(r,u)-非奇异的线性齐次型

刘　松，孙广人，姜　杭

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)



(r,u)-非奇异的线性齐次型

刘松，孙广人，姜杭

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

摘要：本文定义了数字半群(r,u)-非奇异地承认线性齐次型的概念。特别地，在u=1时得到了关于承认线性齐次型的集合Sr,1(p)不空以及包含常半群Om的充要条件。

关键词：型；数字半群；(r,u)-非奇异

一个数字半群S是非负整数N集合的非空子集，包含0，加法封闭，且余集G(S)∶=NS有限。记g=#G(S)，称之为S的亏格。而S中最小的正整数m(S)称为S的重数。Om={0,m,m+1,…}称为常半群。

Arf半群是数字半群中较为著名的一种类型，它的定义为对于任意的s1≥s2≥s3∈S，s1+s2-s3∈S，换句话说，对于线性齐次多项式p(x1,x2,x3)=x1+x2-x3，以及任意的s1≥s2≥s3∈S，有p(x1,x2,x3)∈S。文献[2]把这一描述推广为关于数字半群线性齐次型的概念：设p(x1,…,xn)为n元整系数线性齐次多项式，S称为承认型p的数字半群，如果对于任意的s1≥…≥sn∈S，有p(s1,…,sn)∈S。

对于型p，一个重要结论：

(1) 存在数字半群承认p；

(2) N承认p；

满足上述三个条件的型称为齐次容许型。

受文献[1]考虑非齐次型的启发，在给定齐次型p下，我们定义如下概念：

定义1给定齐次型p，对于固定的正整数1≤r≤n，数字半群S={0

(1) S承认型p；

(2) 如果s1≥…≥sn∈S，满足s1≥nu，则有p(s1,…,sn)≥nu且属于S。

以下以Sr,u(p)表示所有(r,u)-非奇异地承认p的数字半群，如果Sr,u(p)非空，则称p是(r,u)-非奇异的线性齐次型。容易看出，如果u≤v，则Sr,u(p)⊇Sr,v(p)，因此对于齐次型p，固定的正整数1≤r≤n，Sr,1(p)是所有Sr,u(p)中最大的一个集合。本文将研究Sr,1(p)的结构。

1Sr,1(p)非空的条件

首先是Sr,1(p)何时非空的问题。此时n1即为数字半群的重数。有如下基本结论：

证明因为p是齐次容许型，故由定义存在数字半群S承认p，即对s1≥…≥sn∈S，代入p可得

∑r·(sr-sr+1)+…+∑n-1·(sn-1-sn)+

∑n·sn∈S

(1)

充分性按只要证明S满足定义1(2)，即得S∈Sr,1(p)。由定理1(3)一切∑n′≥0，因此只需说明(1)式不为0。如果r=n，结论是显然的。如果r0，因∑n>0，故成立。否则sn=0，如果sn-1-sn>0，结论同样成立；否则如果sn-1=0，由假设必然r0即证。

必要性用反证法，假设存在某个j≥r，使得∑j=0，但是Sr(p)非空。取S∈Sr,1(p)，令

s1=…=sj=m(S)，sj+1=…=sn=0，

代入(1)式等于0，不符合定义1(2)，因此与S∈Sr,1(p)矛盾。

2Sr,1(p)与常半群Om

受文献[1]考虑非齐次型时的启发，如果Sr,1(p)非空，可以进一步考虑何时包含常半群Om的问题。

定理3给定齐次容许型p，以及1≤r≤n。令m>1，则Om∈Sr,1(p)当且仅当下面两个条件同时成立：

(2) 如果存在j

i0=max{i∶∑j>0,i

则若i0存在时，一切满足i≤i0的正整数∑i大于等于m。

证明必要性由定理2可知(1)成立。对(2)，如i0存在，则j0≥i0+1，而n≥j0+1，所以对于i≤i0，令s1=…=si=m(S)+1，si+1=…=si0+1=m(S)，si0+2=…=sn=0，因此由(1)式可得p(s1,…,sn)=∑i，而由i0定义∑i+1≥0，所以∑i≥m。

充分性根据定义首先要证明对于任意s1≥…≥sn∈Om，p(s1,…,sn)∈Om。显然只需要证明p(s1,…,sn)≠0时p(s1,…,sn)≥m，此时j0存在。注意s1≥…≥sn一定有正整数，可以假设其中下标最大的一个是sk。如果∑k≠0，则或者k=n有p(s1,…,sn)≥∑n·sn≥m，或者k

p(s1,…,sn)≥∑k·(sk-sk+1)=∑k·sk≥m

即证。

故假设∑k=0，因此，必然ksx+1，且∑x≠0，由假设即得

p(s1,…,sn)≥∑x·(sx-sx+1)≥m

其次，再证明对任意的s1≥…≥sn∈Om，满足sr>0，则有p(s1,…,sn)∈S{0}。设其中下标最大的正整数为st，则t≥r。同样，t=n，p(s1,…,sn)≥∑n·sn≥m，或者t

p(s1,…,sn)≥∑t·(st-st+1)=∑t·st≥m

参考文献:

[1] M. Bras-Amorós, P. A. García-Sánchez and A. Vico-Oton.Nonhomogeneous patterns on numerical semigroups[J].Internat. J. Algebra Comput.,2013,23:1469-1483.

[2] M. Bras-Amorós and P. A. García-Sánchez.Patterns on numerical semigroups[J].Linear Algebra Appl.,2006,414:652-669.

[3] J. C. Rosales and P. A. García-Sánchez.Numerical semigroups[J].volume 20 of Developments in Mathematics,Springer, New York, 2009.

(r,u)-Nonsingular Linear Homogeneous Patterns

LIU Song，SUN Guang-ren，JIANG Hang

(School of Mathematics and Computation Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

Abstract:In this paper，we introduce a numerical semigroup admits a linear homogeneous pattern in the (r,u)-nonsingular sense. Especially，we get necessary and sufficient conditions on Sr,1(p) isn’t empty or contains Om.

Key words:pattern, numerical semigroup, (r,u)-nonsingular

中图分类号：O151.2

文献标识码：A

文章编号：1007-4260(2015)01-0001-02

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.001

通讯作者：孙广人,男,河北唐山人, 博士, 安庆师范学院数学与计算科学学院副教授，研究方向为代数与编码。

作者简介：刘松，男，安徽庐江，安庆师范学院数学与计算科学学院研究生，研究方向为编码与密码。

收稿日期：2014-03-09