香港初中《生活与数学》编写特色及启示

刘海涛

摘要 香港是东西方文化的交汇点，其数学教育与内地有一定的区别，因此，教材编写与内地相比有一些不同。《生活与数学》教材的编写具有一定的特色，通过对教材的分析，发现主要有以下特点：以卡通激活学生求知欲望、以课堂讨论引领知识建构、以基础练习巩固例题教学、以习题分层满足学生差异、以IT园地助数学现代化。

关键词 学生求知欲望 引领知识建构 巩固例题教学 满足学生差异 助数学现代化

数学教育在初等教育中具有核心的地位，各国发展历史说明，数学教育决定一个国家的发展，因此世界各国对数学教育高度重视。因为几乎所有的工作不仅依赖于基本的数学知识和技能，而且依赖于数学所培养的逻辑思维能力与认知能力，因而世界各国都特别重视数学课程，甚至将21世纪的经济之战视为“一场数学经济之战”[1]。数学教材是数学课程标准的一次再创造具体化，是教师教学与学生学习的抓手，因此教材的编写倍受世界各国与地区的重视，决定数学教育的成功与失败。香港《生活与数学》是依据香港2001年制定的数学课程而编写的数学教材，由于香港是东西方文化的交汇点，因此教材的编写与内地教材有一定的区别，本文以尹鋈鸿等编写，牛津大学出版社出版的《生活与数学》3B，2005年版四边形一章为例，对其特点进行探析。

一、以卡通激活学生求知欲望

《生活与数学》教材一节课的开始运用卡通图片的形式提出问题，在四边形一章第一节课，首先运用卡通图片提出问题，运用形式新颖的图片，把各种特殊四边形画成小人物的形象，放到台上，进行特殊四边形选拔赛，激发学生强烈的求知欲望。“求知欲指人在数学学习活动中面临问题时产生一种缺乏相应知识的感觉，因而希望探究新知识、扩大知识结构的认知心理倾向。”[2]当学生阅读到这里时，会使其产生强烈的求知欲望，激活学生的兴趣。爱因斯坦曾说：“兴趣是最好的老师。”著名心理学家布鲁纳也认为：“最好的学习动机是学生对所学知识本身的内在兴趣。”兴趣是学生学好数学的内在催化剂和驱动力。

第一，青少年学生对动画片非常感兴趣。由于青少年的年龄特点，加之现代媒体技术的发展，现代的青少年学生是动画片伴随他们长大的，对动画中的卡通图片非常喜欢。

第二，图片运用各种不同的色彩引起学生的注意。首先，引起学生的注意，会使卡通图片进入学生的工作记忆而被加工，因此会使学生运用表象表征特殊四边形图形的特点。其次，根据注意的过滤器理论：“神经系统对加工信息的注意选择存在如下机制，神经系统在某一特定的时间内只能对特定的信息进行加工，而且加工的容量是有限的。也就是说，在神经系统的某一个加工阶段存在着一个过滤机制，这个过滤机制会对来自不同感觉通道的信息进行选择性地加工，使一部分信息能够通过这个过滤器，并得到进一步的加工；而其他的信息就被阻断在过滤器之外，得不到进一步的加工。”[3]因此图片信息容易被加工。最后，现代认知心理学的研究表明：个体对图片及场景等视觉信息的记忆能力似乎强于言语信息[4]。

第三，展示卡通图片的同时，充分运用图形进行分析。在平行四边形判定一节中，把边角相等或对角线互相平分运用图形化的条件表示在平行四边形中，并以竞选方式提出“我是平行四边形”，并用幽默的语言给学生提出问题，“真烦恼，他们都说的对呢？”下边是平行四边形的宝座。把学生置身于裁判员的位置，要想做好这个裁判，就要学习下面的有关平行四边形的判定，并使学生带着问题进行学习。一方面在图形中标注图形，是运用几何直观解决数学问题。希尔伯特在其名著《几何直观》一书中谈到：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果，这就是几何直观带给我们的好处。”[5]另一方面，现代认知心理学的研究表明，带着问题学习更有利于对知识的表征，从而提高学习效率。

二、以课堂讨论引领知识建构

《生活与数学》教材新知识的学习过程中，每一节是以课堂讨论（或课堂探讨）方式呈现的。如平行四边形性质一节，提出如下问题进行课堂讨论：如图1的四边形ABCD是一个平行四边形，（a）在△ABC和△CDA中，找出两对相等的角。（b）在△ABC和△CDA中，有没有一对相等的边？（c）△ABC和△CDA是否全等？试附理由。

图1

第一，数学教学的本质是学生在教师的引导下，建构科学合理的良好数学认知结构的过程。首先，良好的数学认知结构是学生后续认知的支撑点。学生当前建构的数学认知结构是后续同化新知识的固着点，是学生进行认知的基础，是学生的现有认知水平。学生潜在的认知水平是以现有数学认知结构为支撑，在同伴或教师的帮助下的数学认知水平。因此数学认知结构是学生最近发展区的根基。数学认知结构是学生信息加工的支撑点，其支撑的强度直接影响学生信息加工的能力。建构一个结构合理、有利于信息提取、清晰度高的准确的数学认知结构是提高学生数学认知能力的关键。数学认知结构是学生思维跳跃的支撑，决定学生思维跳跃的高度。其次，良好的数学认知结构是学生在数学上得到发展的基石。数学教学为学生的终身发展服务，在数学学习中，学生要学会用数学的思维方法去观察世界、感知世界、理解世界，数学认知结构是学生运用数学思维方式体会认识世界的逻辑起点。最后，良好的数学认知结构是学生形成数学素养的核心。“数学素养是人们通过数学教育以及自身的实践和认识活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和。”[6]显然，数学素养的形成，依赖于良好的数学认知结构的形成。

第二，所讨论的问题，在学生的最近发展区内，而且不直接讨论问题的本质，而是讨论两个三角形中边角是否相等以及两个三角形全等的问题，通过对这些问题的讨论学生能够发现平行四边形的性质。首先，给学生搭建一个“脚手架”有利于学生发现平行四边形的性质。学生发现问题，要在一定的环境下发现，科学家发现定理的事实说明了这一点。如勾股定理的发明，是毕达哥拉斯在朋友家吃饭时，地板的拼图启发了他的思维，发现了勾股定理。对学生而言，教材中科学合理的设计问题，为学生发现问题创设情境，可使学生既建构数学知识，又培养创新能力。其次，问题分三个小问题呈现，可适应不同层次的学生。众所周知，学生的差异是客观存在的，也就是不同的学生其内化的数学认知结构是有区别的，数学认知的能力是不同的，因此分步呈现问题，可提高不同层次学生的认知能力。最后，用类比方法得到平行四边形的对角线相等的性质，比较科学合理。教材在学生前面得到两个三角形△ABC和△CDA全等的情况下，指出，如果连接AC、BD，如图2，同样可得到△AOD和△COB全等，从而得到AO=DO、BO=DO。类比思想是学生认知的重要思想方法，学生运用原有的数学认知结构同化新知识。波利亚曾说过：“类比是伟大的引路人”，并在《怎样解题》中说：“在求解（求证）一个问题时，如果能成功地发现一个比较简单的类比题，那么这个类比问题可以引导我们到达原问题的解答”。在学生运用全等三角形的理论研究四边形的性质获得成功经验的情况下，教材在此用类比法让学生研究对角线相等，进一步深化了运用全等三角形理论研究四边形性质的经验。

图2

第三，课堂讨论有利于学生发挥主观能动性。讨论使学生之间的思维火花相互碰撞，心理失去平衡，再通过同化或顺应，重新得到平衡，获得新知识。充分发挥学生的认知主体作用，有利于学生建构平行四边形性质知识，有利于培养学生的创新能力。

三、以基础练习巩固例题教学

《生活与数学》教材在每个例题后配以一个基础练习题，不同于课堂练习在一节内容之后，而基础练习放在一个例题的后面，一一对应。基础练习是例题的简单变式，基础练习的变式分为两类，一类是对例题的图形及条件数据进行简单变式，运算的方法不变；另一类是对图形及条件进行变式，结论不变。香港中文大学孙旭花、黄毅英、林智中在数学问题的结构性变式的研究中对变式进行了分类：一类是（形式）水平变式，另一类是（结构）垂直变式。水平变式题是指表面特征进行变式，垂直变式题是指结构变化[7]。基础练习的变式属水平变式。

数学例题是用来说明数学概念、定理、公式、性质等应用时做例子用的。数学例题是数学知识的载体，是提高学生运用概念、定理、公式、性质等分析问题、解决问题能力的抓手。教师对例题的分析与讲解，是学生解题的榜样，学生对例题有效理解是学好数学的关键，也是提高数学教学质量的关键。教材中示范与练习的有机结合，是充分挖掘教材中例题的示范作用的必要手段，发挥这些题目在培养学生数学思维品质上和掌握数学知识上的作用，达到举一反三、触类旁通、融会贯通的目的，使学生能够通过例题的教学，进行简单的模仿，为后续学生形成解题技能奠定基础。同时，对例题条件进行变式，结论不变，可使学生对此类问题形成问题域，更加有利于学生掌握此类问题的解答，掌握解题规律，建构良好的程序性知识结构。

四、以习题分层满足学生差异

《生活与数学》教材课后习题分层编写，分为两个层次，分别叫做程度一与程度二。程度一属基础型习题，程度二属提高型习题。

第一，数学学习离不开有效的练习。我国著名数学家华罗庚说过：“学数学不做练习，好比入宝山而空返。”因此，练习的形式、习题的组成等，直接影响着数学学习的有效性。学生的数学认知结构是有区别的，因而学生之间的差异是客观存在的。首先，香港是国际化程度比较高的大都市，学生来自世界各地，由于每位学生所在的家庭不同，因此所受的家庭教育是不同的。其次，学生所处的社会环境有区别，文化背景不同，学生所受教育的经历是有区别的。最后，学生的智力发展是有区别的，表征数学知识的方式方法也是有区别的，因此学生形成的数学认知结构有差异是绝对的。

第二，数学教材是学生学习数学的主要知识载体，数学教材中的习题是学生获取数学知识形成技能的主渠道，又是提高数学教学质量的关键。有效的练习，能够使不同层次的学生在数学上得到不同的发展。首先，有效的练习是学生巩固所学知识、运用知识、训练技能和技巧的必要手段，对学生形成良好数学认知结构起关键作用。其次，学生之间的差异是客观存在的，数学习题也要适应学生个性发展的需要，进行有层次的练习，才能使人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。最后，分层习题可使不同层次学生得到成功的体验。成功的体验对学生来说特别重要，一个学生如果获得了成功的体验，是一种自我能力的认识，会激发学生的学习兴趣，会使学生对未来的学习充满信心。很多数学家，本来对数学不感兴趣，因为一次偶尔的成功体验，使他们对数学产生了浓厚兴趣，并由此刻苦学习，最后走向成功。

五、以IT园地助数学现代化

《生活与数学》教材在每一章的最后，结合本章的内容，配有IT园地。有的是从不同的角度观察一个立体图形，并提供网址，要求回答一定的问题；有的是利用网上的软件，求一个立体图形的体积；有的是介绍几何画板软件的使用方法。众所周知，1957年，前苏联发射了世界第一颗人造地球卫星后，全世界为之震惊，美国不甘于落在苏联的后面，分析本国落后的本质原因，最后归因于教育的落后，认为教育内容陈旧，教学方法落后。在《国防教育法》推动下，进行了新课程改革，改革的重点是信息技术逐渐进入课堂，开启了教育现代化的征程。顾明远教授认为：教育现代化是以现代信息社会为基础，以先进教育观念为指导，运用先进信息技术的教育变革过程，是传统教育向现代教育转变的过程[8]。世界各国都认为，数学教育是决定一个人终身发展的教育，是决定一个民族发展的教育，世界的竞争，本质是教育的竞争，数学教育在教育中处核心地位，因此有理由说，世界的竞争实质就是数学教育的竞争。在这场竞争中，谁走在数学教育现代化的前边，谁就能够掌握竞争的主动权。数学是信息技术发展的基础，信息技术的发展本质是数学的发展，反过来，信息技术又促进数学教育的发展。如运用多媒体课件进行教学，网上授课，运用信息技术翻转课堂、设计微课程等，运用几何画板可改变传统的尺规作图，运用计算机来研究几何学、证明几何定理。因此，在教材中增加IT园地，首先，可以提高学生对数学学习的兴趣，增加学习数学的有效方法。其次，可使学生运用现代化手段，更有效地学习数学知识，把课堂延伸到网络世界。最后，运用几何画板等，可使学生在几何画板的平台上，研究几何知识，增添学生研究数学积极性，同时，几何画板可进行符合标准的精确画图和测量，为学生进行猜想、验证、获得正确的结论提供强有力的支撑，从而丰富学生的几何探究经验，提高数学学习的有效性。

六、对内地教材编写的启示

第一，教材的编写要与学生的生活经验紧密结合。一方面，学生的生活经验经内化后，成为个体认知结构的组成部分，因而可为学生的数学学习提供强有力的技撑。另一方面，伴随着时代的发展，同龄学生的生活经验要发生变化，因而学生的生活经验也随着时代的变化而变化，教材中的例子要随时代的变化而变化。

第二，教材的编写要与学生的心理特点紧密结合。青年学生有学生的心理特点，教材的编写要与学生的心理特点相结合，这样才能激发学生的学习兴趣，有了学习兴趣才能激活学生的潜能。

第三，教材的编写要与信息时代的发展紧密结合。首先，信息技术的发展，促进人类社会全方位的变革，改变着人类的工作、学习、生活，数学学习也离不开信息技术的支撑。其次，信息技术改变数学的学习方式。人们可以运用计算机证明定理，运用计算机探究数学问题。最后，运用计算机可为学生提供丰富的表征方式。运用信息技术，可使学生观察到一些生活中无法观察到的演示动画，丰富学生的想象能力，提高学生几何直观的能力。

参考文献

[1] 宋乃庆，徐斌艳主编.数学课程导论[M].北京：北京师范大学出版社，2010（8）.

[2] 孔凡哲，曾峥.数学学习心理学[M].北京：北京大学出版社，2009（3）.

[3] 张学民.实验心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2009（8）.

[4] 约翰·安德森.认知心理学及其启示[M].秦裕林，等，译.北京：人民邮电出版社，2012（1）.

[5] 希尔伯特，康福森.直观几何[M].北京：高等教育出版社，1959.

[6] 上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿）[S].上海：上海教育出版社，2004（10）.

[7] 张奠宙.中国数学双基教学[M].上海：上海教育出版社，2006（5）.

[8] 顾明远.试论教育现代化的基本特征[J].北京：教育研究，2012（9）.

【责任编辑 郭振玲】