在高中数学中如何进行微积分教学

◆周建设

(山东省东营市第二中学)

在高中数学中如何进行微积分教学

◆周建设

(山东省东营市第二中学)

微积分的创立是数学发展中的里程碑，他的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。进入新世纪，我们把微积分的内容引入到了中学，为以后进一步学习微积分打下基础。正因为是刚刚引进的新内容，所以如何进行课堂教学，本人认为应该进行一些探讨。本文就新课标对这部分内容的要求与特点以及如何在课堂教学中讲授这一章知识进行了探讨，以期获得一些较为可行的教学方法。

教学大纲 微积分 数学教学

我国近20年间高中数学课程内容一直相对稳定，尽管教学大纲和教材也经过了几次修订，但教学内容仍然是代数、三角、立体几何、解析几何四大部分。然而，从2001年起，全国所有省市都已开始使用依照新大纲思想编写的教材，在新教材中微积分、概率统计和向量这些在大学中重点学习的知识走进了高中，这无疑给高中数学教师提出了新的课题。在新的形势下，采用合理的教学策略有效地组织新内容的教学，变得十分迫切。本文将探讨一下，在高中数学中如何进行微积分教学，如何贯彻微积分思想，以期获得一些较为可行的教学方法。

微积分学可以说是博大精深，高中学生不可能像大学生那样来学习它，那么对我们的高中生来说应该怎样学呢？高中教师又应该怎样教呢？我们的高考对这部分内容又是怎样要求的呢？下面我们就来讨论一下这些问题。

一、微积分进入高中课堂并纳入高考范围的原由

微积分从本世纪初开始进入中学并作为高考的重点，那么新世纪制订并使用的新大纲，为什么要打破二十多年的稳定局面，在课程设置上做如此大的改革呢？

这是由微积分学在数学以至整个自然科学中的重要地位所决定的。微积分学是人类思维的伟大成果之一，它的产生和发展被誉为“近代技术文明所产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后数学的发展起决定性作用的思想”。微积分的思想方法是17世纪产生的关键性的数学思想方法，不仅是学生以后学习高等数学以及许多数学分支的基础，而且对于培养学生的数学思维，增强学生的解题能力也有很大的促进作用。微积分作为一个强大的工具，也可以帮助我们解决一些用初等数学思想处理比较繁琐的数学问题，如变速运动的瞬时速度、变力作功、曲线的切线与长度、封闭曲线形的面积、立体体积等。从微积分学的创立至现在的三百年中，微积分学不仅对数学，而且对整个人类文明产生了不可估量的影响。而且我国进行了二十多年的改革开放，教育也得到了很大发展，当今不论教师的整体素质还是学生的数学能力，与二十年前相比已有了很大提高。所以学习微积分的初步知识，决不是高不可攀的，微积分知识进入中学是可行的。

二、教学大纲对“微积分”部分的要求与特点

虽然新大纲仍然将微积分作为选修内容，但却是广大希望进入高校继续深造的学生的“必修”功课。新大纲对这部分的要求总体上看，有如下几个特点：

1.对微积分的定位比较好，充分考虑到学生的实际水平。没有过多地涉及极限的理论知识，也没有要求严格的论证，只需直观认识。例如选修Ⅱ只需让学生借助几何直观理解连续函数有最大最小值的性质，这样既能对极限的一些重要性质有所认识，也不会因严格的论证望而却步。但涉及到核心内容“变化率的思想”，即引入导数时，大纲则没有一味降低难度。因为变化率的思想是人类思维进步的里程碑，是高中生学习微积分的价值所在——既为大学作铺垫，也为日后不学微积分的学生提供理解变化率思想的机会。

2.重视微积分在中学阶段的应用。尽管选修Ⅰ和选修Ⅱ课时相差很大，但都用了足够的课时讲授导数的应用(选修Ⅱ还有定积分的应用)。因为如果不谈应用，学生不仅学习该内容无甚兴趣，而且也不能对微积分有一个全面的了解。况且，在讲授微积分的应用时，也能加深学生对中学数学其他知识的理解。比如，讲导数的应用有助于进一步理解函数的变化状态，从观察基本函数的斜率开始，判断它的单调性，下降、上升区间和极值。

3.教学大纲要求“通过微积分初步的学习，了解微积分学的文化价值”，说明教师不仅应讲授微积分的基本知识和原理，还应该让学生了解微积分发展的社会背景及有关人物的资料，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。形成一定的数学思维并能上升到哲学的高度。

三、高中数学课堂中组织微积分教学应遵循的一些原则和策略

中学生与大学生的认知水平不同，高中教师与大学教师的教学水平不同，所以微积分在高中课堂中的教学与大学中的教学是有很大区别的。本人结合在教学中学生学习微积分出现的困难，探索了一些较为可行的教学方案，总结起来有一下几点：

1.不断加强变量概念的教学，树立以变量为思维对象的数学观

由于学生在长期的数学学习中接触的均为常量，即使在高中阶段系统学习函数、自变量，并研究了一些基本函数的性质和图像，但其思维和认识方式仍然比较习惯于常量，常量数学在头脑中已根深蒂固，缺乏变量思维。但在学习极限、连续、导数、微分等概念时，没有变量的思维是不行的。所以在组织教学时，需加强变量概念的教学，让学生逐步熟悉和适应变量，并能思考变化过程。

中学数学引入导数的内容使教学内容增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域。增加这部分内容，可以加强对考生的辩证思维的教育，使考生能以导数为工具研究函数的变化率，为解决函数极值问题提供更有效的途径、更简便的手段，加强对函数及其性质的深刻理解和直观认识。同时，使学生掌握一种科学的语言和工具，学习一种理性的思维模式。

2.要以直观描述为主，鼓励“合情推理”和“合情猜想”

3.防止微积分教学退化成仅让学生记住一些公式和结论

考虑到高中生的实际水平，不需要在理论上过分要求严格。但无论是用直观图形引入还是给予一定的推理，都应让学生主动的参与，引导学生观察和发现图形的“变化趋势”或亲自动手进行推导，这样才有利于培养学生的“变量思维”，感受微积分的内涵和与初等数学的差异。否则，如果为了纯粹的“应试心理”，微积分教学变成了让学生在不理解的状况下死记一些公式和结论，那么在高中教授微积分就失去了意义和价值，学生的能力也不会提高。

4.加强对复合函数求导的训练

复合函数是高中学生学习的难点，所以复合函数的导数也将是学生容易出错的地方，关键是有一些学生不会合理地引入中间变量，函数的复合过程中各个环节分别是什么样的函数关系没有搞清楚。对此，本人认为应先让学生多做一些分解函数复合过程的练习，然后按照复合过程逐步计算出复合函数的导数，待分步动作熟练之后再省略中间过程。

总之，如何进行微积分教学在高中数学是一个全新的课题，相对于代数和几何等经典内容已经臻于完善的教学研究，微积分的教学研究还不成熟，处于摸索的阶段。但也正因为如此，探讨微积分的教学才更有价值和意义。微积分从新世纪已正式进入中学，它作为人类文化的宝贵财富，正在武装一代又一代的新人，终将成为世人皆知的常识。它那闪耀着智慧光芒的深刻思想，一定会哺育人类走向更高的历史阶段。