线性系统的稳定性分析

毛晓琦哈尔滨工程大学

线性系统的稳定性分析

毛晓琦
哈尔滨工程大学

优秀的控制系统主要体现在系统的稳定性，它决定了系统能够安全正常运行，对于如何保证控制系统的稳定性，是控制技术人员的主要任务。本文将会主要讲述基于经典控制理论的稳定性判据与基于现代控制理论的稳定性判据。

线性系统；稳定性；分析

引言

常规的控制系统有两种，一种是线性系统，另一种则是非线性系统。线性控制系统的稳定性判断的依据就在于平衡状态下的系统经过扰动后是否能够重新回到平衡状态。对于线性系统的稳定性影响因素在于系统的参数，它并不会受到外力的影响。而非线性系统却存在着因为存在着多个平衡状态，这些状态之间有的是稳定，而有的却是不稳定的，所以在条件允许的情况下，通常会将非线性系统近似为线性系统来分析。

1　线性控制系统的稳定性判据简述

现今的线性控制系统的稳定性判据方式主要类型分为两种：第一个是基于经典控制理论的稳定性判据，第二个则是基于现代控制理论的稳定性判据。在经典理论判据中主要对系统的闭环传递函数进行分析来判断系统的稳定性，这类判据主要有劳斯稳定判据、奈奎斯特判据以及对数稳定判据等，这类型判据一般是应用于线性系统和近似线性系统。而现代理论判据则是主要针对空间状态的描述，李雅普诺夫稳定判据就是常用的一种现代控制理论，并且被广泛的应用。

2　基于经典控制理论的稳定性判断依据

在线性控制系统中，对其稳定性判断依据的主要从闭环系统特征方程所有根存在负实区，或判断闭环传递函数的极点位置进行分析。而基于经典控制理论的稳定性判断依据便是通过证明闭环系统特征方程所有根的区域，以此作为依据可以知道系统的稳定性。

2.1劳斯稳定判断依据

劳斯判断系统稳定性的依据是通过分析线性控制系统闭环传递函数的特征方程的系数来判断。使用系统建立一个完整的模型，再根据模型，利用方程式计算系统的闭环传递函数，就能够判断线性控制系统的稳定性。同时劳斯稳定判据还可以得出闭环系统特征根的具体分布图。但是劳斯稳定判据有着一定的局限性，主要还要看系统的稳定情况，若是系统本身就是稳定的，那么劳斯判据就无法判断系统的动态性能。而系统如果不稳定，劳斯判据也就不一定能作为判断系统稳定性的依据。

2.2奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特稳定判据是一种图解法，需要用到奈奎斯特曲线来进行。这种判据是以幅角原理为理论基础，通过这种理论，只要在线性控制系统的选择一个合适的闭合区域，就可以轻松计算出零点和极点的数量差。奈奎斯特判据的作用不仅能够判断系统的稳定性，还能改变系统的稳定性，只要知道了控制系统的参数，就可以用奈奎斯特曲线来改变系统稳定性.。不仅如此，奈奎斯特判据还提供稳定性测度，能清楚呈现系统的稳定程度以及对扰动的鲁棒性。

2.3对数稳定判据

对数稳定判据需要结合奈奎斯特稳定判据使用，可以将奈奎斯特图应用到伯德图上，然后通过开环对数频率曲线能够方便校正和设计系统，同时由于开环对数频率曲线的绘制较为简单，因此，对数稳定判据的应用可以应用到很多类型的系统。

3　基于现代控制理论的稳定性判断依据

李亚普诺夫稳定判据被分为李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二发，这种判据主要是通过对系统空间状态的一个描述来判断系统的稳定性。其中李雅普诺夫第一法的特点在于它判断系统稳定性的方法是通过状态方程的解的性质。而李亚普若夫第二法的特点便是运用李雅普诺夫函数的标量函数直接来判断线性控制系统的稳定性，期间并不需要求系统的特征值以及微分方程式。

在此，特意讲解李雅普诺夫第二法对线性控制系统的稳定性判断依据。对于李雅普诺夫第二法，主要是利用能量变化的理论来判断系统的稳定性。在系统运行过程中，系统内储存的能量会随着时间的流逝而渐渐减少，那么就表明了系统开始稳定了，相反，系统在运行过程中，能量不但没有减少反而在不断从外界吸收能量，则表示系统无法稳定下来。

根据能量定理，可以了解能量的数值是一直大于0，所以我们可以直接将能量函数定义为正函数。在李雅普诺夫第二法中，判断依据是通过判断能量衰减特性的正负来判断线性控制系统的稳定性。其中运用了一个李雅普诺夫函数，然而李雅普诺夫函数不是轻易就可以计算出来的，因为这类函数有多个。通过线性定常系统，并且采用正定二次型函数，再选定一个大于0的单位矩阵，求解李雅普诺夫方程就可以找到线性控制系统的李雅普诺夫函数。其中计算系统特征根的极点并将其定号性，然后根据线性定常系统，当极点为正定时，表示系统渐进稳定，为负定时，表示系统不稳定，若不定时，就可以判断系统为非渐进稳定。

在经典控制理论中，奈奎斯特稳定判据是常用判断线性控制系统的稳定性，其主要作为线性以及近似线性系统的稳定性判据。而在现代控制理论中，李雅普诺夫稳定判据不仅仅可以对线性控制系统的稳定性进行判断，其还可以应用到其他较为复杂的动力学系统的稳定性研究，如时变系统、非线性系统、离散时间系统以及离散时间动态系统等。但是李雅普诺夫稳定判据也有着一个缺陷，那就是没有一个固定构造李雅普诺夫函数的方法，一切只能靠丰富的经验和技巧。

4　结语

稳定性判据主要有基于经典控制理论的稳定性判据和基于现代控制理论的稳定性判据。两类型判据有着明显的区别，经典控制理论类型判据通常只能用于线性控制系统或近似线性系统，其主要是通过计算系统的闭环和开环特性来判断系统的稳定性。现代控制理论类型判据主要针对空间状态方程计算判断系统的稳定性，这种类型的判据，如李雅普诺夫稳定判据应用范围广泛，几种判据虽然已经沿用了很多年，但是却依然存在着一些缺点，面对这些缺陷，就只能依赖丰富的经验和技巧。

[1]嵇小辅,朱湘临.状态饱和奇异离散线性系统的稳定性分析与控制律综合[J].信息与控制,2013,04:437-442.

[2]孙凤琪.线性时滞系统的稳定性分析[J].吉林大学学报(理学版),2014,04:709-714.

[3]刘蕾,罗宾,韩存武,孙德辉.线性时滞系统的稳定性分析与控制[J].计算机仿真,2015,08:327-331.

[4]张为元,李俊民,夏志乐.时变线性分布参数系统的鲁棒指数稳定性分析[J].应用数学学报,2012,05:879-891.

[5]李俊.一类线性时变系统线性化稳定性分析方法的讨论[J].电子设计工程,2013,21:61-62+66.