让数学灵动起来——充分开发“九宫图”教学价值的理性分析与教学设想

□ 颜荣林 田海琪

让数学灵动起来
——充分开发“九宫图”教学价值的理性分析与教学设想

□ 颜荣林 田海琪

“九宫图”是一个简易的数学模型，却蕴含着大量的数学规律。教师要想在探究“九宫图”的各种内在数学规律的基础上，充分开发“九宫图”的教育价值，就要对九宫图的文化背景、九宫图的不同填法、“九宫图”的数字规律等进行深入的分析，从而提出教学设想。

九宫图 教学价值

“越是简单的知识，越能体现数学的本源。”九宫图就是这样的一个例子。在3×3的九个方格中，分别填入1至9这九个数。这是一个十分简单的数学问题，简单到只要以“20以内的加法”作为基础，就可以解决这个数学问题（如右图）。但是，却赋予它神话的色彩，下面让我们慢慢走进“九宫图”的世界。

一、九宫图的文化背景分析

相传，在夏禹时代，洛水中曾出现过一只大的神龟，它的背壳上有个图（如左下图），人们把这个图称作“洛书”。据说，这个图中蕴含了世间万物的变化规律，“洛书”为当时的首领大禹所得，他从中悟出了治理天下的道理。

“洛书”比较形象的称法是“九宫图”或“纵横图”，它的神奇特点吸引了无数人对它痴迷。从我国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统研究九宫图的第一人，是我国古代数学家——杨辉。

在国外，公元1300年被希腊数学家莫斯切普罗所推广，成为许多数学家倾注精力进行研究的一个数学题材。

九宫图中的原理连小学生都很容易理解，但它的内涵却是十分丰富的，它通过数字间的周转变化，数与形的和谐统一，局部与整体的全息对应，描绘出一个生动的宇宙演化的数学模型。它蕴含着大量的数学规律，“线线诸数合幻和、纵横巧合联四方、和差积方都巧等、三角方圆均有律”，它与算术、数论、幻方、代数几何、矩阵、趣味数学等都有联系。古今中外，不知多少学者著书立说，对九宫图进行深入的探索。

从上面的阐述中，感受到了“九宫图”所特有的文化内涵，从它“现世”的那一刻起，就注定成为一个融数理与神话为一体的数理哲学的化身。因此，在引入“九宫图”时，如果我们能创设情境，恰当地阐述“九宫图”的文化背景，可以激发学生对“九宫图”进行深入研究的兴趣。为后面研究或了解“九宫图”的各种不同的填法积累情感的基础。

二、九宫图的填写方法分析

九宫图的填法，如果用算术法凑数，可以用“罗列数组，对号入座”的方法很快地填出。但是，人们在此基础上，还创造出了许多口诀，根据口诀，可以按部就班地填出九宫图，增强填写“九宫图”的趣味性。下面我们列举几种适合小学生填写与了解的方法，并简要说明大致的教学设想。

（一）罗列数组，对号入座

这是最常用的构造九宫图的方法。

我们知道，把1至9这九个数填入“九宫图”，由于9个数的总和为45，每横行、每竖列、每横行和每斜行的三个数的和均相等，所以这样的每三个数的和都应该是15，也就是说从1至9中选出三个数，至少需要组成8组不完全相同的和为15的数组。经过试验有且只有8组，分别是（1，5，9，）（2，5，8）（3，5，7）（4，5，6）（2，4，9）（2，6，7）（3，4，8）（1，6，8）。

再观察右边的九宫图，写出以上8组和时，中间e的位置上的数被用到了4次，角上a,c,g,i的位置上的数被用到了3次，而边上b,d,f,h的位置上的数只被用到了2次。

按上面的规律，把8组数中各个数出现的次数做一个统计，可以发现“5”被用了4次，“2，4，6，8”各被用了3次，“1，3，5，7”各被用了2次。经过试验自然就可以把各个数“对号入座”了。

从上面的叙述中，可以设想到，如果只给出要求，学生按要求把1至9这九个数填入九个方格中，学生首先会进行尝试，当出现错误时，会不断地调整，这是最原始的尝试法。之后，再引导学生反思填写要求，逐步发现上面叙述的有序的填写思路。这就是数学思考的力量。这样的一个过程适合三年级时组织学生填写。而对于一、二年级的学生则可以先填其中部分数，让学生根据规则，填写出满足要求的其他位置上的数。如请补全右面的“九宫图”。

（二）归纳口诀，记忆填数

用上面的填法，固然可以填写九宫图，但是需要一个较长的过程。因此，还可以编写出填写的口诀。这些口诀又可以分为两类，一类是直接填数法，一类是表述过程法。

1.直接填数法

直接填数法就是依据口诀，可以依次直接填写出各个位置上的数。最有名的是：

戴九履一，左三右七，二四为肩，六八是足。

上面的口诀，分明就是一只乌龟的造型，如右图。

下面的口诀则是根据奇数与偶数不同位置特点编写而成的。

九数从小排到大，中间数字中间填，四角填上偶数项，余下四数再补全。

根据上面的口诀，可以按如下的图示填写。

这给我们提供了很好的教学思路：在学生按“罗列数组，对号入座”的方法填写出“九宫图”后，请学生阅读上面的两句口诀，说一说这两句口诀的意思及编写的思路。然后请学生再独立找一找“九宫图”中各个数的其他特征，自己来创作一句填数口诀。

2.表述过程法

用直接填数的口诀虽然形象生动，但是如果把它作为真正的填数方法，可能要增加学生的记忆负担。所以人们又创作出了另一种口诀，描述的是如何从最简单的数的排列，通过最简便的数的位置移动，实现填写九宫图的目的。

下面介绍的就是杨辉创造的一种填数口诀：

九数斜排，上下对易，左右互换。

读完上面的口诀，再看下面的两个图示，是否学会了“九宫图”的快速填法了？

在国外也有类似的口诀，“罗伯”口诀是其中有名的。

一填首行正中央，依次斜上莫要忘，

上出下填右出左，若是重了填下方。

右边的图示反映了按上面的口诀填数的过程。

根据口诀，只要找到“1”的位置，然后按规则从小到大填入其余各数的位置。

上面的这些填法，如何成为教学资源？我们设计了两种方案。

第一种方案是逐步渗透法。在一年级的教学中，根据学生的计算能力，做一些填数游戏，二年级再请学生按“罗列数组，对号入座”的方法填数，到了三年级，再请学生欣赏与研究口诀填数。

第二种方案是主题教学法。在三年级或者四年级时，组织一堂数学活动课，把以上一、二、三年级的教学内容串联成一堂活动课，让学生整体感受“九宫图”填写的内在魅力。

三、九宫图的内在规律分析

从上面的填写法的分析中，我们感受到了数学家对于“九宫图”的喜欢，他们不满足于常规的填法，创造出了许多口诀，体现了数学家的创造精神。但是，“九宫图”真正吸引人们，尤其是数学家的研究兴趣的，并不仅仅是它的数学文化背景或它的填法创造，更为重要的是“九宫图”——这个只有9个数构建而成的数学模型中所蕴含着的数学规律。笔者收集了其中一些浅显易懂的规律，力图让它们成为教学资源。

（一）“田—口=15”

“九宫图”中的任何一个“田”格中的4数之和，减去与此“田”格不同行不同列的另一格之数，必等于15。如（2+9+7+5）-8=15，（7+5+6+1）-4=15。

（二）相等数对

把“九宫图”的中心格5抹去（如左图）以后，经过中心格的任一条线上的两数和均是10。其实这种相等的数对处处可见：我们随意压住“九宫图”中的一格，那么与这格相交的各线，所剩的两数的和全相等。就如我们提起一个正方形网片一样，无论我们从哪个角上提起，从这个角向三个方向看去，所看到每条线上的两数之和都相等。

（三）递增和

“九宫图”中对称的两行或两列，将每行（列）各数依次乘一个等差数列的各项，各项积之和必相等。例如

（四）平方和相等性

“九宫图”的第一、三行或者第一、三列所含的数的平方和相等，即42+92+22=82+12+62=101，42+ 32+82=22+72+62=89。

此外过中心4线上各数的平方和也有规律，请看：（22+52+82）+（42+52+62）+10=（72+52+32）+（92+52+ 12）-10=180。

（五）循环积和

“九宫图”中第一、三行或第一、三列，顺次两数相乘，其和必相等，即

（六）对称积和

在对称的两行或两列中，一条线上，两端两数之积的2倍，与中间一数的平方之和相等，例如

（2×4）×2+92=（6×8）×2+12=97。

（6×2）×2+72=（8×4）×2+32=73。

以上只是笔者收集到的关于“九宫图”规律的一小部分。显然，要把它们转化成课程资源，需要教师进行创造性的开发。

首先，把这些规律按发现的难度进行分类。如上面的六个规律，由易到难，最简单的是“相等数对”的规律，最难的当数“对称积和”。

对于这些规律，在教师的引导下进行自主发现。在这个过程中，如果学生有其他的新发现，同样给予肯定。如要求学生找“相等数对”时，有一位学生说，他还发现了“角上的数是相对的两个肩上数的和的一半”，并举例子：8=（7+9）÷2。同时，在找到“相等数对”后，教师也可以进一步追问与引导，让学生从中发现新的规律，如可以从“相等数对”中衍生出：角上四个数的和等于边上四个数的和。

其次，把这些规律按与教材知识的匹配程度分，具体安排在各个不同的年级，引导学生有不同的发现。

如在学习了多位数加法之后，教师请学生按下面的要求计算：计算顺写的三个三位数的和与逆写的三个三位数的和，进而总结出：顺写的三个三位数的和等于逆写的三个三位数的和。如 816+ 357+492=618+753+294。

进而追问：为什么会有这样的规律？知道了为什么后，再请学生计算竖着的顺写与逆写的情况下三个数的和是否相等。

上面的活动，利用学生新近学习的计算方法来探究“九宫图”中的新规律。既有利于提高学生的计算技能，同时又丰富了对“九宫图”规律的新认识，激发了学生的学习兴趣。

总之，对作为教学资源的“九宫图”规律的探究，并不是只为了探究规律而组织活动，它完全可以融合到我们平时的计算教学中，为计算教学平添了一道人文风景。

（浙江省杭州市萧山区所前二小 311200浙江省杭州市萧山区北干小学 311200）