多项式曲线法在GPS高程拟合中的应用

王金玲

摘  要：本文以具体的工程实例，介绍了多项式曲线拟合法在GPS高程拟合中的应用，拟合得到厘米级似大地水准面模型，并给出有价值的结论。

关键词：高程拟合;高程异常;多项式曲线法;精度

中图分类号： TP301 文献标识码：A

自20世纪80年代中期以来，全球定位系统（GPS）在测量中的应用发展非常迅猛，GPS定位技术以其高度自动化及较高的定位精度，广泛应用在大地测量、工程测量等领域。但由GPS定位测量测得的高程是相对于 WGS—84参考椭球面的大地高程H，而我国使用的是相对于似大地水准面的正常高Hr，两者之问的差距为高程异常ξ，因此，GPS测得的高程值无法直接用于实际的高程控制作业，只有建立高精度、高分辨率的区域似大地水准面模型，计算得到各点的高程异常值，将大地高转化为正常高，才能在实际工程中得以应用。

目前，国内外用于GPS高程拟合的方法主要有地球重力场模型法和数学模型拟合法，地球重力场模型法精度较低，且相应的重力场数据不易获得，不能满足工程的实际需要。数学模型拟合法中常用的有多项式曲线拟合法、多项式曲面拟合法、多面函数曲面拟合法、移动曲面拟合法等。各种模型都有其一定的适用范围，其中多项式曲线拟合法在目前的线路测量中得以广泛的应用

1 多项式曲线拟合法的数学模型

当GPS点呈线状布设（如线路测量），在认定沿线似大地水准面为一条连续而光滑的曲线的前提下，可应用多项式曲线拟合法进行拟合，求待定点的正常高。其原理是：若将坐标系转换成X与测线方向重合，Y与测线方向垂直，选用一个m次代数多项式作为插值函数，设高程控制点的高程异常ξ与坐标X（或Y或拟合坐标）之间的函数关系为：

（1）

，

各高程控制点的已知高程异常与其拟合值之差为：

（2）

V称为残差，根据最小二乘原理，应在 的原则下，解得（1）式中的待定系数ai，然后再按（1）式求出测线方向上（含左、右邻近点处）任一点的高程异常值，从而求得点的正常高Hr。

2 实例计算与分析

某高速公路某一段属于平原地区，其线路长约118公里，共布设了126个GPS点，每个GPS点上都联测了水准。如图1所示是其中一段控制网，采用多项式曲线拟合进行计算。

（1）采用不同阶次多项式曲线拟合

分别采用二次曲线函数、三次曲线函数、四次曲线函数进行拟合。

二次曲线采用TN06、TN14、TN19三个联测点作为控制点;三次曲线采用TN06、TN10、TN15、TN19四个联测点作为控制点;四次曲线采用TN06、TN12、TN15、TN18、TN20五个联测点作为控制点。拟合结果见表1。

从表3、4中可以看出：已知点分布不同，拟合结果也就不同，点的分布是影响GPS水准拟合的重要因素之一。

3 结论

（1）狭长线形区域地形拟合模型中，采用多项式曲线拟合时，三次曲线拟合拟合精度最高，效果最好。二次曲线拟合模型精度较高，四次曲线拟合模型精度最低。由此说明，多项式曲线拟合模型不适用于控制点较多的情况，拟合次数不宜过高，曲线拟合过程中并非是拟合次数越高越好。这是因为随着拟合次数的增大，曲线振荡就会加剧，由此描述的高程异常变化不准确，另外随着次数的增大，求解拟合系数的矩阵方程组可能出现了病态矩阵的情况，这种情况下求出的拟合多项式当在求解未知点时，未知点的坐标微小的变化也会引起高程异常较大的变化，因此宜采用三次多项式曲线拟合。

（2）拟合精度除了与拟合模型的选取有关以外，与已知点的分布也密切相关：在GPS高程拟合时，应使已知点均匀分布在测区的四周及中间，最好能够将整个GPS网包围起来。忌讳取同一直线上的、同一侧的取位于中间和两端的等分布不均匀的点作为拟合已知点。

（3）在选用合适的拟合模型后，拟合的精度可以达到4等水准测量的精度。可以用于一般工程的地形高程控制，但是不宜作为高等级控制高程点。

参考文献：

[1] 雷伟伟等.移动曲面法在GPS高程拟合中的应用[M].铁道勘察， 2009（5）.

[2] 熊晓莉.吴迪军.GPS高程拟合模型的精度分析[M].铁道勘察，2007（2）.

[3] 高彩云，臧德彦，高宁等.GPS高程拟合系统的研究[M].江西测绘，2006（1）.

（本文审稿  张端丹）