MSK扩频调制的带限滤波技术分析

赵建功，刘香玲，朱行信，王洪琳 ，朱良彬

(1.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081；

2.石家庄铁道大学 电气与电子工程学院，河北 石家庄 050043)



MSK扩频调制的带限滤波技术分析

赵建功1，刘香玲2，朱行信1，王洪琳1，朱良彬1

(1.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081；

2.石家庄铁道大学 电气与电子工程学院，河北 石家庄 050043)

摘要针对MSK扩频调制信号的带限滤波问题，对升余弦滚降滤波、等波纹奈奎斯特滤波和高斯滤波技术进行研究。采用了理论模型结合仿真验证的方式，对各种带限处理的带外抑制效果、占用资源和处理时延以及系统传输误码率等多方面的性能进行了分析。仿真表明，和升余弦滚降滤波相比，高斯滤波的运算资源很少但误码率性能差，而等波纹奈奎斯特滤波则可以相对较少地运算资源，实现与升余弦滚降滤波相接近的传输性能。因此，工程应用中应在传输性能和实现代价之间权衡取舍，以获得合适的处理效果。

关键词MSK扩频调制；带限滤波；等波纹奈奎斯特滤波器；高斯滤波器

0引言

MSK信号具有包络恒定、相位连续，且能量主要集中于主瓣等特性。MSK扩频调制与基于数字相关器解调相结合的传输体制[1]，在突发扩频系统中得到了成功应用。

和常规的相位调制方式(如BPSK)而言，MSK信号的功率谱更为紧凑，其主旁瓣的功率谱密度的对比可达20 dB以上，且99%的信号能量分布在1.17/Tc的带宽范围之内。

然而，在实际应用中，为了进一步消减相邻信道中的带外辐射(通常要求带外辐射比带内辐射低40～80 dB)，仍需要对扩频调制信号进行进一步带限滤波处理，将信号频谱限制在设定的频带内。与此同时，需要减小带限处理导致的传输信号码间串扰(ISI)。

文中针对多种带限滤波设计技术[2-4]进行了研究。通过理论模型和仿真验证论述了各滤波器的设计原理以及关键参数对滤波器的影响。从带外抑制效果、占用资源和处理时延以及系统传输误码性能等方面对处理效果进行了对比。分析结果对于工程设计时选择合理的带限滤波技术，具有指导意义。

1MSK扩频调制信号模型

MSK调制信号是相位连续FSK调制的一种特例，信号频率的偏移满足在一个码元期间内相位偏移量恰好为±π/2。其调制原理可简述为具有正/余弦函数加权的同相和正交支路信号合成的结果，如图1所示。

图1　MSK扩频调制原理

图1中，Tc代表扩频码片的时间周期。假定载波为fc，则调制输出的信号可表示为：

sMSK(t)=Ikcos(πt/(2Tc))cos2πfct+

Qkcos(πt/(2Tc))cos2πfct。

(1)

式中，Ik和Qk(分别取值±1)为相互正交的2个调制支路上的码片。为方便分析，通常假设各码片统计独立且具有相等的产生概率0.5，则信号的功率谱谱密度PMSK(f)可表示为[5]：

(2)

其功率谱的旁瓣拖尾以近似1/f4的规律滚降。

2带限滤波器设计方法及原理

简而言之，升余弦滚降滤波是最经典的带限滤波方法。而高斯滤波可产生效率特别高的高斯脉冲波形，代价是性能有所下降。等波纹奈奎斯特滤波则可以更少的资源达到与升余弦滤波类似的性能。

2.1升余弦滚降滤波器

当矩形脉冲通过带限信道时，脉冲会在时间上扩展，每个符号的脉冲将扩展到相邻符号的码元内，从而形成ISI。奈奎斯特指出，只要把通信系统(包括发射机、信道和接收机)的整个响应设计成在接收机端每个抽样时刻只对当前的符号有响应，而对其他符号的响应全等于零，则码间串扰的影响就能完全被抵消[6,7]。

无线通信中最常用的带限滤波器是升余弦滤波器，能满足奈奎斯特准则，即抽样时刻ISI为0。滤波器的传递函数为：

(3)

时域冲击响应表示为：

(4)

式中，滚降因子α对滤波器设计具有重要影响。α增加则占用带宽增加，冲击响应在相邻符号间隔内时间旁瓣减小，这意味着可以减小对定时抖动的敏感度。

应用于数字通信系统时，升余弦滤波器通常利用窗函数法对式(4)所示的理想冲击响应进行截短，以FIR的形式实现。

2.2等波纹奈奎斯特滤波器

奈奎斯特滤波器又称为1/L带滤波器，其幅频响应的截止频率等于π/L，而冲击响应每隔L个抽样取值为0。等波纹奈奎斯特滤波器在很多场合可以代替升余弦滤波器，且需要资源更少。

典型的滤波器设计不仅应考虑通带、阻带及理想增益等参数，还应包括与期望传递函数之间的偏差(即纹波)[8-10]。等纹波FIR滤波器非常有效地符合这些设计要求，且其设计协议最小化了与理想传递函数之间的最大偏差(纹波误差)。

利用等波纹最佳逼近法设计FIR奈奎斯特滤波器,其数学模型的建立和算法的推导是比较复杂的。篇幅所限，本文只对基本原则进行简略描述。假定设计滤波器的幅频特性为Hd(w)，实际得到的滤波器的幅频特性为H(w)，等波纹最佳逼近法是根据设计要求，导出一组条件，使H(w)最好地迫近Hd(w)，即使整个迫近频率区域上的迫近误差绝对值取最小。

(5)

等纹波算法通常都采用Parks-Mcclellan迭代方法来实现。可以利用该方法生成一符合设计公差方案的Chebyshev多项式，且该多项式有最小的长度。对于低通而言，多项式的长度，也就是滤波器的长度可以根据下面的公式来计算：

(6)

式中，εp为通频带纹波；εs为抑止频带纹波。

利用等波纹法设计滤波器可以明确地指定阻带和通带边缘参数，其过渡带宽可借助升余弦滚降系数α的概念计算得出

(7)

式中，Nupsm为过采样倍数。

由于滤波器在通带和阻带的误差是均匀分布(等波纹性)的，只需要更少的滤波器阶数，便可获得与常用窗函数法相同的滤波指标。

换而言之，当滤波器阶数相同时，等波纹滤波器则可使通带更平坦，阻带最小衰减更大。对数字滤波器的设计而言，阶数的降低意味着硬件资源的节省和处理时延的减小，适合于要求低滤波时延的应用系统。

2.3高斯滤波器

在实际通信系统中，并不是所有的带限滤波都遵循奈奎斯特准则。高斯带限滤波便不满足奈奎斯特准则要求在相邻符号的峰值为零，并有截短的传递函数。其传递函数平滑且没有零点，函数形状强烈依赖于3 dB带宽Bt与码长Ts之积[11,12]。

高斯滤波器的连续时间冲击响应可表示为：

(8)

H(f)=e-a2f2。

(9)

可以看出，滤波器时域冲击响应和传递函数均依赖于参数a，a增加则高斯滤波器占用的带宽减少，冲击响应脉冲展宽，相邻符号间的串扰ISI增加。

对式(8)所示的理想冲击响应进行抽样并截短，便可通过数字FIR结构实现滤波器，这种处理产生的近似误差主要包括截短误差和混叠误差2种。前者源自以有限时长的冲击响应来近似无限时长的冲击响应。混叠误差则来源于数字采样速率有限，然而式(9)中描述的频率响应实际上并不局限于某个带宽内。

3滤波器仿真及性能分析

假定对传输系统发射的MSK信号进行带限滤波，要求带限滤波器的阻带衰减达到60 dB，分别选择升余弦滚降滤波器、等波纹奈奎斯特滤波器和高斯滤波器3种方式，采用低通型FIR数字滤波器进行实现。

带限滤波数字处理的过采样率选为8，基带信号成形的滤波器滚降因子选为α=0.75。则升余弦滚降滤波器阶数需要88阶；等波纹奈奎斯特滤波器阶数需要40阶，其过渡频带宽为0.187 5；高斯滤波器的阶数需要24阶，其关键参数“带宽—码宽积”(即参数a)选为移动通信系统中常用的BtTs=0.3。各种滤波器冲击响应的仿真结果如图2所示。

图2　滤波器的时域脉冲响应

滤波器的频率响应决定了滤波处理输出信号的功率谱密度形状，经各种滤波器处理后的信号的功率谱密度如图3所示，并且与不进行任何带限滤波处理的MSK信号功率谱密度进行的对比。

图3　滤波器输出信号的功率谱密度

滤波器阶数的多少决定了运算资源的需求量，处理每个输入样本值所需要的乘法器和加法器数量如表1所示。可见，等波纹滤波器需要的资源不足升余弦滤波器的一半,高斯滤波器需要的资源则更少,不足升余弦滤波器的1/3。

表1　滤波器占用资源估算

一般而言，带限滤波的特性应具有2个要素：一是阻带衰减应足够高；二是滤波处理造成的符号间串扰应尽可能小。

仿真结果表明，升余弦滤波和等波纹滤波能够满足上面的2点要求，高斯滤波则只满足其中的第一点要求。

由图3可知，升余弦滤波和等波纹奈奎斯特滤波相比，达到相同的带外抑制指标时，后者所需的资源不到前者的一半。但等波纹滤波的阻带部分起伏较大，而升余弦滤波进入阻带后依然较稳定的持续下降。

高斯滤波可以最少占用资源实现带外抑制要求，但由于高斯滤波器不满足消除ISI的奈奎斯特准则，会导致传输系统的误码性能相对较差，这个问题接下来将进行讨论。

此外，如果需要加快高斯滤波器的带外抑制下降速度，可以减小滤波器的带宽—码宽积。例如，带宽—码宽积由0.3变为0.195时，滤波器带外抑制的阻带边缘位置与升余弦滤波和等波纹滤波相近。但代价是，一方面滤波器的阶数会由24阶增至40阶左右(与等波纹滤波器相近)；另一方面传输系统的误码性能会进一步损伤。

不同的带限滤波器不仅在运算资源和处理时延方向有差异，并且系统传输误码性能也不相同。采用不同的带限滤波器时，系统传输的误码性能，如图4所示。假定接收端采用非相干解调方式。

图4　各种滤波器的误码传输性能对比

由图4可以看出，采用升余弦滤波和等波纹滤波的系统传输误码性能基本一致，而高斯滤波的性能相对较差。如上所述，通过降低高斯滤波器的带宽—码宽积可以加快滤波器带外抑制的下降速度。图4中还给出了高斯滤波器的时延—带宽积由0.3变为0.195时，系统传输的误码性能。可见时延—带宽积0.195时误码性能进一步下降，原因在于减小占用频谱会造成ISI增加，误码性能进一步恶化。

需要指出，应用中为实现对信号的最佳接收，常用一对匹配的根升余弦滤波器，分别置于发射和接收端。与此类似，等波纹奈奎斯特滤波器也可以用一对匹配的收发滤波器来等效，发端为最小相位滤波器，而收端为最大相位滤波器。

不过，对于相同的滤波阻带衰减指标要求(如60 dB)而言，采用匹配滤波器会导致滤波器阶数的急剧增加。篇幅所限，文中不再对此进行详细讨论。

4结束语

对于无线信号传输而言，为了充分利用频带资源，在有限的频带范围内容纳更多的传输信道，需要尽量消减传输信号在相邻信道中的形成的带外辐射。经典的升余弦滤波器和等波纹奈奎斯特滤波器均可满足奈奎斯特准则要求，但等波纹滤波器可以更少占用资源和处理时延达到相同的指标要求。高斯滤波器不满足消除ISI的奈奎斯特准则，需要在占用带宽和ISI之间进行折衷，但它适于使用非线性RF放大器以及不能精确地保持传输脉冲波形不变的调制技术。

参考文献

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赵建功男，(1982—)，高级工程师。主要研究方向：信号与信息处理。

刘香玲女，(1982—)，讲师。主要研究方向：通信与信息系统。

引用格式：赵建功,刘香玲,朱行信,等.MSK扩频调制的带限滤波技术分析[J].无线电工程,2016,46(1):65-68,71.

Analysis on Band-limiting Filtering of MSK

Spectrum-spread Modulation

ZHAO Jian-gong1,LIU Xiang-ling2,ZHU Xing-xin1,WANG Hong-lin1,ZHU Liang-bin1

(1.The54thResearchInstituteofCETC,ShijiazhuangHebei050081,China;

2.SchoolofElectricalandElectronicsEngineering,ShijiazhuangTiedaoUniversity,ShijiazhuangHebei050043,China)

AbstractIn view of band-limiting filtering of MSK spectrum-spread modulation signals,this paper studies such techniques as raised cosine filtering,equi-ripple Nyquist filtering and Gaussian filtering.The method of combining theoretical modeling with simulations is used to analyze such performances as stop-band attenuation,implement cost,processing latency and system bit error rate of these filters.The simulation results show that Gaussian filtering needs less resource occupancy but has poorer BER performance compared to raised cosine filtering,and the equi-ripple Nyquist filtering has a transmission performance close to raised cosine filtering with less resource occupancy.As a result,appropriate filtering operation should be carried out by tradeoff between filtering performance and implement cost in application.

Key wordsMSK spectrum-spread modulation;band-limiting filtering;equi-ripple Nyquist filter;Gaussian filter

作者简介

基金项目：中国电子科技集团公司技术创新基金(MX141060003)。

收稿日期：2015-10-08

中图分类号TN911

文献标识码A

文章编号1003-3106(2016)01-0065-04

doi:10.3969/j.issn.1003-3106.2016.01.16