为每一个词命名，比如 “snow” 这个词命名为“由 Sn，Nn，On，Wn依次连接所构成的那个词”。然后，可以进一步得到表达式的名字，比如可以用“由这样三个词组成的句子，第一个词由 Sn，Nn，On，Wn依次连接所构成，第二个词由 In、Sn 依次连接构成，第三个词由Wn、Hn、In、Tn、En依次连接构成”这个名字来命名“snow is white.”这种方法可以实现指称，而且因为自然语言不区分对象语言和元语言，这种方法也很容易实现自指。

除了上述日常语言中的命名之外，还有更精确的形式化的方法命名。这种命名有两种最著名的方法：一种是塔尔斯基的方法，一种是哥德尔的方法。

另一种方法是著名的哥德尔编码的方法。这种方法简单说来就是先通过一套算法为每一个字母和符号 t 指派一个与之一一对应的自然数，其中<>可以理解为一个编码函数。进而再为每一个表达式φ指派一个与之一一对应的自然数<φ>。这种方法不仅能够实现指称，而且能够实现自指，比如后面的对角线定理证明中构造的那个句子。

大多数悖论都是通过构造一个指称自己的句子来实现的，这个句子一方面有某种性质(比如说是真的)，另一方面又没有某种性质，以此来构造矛盾。上面提到的可以实现自指的几种语言都很容易导致悖论。但是，取消自指显然不是解决悖论的好的方法，因为有自指不一定有悖论，而且如前所述，自指是语言和现实中非常常见的一种现象，若抛弃自指，语言中的很多现象将不能表达，比如不能再说像“本句话是用中文写的”这样非常自然的句子。所以，取消自指就相当于“泼洗澡水的时候把孩子一块倒掉了”，损失太多，代价太大，并非上策，但是保留自指又很容易产生悖论。

三、说谎者悖论中的否定

罗素曾经在其著名的文章《论指称》(OnDenoting) 中区分了指称词的“初现(primary occurrence)”和“次现 (secondary occurrence)”[2]490。与之相对应，否定词也可以区分为对于整个句子的否定和对于谓词的否定，对句子的否定相当于否定词的初现，对谓词的否定则相当于次现。以“苏格拉底是哲学家”为例，对谓词的否定就是“苏格拉底不是哲学家”，而对整个句子的否定就是“并非苏格拉底是哲学家”。对谓词的否定是在承认主词 a 存在的前提下否认其具有谓词 P 所表达的这种性质。以上面例子来说，其确切表述应该是“存在一个 x，x 是苏格拉底并且他不是哲学家”。而对整个句子的否定，则是对 a 存在以及 a 具有 P 这种性质的共同否定。以上面的例子来说，其确切表述应该是“并非存在一个 x，x 是苏格拉底并且 x 是哲学家”。说谎者悖论中的否定一般都是次现的否定。

次现的否定还可以进一步区分为两种：一种是排除性否定 (exclusion negation)，一种是选择性否定 (choice negation)。排除性否定是说：a 不属于 P，但是可以属于 P 之外的任何属性。选择性否定是说：a 不属于 P 而只属于与 P 正好相反的那个属性 Q。以“a 不是黑色的”为例，如果这里的否定词“不是”是排除性否定，那么 a 可以是任何非黑色的东西，比如 a 可以是“土豆”。如果“不是” 是选择性否定，那么 a 只能是“白色”。再以多值情况下的语义取值为例，假设语义值有多个值，分别为n0，n1，n2，n3…，令 n1为指定值(指定值就是模型中的真句子所被赋予的值，非指定值就是除此之外的其他值。指定值一般就是“1”，这里用 n1代替，通常都把假句子的赋值规定为“0”，这里用 n0来代替)，排除性否定是指任何一个非指定值的否定都是 n1，即任给i≠1，都有﹁ni=n1。当然，反过来，n1的否定也可能是 n1之外的任意值(这只是一种直观的想法，具体操作起来似乎比较麻烦，而且显然会导致悖论)。选择性否定是指任何一个值的否定都只能是取值中的某一个值，即任给i，存在唯一的 k(k可以等于i)，使得﹁ni=nk(当然，一般来说，﹁n1=n0，其他值的否定任意)。说谎者悖论的构造中用到的否定一般都是排除性否定。

多值逻辑的解悖方案往往都是在否定词上做文章，企图通过承认多值，并且把否定词理解为选择性否定来避免悖论句成为真正的矛盾。比如，弗完备类解悖方案，就是通过承认有既不真也不假的真值间隙使矛盾形式不再是矛盾来解决悖论的。但是，也受到反对者的指责，因为现实的语言或思维中确实有排除性否定，忽视排除性否定的做法未免有避重就轻或者偷换概念之嫌。

讨论否定其实是在讨论它背后的逻辑，一般而言，逻辑可以理解为一个三元组，其中 L 是句法，它提供各种初始非逻辑符号及合式的项和公式；M 是模型，它对 L 中的初始非逻辑符号进行解释；σ是赋值模式，它对变项进行指派，并对 L 中的合式公式进行赋值，同时也就解释了逻辑符号。公理化不过是赋值模式下所有有效式的集合(A)的一个子集(B)，如果这个逻辑有完全性，那么 A=B。不同的逻辑的区别主要是模型和语义赋值不同，正是因为否定在不同的逻辑那里有不同的解释，相应的公式有不同的赋值，相应的公理和推理规则也就有所差别，是否能推出悖论也就不一定了。所以，当说到否定的时候，讨论的实际上是逻辑问题。当然，逻辑并不只处理否定符号，它还要处理其他的逻辑符号，因此在对否定有相同解释的情况下，可以通过修改其他逻辑符号的解释而产生不同的逻辑。

参考文献：

[1]TARSKI A.Logic,semantics and metamathematics[M].Oxford:Clarendon press,1956.

[2]RUSSELL B.On denoting[J].Mind,1905,14(56):479-493.

(责任编辑张佑法)

Self-Reference and Negation in Liar’s Paradox

ZHAO Zhen

(Department of Philosophy, Anhui University, Hefei 230601, China)

Abstract:The two important conceptions and related problems of self-reference and negation were discussed through analyzing some liar’s paradoxes. The paper described the way to realize self-reference, the relationship between self-reference and liar’s paradoxes. The paper also discussed the meaning of negation in liar’s paradoxes, the way to construct a liar paradox by negation and the relationship of deny and Liar’s Paradox.

Key words:liar’s paradox; self-reference; negation

文章编号：1674-8425(2016)01-0027-04

中图分类号：B81

文献标识码：A

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(s).2016.01.005

作者简介：赵震(1984—)，男，河北沧州人，讲师，博士，研究方向：悖论与真理论。

收稿日期：2015-12-14

引用格式：赵震.说谎者悖论中的自指与否定[J].重庆理工大学学报(社会科学)，2016(1):27-30.

Citation format：ZHAO Zhen.Self-Reference and Negation in Liar’s Paradox[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2016(1):27-30.