电磁感应现象中的双杆模型归类与剖析

郑行军

摘 要：电磁感应现象的知识应用历来都是高考的重点，其中有关杆切割磁感线的问题是典型的综合题之一，其综合性强、能力要求高，是高考命题的热点。利用模型化的思想构建出可能会出现的双导体杆切割问题，引导学生快速找到此类问题的解题方向，有助于培养学生的逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力。

关键词：双导体杆；动力学关系；功能关系；交替切割；稳态

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）1-0075-3

在电磁感应问题中，常遇到杆在匀强磁场中切割磁感线运动的问题，这类题目的共同特征是导体杆沿互相平行的轨道做切割磁感线运动，简称为“杆+导轨”模型。其中，有关双导体杆的切割磁感线问题是此类模型的难点，这类问题的特点是研究对象多、运动情况复杂、知识和能力的综合性强，不仅要用到电磁学中的有关规律，还要涉及到力学中的有关规律。本文就双导体杆切割磁感线问题归纳可能构建的题型及相应的解题策略。

1.两导体杆均处于磁场内，其中一杆切割磁感线，另一杆处于静止。

例1 如图1甲所示，固定在水平桌边上的L双轨型平行金属导轨足够长，倾角θ=53 °，间距L=2 m，电阻不计。导轨上两根金属棒a、b的阻值分别为R1=25 Ω，R2=4 Ω。a棒的质量m1=5.0 kg，b棒质量m2=1.0 kg。a棒与导轨间的动摩擦因数μ1=2/15，b棒与导轨间的动摩擦因数μ2=0.5。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个导轨置于磁感应强度B=5 T、方向垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场中。现将a棒从导轨上离桌面某一高度处由静止释放，当它刚要滑出导轨时，b棒也恰好开始滑动，且a棒下滑阶段，通过a棒的电荷量为q=2 C，g取l0 m/s2。

（1）求在a棒整个下滑阶段，b棒中产生的热量；

（2）若a棒无论从多高的位置释放，b棒都不动，求a棒的质量满足的条件。

解析 （1）因两棒串联，所以两棒所受安培力大小相等。在b棒刚滑动时，设a棒的速度为v，此时对b棒有：BILsin37 °=μ2（m2g+BILcos 37 °），

且I= ，联立解得：v=1.5 m/s。

设a棒下滑的距离为x，

则q= ，得x=1.2 m。

对整个系统由功能关系得：

Q=（m1gsin53 °-μ1m1gcos53 °）x- m1v2 ，

由串联电路知识可得：b棒产生的热量

Q'= Q，

联立上述方程并代入数据得Q'=25.05 J。

（2）分析可知，当a棒匀速运动时，b棒都未滑动，则满足题目要求。

匀速运动时对a棒：F =m gsinθ-μ m gcosθ，

此时对b棒：F ·sin37 °≤μ2（m2g+F cos37 °），

代入数据解得：m ≤ kg≈3.47 kg。

思路点拨：两导体杆虽都分布于磁场内，但在运动过程中只有其中一根杆在切割磁感线，该模型的本质仍为单杆问题。分析此类题型可分别对两根导体杆进行受力分析，切割杆可按单杆模型对其动态分析，静止杆可利用平衡方程进行处理，然后以电流强度作为桥梁联立求解即可，但在分析时要注意电源的位置及双杆的连接方式。

2.两导体杆均处于磁场内，其中一杆切割磁感线，另一杆与磁场方向共线运动（v∥B）。

例2 如图2甲所示，弯折成90 °角的两根足够长的金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成53 °角，右导轨平面与水平面成37 °角，两导轨相距L=0.2 m，电阻不计。质量m=0.1 kg，电阻R=0.1 Ω的金属杆a、b与导轨垂直接触形成闭合回路，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ=0.5，整个装置处于磁感应强度B大小为1.0 T、方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中。t=0时刻开始，a杆以初速度v0沿右导轨平面下滑。t=l s时刻开始，对a杆施加一垂直a杆且平行右导轨平面向下的力F，使b杆开始做匀加速直线运动。b杆运动的v-t图像如图2乙所示（其中第1 s、第3 s内图线为直线）。若两杆在下滑过程中均保持与导轨垂直且接触良好，g取10 m/s2，sin37 °=0.6，cos37 °=0.8。求：

（1）a杆的初速度v0；

（2）若第2 s内力F所做的功为9 J，求第2 s内b杆所产生的焦耳热。

解析 （1）由题意第1 s内对b杆：由图2乙得：a1=4 m/s2。

由牛顿第二定律得：

mgsin53 °-μ（mgcos53 °+FB1）=ma1。

设1 s时a杆速度为v1，第1 s内a杆：E=BLv1，I= ，FB1=BIL， 解之得：v0=v1=1 m/s。

（2）由题意第3 s内对b杆：

由图2乙得：a3=-4 m/s2。

设2 s时a杆的速度为v2，对b杆，由牛顿第二定律得：

mgsin53 °-μ（mgcos53 °+ ）=ma3，解之得：v2=9 m/s。

第2 s内a杆的位移：x2= t=5 m。

由动能定理得：WF+mgx2sin37 °-μmgx2cos37 °-2Qb= mv - mv ，解之得：Qb=3 J。

思路点拨：此类题目分析时，切割杆按单杆模型进行分析和处理，共线杆（速度方向平行于磁场方向）对其进行动态分析，寻找最终稳态的动力学关系，然后以电流强度为桥梁联立两杆方程进行求解，该模型的本质仍为单杆问题。

3.两导体杆交替切割磁感线。

例3 如图3所示，两根电阻忽略不计的平行光滑金属导轨竖直放置，导轨足够长，其上端接一阻值为3 Ω的定值电阻R。在水平虚线L1、L2之间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁场区域的高度为d，d=0.5 m。导体棒a的质量ma=0.2 kg、电阻Ra=3 Ω；导体棒b的质量mb=0.1 kg、电阻Rb=6 Ω。它们分别从图中M、N处同时由静止开始在导轨上无摩擦向下滑动，都能匀速穿过磁场区域，且当导体棒b刚离开磁场时，导体棒a正好进入磁场。设重力加速度g=10 m/s2，不计导体棒a、b之间的相互作用，导体棒始终与导轨垂直且与导轨接触良好。求：

（1）在整个过程中，导体棒a克服安培力所做的功；

（2）M处、N处与L1的高度差各是多大。

解析 （1）因为导体棒a匀速通过磁场，克服安培力做的功等于重力做的功，即：

Wa=magd，故Wa=1.0 J。

（2）设导体棒b在磁场中匀速运动时速度为vb，回路总电阻R1=7.5 Ω，Eb=BLvb。

导体棒b中的电流Ib= ，mbg=BIbL。

同理，设导体棒a在磁场中匀速运动时速度为va，回路总电阻R2=5 Ω，Ea = BLva，

Ia= ，mag=BIaL，得 = 。

设导体棒b在磁场中运动的时间为t，d=vbt，va=vb+gt，得：v = m2/s2，v =15 m2/s2 。

设M、N与L1的高度差为ha、hb，

有：v =2gha，v =2ghb，

得：ha= m，hb= m 。

思路点拨：两导体棒在交替切割时，等效电源的位置会发生变化，产生感应电流的闭合回路的连接方式也会发生变化，故在分析时要同时对两导体棒进行动力学分析和电路的动态分析，并挖掘两杆中关联隐含量的关系（一般为时间关系），联立求解。

4. 两导体杆均分布于磁场内，同时切割磁感线。

例4 如图4，两条平行的长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为d，电阻可忽略不计。a和b是两根质量分别为m1、m2的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨接触良好，并可沿导轨无摩擦地滑动。两杆的电阻均为R，导轨和金属细杆都处于垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场中，大小为B。在杆b的中点施加一水平恒力F，两杆都从静止开始运动，直至流过两杆中的电流不再变化，求：

（1）两杆的初始加速度分别为多少？

（2）两杆最终的加速度分别为多少？

（3）两杆速度差的最大值为多少？

（4）当流过两杆中的电流不再变化时，再经过时间t，回路中产生的热量为多少？

解析 （1）初始时，无速度，无安培力。所以，a杆的加速度a1=0，b杆的加速度a2= 。

（2）b开始加速，v↑？圯E ↑？圯I ↑？圯F ↑，b杆的加速度减小，a杆的加速度增大。当两者加速度相等时，即Δv不变时，F 不变，则加速度a不再变化，两杆中感应电流恒定，两杆最终加速度相同，a= （a杆：F =m a，b杆：F-F =m a）。

（3）加速度a相同时，Δv最大，F = =

B d？圯Δv= 。

（4）由于I感恒定，Q=I 2Rt=（ ）2·2R·t= 。

思路点拨：两根杆同时在切割磁感线，此时回路中会同时存在两个感应电动势，该模型的分析涉及两电源的连接方式问题和双杆的动态分析问题。在涉及动态分析时，应注意双杆系统有外力作用和无外力作用的最终稳态问题。

从以上题型分析可知，掌握住这类问题的处理方法是根本，即使题型再发生变化，处理方法也是不会变的。处理电磁感应现象中双杆切割磁感线问题的基本方法和思路是：先由法拉第电磁感应定律确定闭合电路中的感应电动势，然后根据欧姆定律确定感应电流，再根据F=BIL确定安培力，对两根导体杆进行受力分析，由于安培力的大小一般与导体切割磁感线的速度有关，速度变化时，安培力也随之变化，从而使研究对象的受力情况发生变化，而力的变化必然导致物体运动状态的变化，因而在分析有关问题时要注意上述的联系。由于这类问题中物理过程比较复杂，状态变化过程中变量比较多，要求学生要有较高的动态分析能力，所以分析、求解过程更能体现学生思维的灵活性和严密性。

参考文献：

[1]张更新.电磁感应中另一类“杆+导轨”问题[J].中学物理，2015，33（1）：91—92.

[2]陶成龙.导体滑轨类问题的分类解析[J].数理化解题研究，2003（10）：43—44.

（栏目编辑 邓 磊）