逆向联想 提升能力

□朱希萍

逆向联想 提升能力

□朱希萍

数学教学中教师要敢于创设“反其道而思之”的练习素材，促使学生反过来联想思考。具体来说，可以采取从问题的相反面深入探索、从结论往回推、倒过来思考等方式实施教学，从而发展学生的逆向思维，提升空间观念、数感、计算能力、数据分析观念和解决问题的能力。

逆向 联想 思维 学习材料

逆向联想是一种重要的思维方式，是对司空见惯的已成定论的事物或观点反过来联想思考的一种思维方式。下面就数学教学中如何创设逆向联想材料、提升解决问题能力谈几点看法。

一、创设逆向联想材料提升空间观念及问题解决能力

空间观念是课程改革的一个核心概念，主要表现在“能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”。这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析，由低级到高级不断向前发展的认识客观事物的过程。

小学数学图形与几何这部分内容最重要的目标是培养学生具有初步的空间观念和问题解决能力。

那么，如何在平面图形的教学中创设逆向联想材料来达到以上目的。下面笔者以复习“平面图形的面积计算”为例来谈具体做法。

出示思考题：如果已知一个图形中两条互相垂直的线段长度分别是8厘米、5厘米，就能计算出它的面积，你能想象出这是一个怎样的平面图形吗？请在格子纸上画一画，并计算它的面积。（注：格子纸的每一小方格边长为1厘米）

当学生明白要求后，很快地就进入了想象的思考。教师在巡视中发现大部分学生，先想到的是长和宽分别是8厘米、5厘米的长方形，或者是直角边分别为8厘米、5厘米的直角三角形；还有部分学生想到了底是8厘米、高是5厘米的其他三角形。思考片刻后有许多学生想到了平行四边形。

接着教师又提出问题：除了三角形、平行四边形之外，你还会想到什么图形呢？

学生又一次进入沉思，在学生疑惑之时，教师在黑板上画了两条互相垂直，而垂足不在线段的端点上的情况。学生看到此图忽然开朗，他们在格子纸上马上画出了如图1的四边形。并且很快地计算出了这个四边形的面积是“8×3÷ 2+8×2÷2＝8×（3+2）÷2＝20（平方厘米）”。发现这个四边形的面积与以上想到的所有三角形面积是相等的。

图1

接着教师利用投影，先在投影上呈现一个底是8厘米、高是5厘米的三角形，并向学生提出问题：你们能继续想象到与这个三角形面积相等的三角形吗？你是通过怎样的方法想到的？

教师根据学生的想象描述，在投影上演示（如图2）。通过图形的动态演示，使学生进一步理解等底、等高的三角形有无数个。

图2

接着教师以同样的方式，引导学生对同底、等高的平行四边形进行想象变化（如图3）。

图3

再接着教师出示两条对角线互相垂直的四边形，如图4中的左边图形。并提出问题：你观察这个四边形你还能想象到更多的面积相等的四边形吗？你是通过什么方法想到的？

教师根据学生的描述，利用投影作出动态的演示，如图4中的右边图形。

图4

学生观察以上的动态演示，又领悟到了面积相等的四边形也有无数个。在观察中细心的学生还发现，当这条5厘米的线段平移到在端点垂直时，刚好这个四边形变成三角形了。

图5

接着教师在投影上展示图5，形成上、下两个平行四边形的图形，让学生计算这个图形的面积。

通过计算，学生发现这个图形的面积与底与高分别是8厘米、5厘米的一个平行四边形的面积是相等的。教师继续引发学生想象，并再次利用投影的动态演示，使学生观察验证自己的想象，像这样的图形也有无数个。

以上教学给学生提供的条件，只是已知长度且互相垂直的两条线段，并且通过这两条线段就能计算出这个图形的面积。要求学生把符合这样条件的图形重新进行想象，画在格子纸上。显然呈现这样的逆向联想素材，不仅仅是让学生再次计算这些图形的面积，而更重要的是让学生在想象中再次认识计算这些图形面积的相关条件，同时梳理出同底等高的三角形或同底等高的平行四边形都有无数个。学生在想象中还延伸到对角线互相垂直的四边形，并且知道这样面积相等的四边形也有无数个。更重要的是在图4中学生能将四边形变形成三角形，这样的等积变形的思想是极其可贵的。

由此可见，我们采用这样的逆向联想方式，其主要目的是给学生创设了更大的思维空间，学生以果索因，根据提供的条件，在想象联想平面图形的面积计算中熟练计算公式；在图形动态想象、观察中训练空间观念，达到了最佳的梳理和训练效果。

二、创设逆向联想材料提升数感与计算能力

（一）培养数感

数感是对数的感悟。对数意义的理解，是对数大小相对性的一种感觉，是对结果合理性的判断，能为解决问题而选择适当的算法等。数感的培养要体现在过程中，结合在教学实践中。下面笔者结合“式与方程”来谈谈具体做法。

先说“式与方程”，它由“用字母表示数、解方程、用方程解决问题”三部分组成。学习这部分知识学生学习的薄弱点在哪里呢？在分析学生解题思维过程中，笔者发现学生困难的根源是对未知数与已知数进行四则运算后，所表示出来的式子其含义的理解上出现了问题。为了突破这一难点，我们创设逆向联想材料突出对意义的理解。

笔者在复习“式与方程”时先来回忆用字母表示数，如果用一个字母“x”表示一个数（板书：一个数 x），你能想象一下这个字母“x”可以表示什么数呢？（学生说到了许多数，教师及时给予肯定：对了，这个字母可以表示我们所想象到的所有数）

紧接着教师随手写下“4x”，并提出问题：4x与x有什么关系呢？

生：4x表示x的4倍。

师：这里“x的4倍”的结果用“4x”表示，这“4x”就表示另一个数。

接着教师又随手写下“2x+4”，并提出问题：现在另一个数用这样的式子表示，这另一个数又与x有什么关系呢？（学生又说出：另一个数是x的2倍还多4）

再接着教师又写下“x÷2-4”，学生经过思考说出：另一个数是x的一半还少4。

在以上教学中笔者特意突出另一个数与前一个数（用字母所表示的数）的关系，先出示式子，再让学生针对式子表述与一个数的关系，使学生进一步理解一个式子同样表示着一个数的含义。这样倒过来根据式子理解意义，设计多元表征之间的转换对学生来说既有趣又有意义。

（二）培养计算能力

运算能力是课程标准中重新加回的关键词。运算能力的几个基本特征是：正确、有据、合理、简洁。如何培养学生正确、有据、合理、简洁的运算能力呢？

如在复习六年级的“简便计算”时，第一环节教师让学生光做第一组的5道计算题，在学生计算后，又出示第二组的5道题。

与第一组的5道题比较，复习梳理了运算定律，接着通过改编各题的运算符号或数据提醒学生容易犯错之处，从而小结引出：做题时要仔细观察、认真分析、选择方法。这样既夯实了基础，又重视了学习习惯的培养。第二环节又出示3道题如下：

（20.8-12.49-7.51）÷2.5×40

（20.8-12.49+7.51）÷2.5÷40

(20.8-12.49-7.51)÷2.5÷40

在学生独立计算后，通过与第一组题的学习比较，让学生明确在计算中有时题目中的某一部分能简便。运用运算定律简便计算时一定要合理、灵活。

基于第一、第二环节中直接运用、部分应用简便计算的方法后，第三环节教师出示如下2题：

在这个环节中学生通过计算不由自主地得出转化运用、过程应用，再经教师的点拨，梳理出简便计算的4种类型（直接简便、部分简便、转化简便、过程简便），让学生形成了一个整体认识。

第四环节让学生通过自主扩充算式，提升能力。

针对下面的算式，进行扩充算式，使扩充后的算式可以运用运算规律得到简便。

出示第五组题如下：

学生在以上几个环节中概括地掌握了简便计算的几种类型，在第四环节中让学生根据提供的一步计算的式子扩编成可以运用运算规律简便的式子。这样的活动将教学推向了一个高潮，一方面源于学生对扩题有新鲜感，另一方面这样让学生自主编题，逆向思考题目的来源，可以使学生清晰理解简便计算的几种题型。

三、创设逆向联想材料提升数据分析能力

新课程标准理念下将统计与概率改成数据分析。关键词的改变，让人们逐渐认识到对于这个领域的学习重要性绝不仅仅是画统计图、求平均数等技能的学习，而是要让学生“亲近”数据，加强对学生数据分析观念的培养。

例如在教学五年级下册“折线统计图”的复习课中，教师出示逆向联想材料引发猜想。

教师给学生提供以下没有标题的三张图，要求根据以下的学习要求读懂图的意思。

练习要求：

1.想一想：这三张图分别统计了张亮和陈明的什么情况？给每张统计图补上合适的标题和横坐标与纵坐标的名称。

学生经过独立思考小组交流后，教师组织学生集体交流。从反馈情况分析，学生合情地说出了第一张图表示的是张亮和陈明两位同学身高情况；第二张图是表示这两位同学的体重情况；第三张图大部分同学都说出了是表示这两位同学的考试分数情况。

2.读了这三张统计图后，你有什么想法想在小组里说一说吗？

教师针对学生对每张图的标题、横坐标与纵坐标的表示组织评价，接着利用投影呈现三张完整的统计图让学生对照检查。

再接着在每一图上分别添加上标准身高、标准体重和班级的平均分（如下图）。

以上我们先呈现的是张亮和陈明两位同学的三张不同背景不完整的统计图，要求学生从图中相关数量的信息读懂每张图所反映的情况。这一过程也正是培养学生对折线统计图解读能力的过程。当学生通过质疑得到完整统计图后，教师继续在图上呈现出标准身高、标准体重和班级平均分的折线，从而进一步丰富了学生的思考空间，激发了学生的学习兴趣，培养学生的数据分析观念。

四、创设逆向联想材料提升解决问题能力

解决问题教学主要结合问题情境，注重问题情境的解读，通过对数学问题的提炼、解题思路的训练、多种解题方法的展示，来培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

在问题解决教学中变教师呈现问题为学生自主设计方案，他们针对自己所设计的方案、提供的材料进行观察比较、质疑或在拓展的过程中进行思考、提升、梳理。

例如给不同的商场设计不同的促销方案。（同学们，前几天老师逛街的时候，发现有三家商场出售作业本的价格都是每本0.5元，同一款商品，标着不同的打折方法：耀达商场“九折优惠”，你们说“三江购物”“阳光购物”该使用怎样的促销方案呢？这样让学生为两个商场设计促销方案，学生通过讨论得出“三江购物”买5送1；“阳光购物”满55元8折优惠。再出示问题：六(1)班要买100本作业本,去哪家商店购买比较合算?请写出思考过程。

这样学生在设计方案的过程中要考虑：方案既要吸引顾客的眼球，又要让商家有利可图，然后通过问题解决提升能力。使学生在现实情境中思考，在方案设计中提升，在质疑中梳理。

又如，在复习百分数应用题时，教师与学生一起梳理了百分数应用题的类型及解决方法后，让学生回忆分数百分数应用的类型有哪些，并用式子来表示，算式有：

①800×80% ②800÷80%

③ 800×（1-20%） ④800÷（1-20%）

⑤ 800×（1+20%） ⑥ 800÷（1+20%）

⑦800÷（1-20%-40%）……

让学生再根据算式猜猜他们可能会碰到生活中的哪些问题，即根据算式编题。这样提供逆向材料（算式）让学生自主梳理百分数应用题的类型，在编题的过程中清晰百分数的题型，提高了分析问题解决问题的能力。

总之，在学生学习数学知识提升解决问题能力的过程中，即要注重顺应、同化的教学手段，也可向学生呈现逆向联想材料，以果索因，正逆互换，提升解决问题的能力。

（浙江省临海大洋小学 317000）