水电机组轴心轨迹HU氏不变矩与仿射不变矩特征量对比

刘海艳，郑慧娟，刘 果

（国网电力科学研究院/南京南瑞集团公司，江苏省南京市 210003）

0 引言

发电机转子轴心轨迹是指主轴轴心上的一点相对于轴承座运动而形成的轨迹。轴心轨迹形状自动识别对于机组故障诊断自动化具有重要意义。特征不变量的提取则是轴心轨迹形状自动识别研究中的重点。1962年，M.K.Hu提出了具有平移、旋转、比例缩放不变性的7个不变矩函数[1]。1993年，Jan Flusser与Tomas Suk提出了仿射不变矩[2]。这两种算法因算法简单、计算量小、识别精度高等优点被广泛应用在图像识别领域。

本文将通过仿真计算对HU氏不变矩与仿射不变矩进行比较，验证仿射不变矩作为轴心轨迹特征不变量，相对于HU氏不变矩来说，在轴心轨迹形状自动识别中的识别效果更好。轴心轨迹曲线是二维曲线，基于轴心轨迹这一特点，本文所有的计算均用线积分代替面积分，即线矩代替传统面矩。

1 相似变换与仿射变换

1.1 轴心轨迹的获取

在机组故障诊断系统中，一般会在导轴承截面安装两个相隔90°、彼此不接触的位置传感器。将传感器的输入信号作为平面X-Y坐标系上的（x，y）坐标画点。机组运行时，随着转子的转动，该点所成的轨迹即为转子轴心轨迹。轴心轨迹测量过程如图1所示。

图1 轴心轨迹的获取

根据公式（1）[3]，通过改变幅值、相位参数便可得到常见故障对应的图形、如椭圆形、香蕉形、内“8”字形、外“8”字形、花瓣形等。

1.2 轴心轨迹图形的相似变换

平移、旋转、比例伸缩这一类不改变原图形形状的变换叫做相似变换。轴心轨迹图形可通过线性公式（2）作相似变换。

式中，x、y和x′、y′分别为变换前后横纵向坐标；ρ为尺度比例因子；θ为旋转角度；Dx、Dy分别为x、y向的平移量[4]。

1.3 轴心轨迹图形的仿射变换[5]

不对称比例伸缩、斜切等叫做仿射变换。仿射变换可用公式（3）表示：

上式中的仿射变换可以分解为以下6个变换：

2 改进不变线矩与仿射不变线矩算法介绍

2.1 改进不变线矩[6]

轴心轨迹c=c[x(t),y(t)]的（p+q）阶矩和中心矩定义为：

对中心矩归一化处理后得到：

HU氏不变矩将归一化的中心矩线性组合，得到以下7个矩函数：

实际中得到的轴心轨迹是由N个离散点组成的，离散状态下的矩可以表示为：

然而，在离散状态下，公式（13）并不满足比例伸缩不变性（篇幅有限，本文不再详述证明过程），比例伸缩ρ倍后的不变线矩值与原图形的不变线矩值之间有如下关系：

若要消除比例因子ρ的影响，选取φ’2为基准，构造了出如下所示的新的不变矩函数：

mi的变换范围很大，可通过取对数达到数据压缩的目的：

2.2 仿射不变线矩[5]

则几何矩和中心矩也被重新定义：

微分项可用公式（23）代替：

仿射不变矩可以通过Apolar等方法构造。考虑到计算难度，一般仅选用前三阶矩组成的如下矩函数作为特征不变量：

同样地，取对数进行数据压缩：

3 仿真实例计算

3.1 仿真轴心轨迹图

以转子不对中故障对应的外“8”字形为例，根据公式（1），参照表1参数仿真出轴心轨迹外“8”字形。

表1 仿真参数表

所得图形如下：

图2 x向、y向信号

图3 外“8”字形轴心轨迹

参照公式（2）、公式（3）对图2所示的轴心轨迹作下列变换。

（1）放大5倍。

得：

图4 放大5倍后的外“8”字形

（2）旋转135°。

得：

图5 旋转135°后的外“8”字形

（3）作如下仿射变换。

得：

图6 仿射变换后的外“8”字形

3.2 图形在相似变换与仿射变换下的改进不变线矩计算

根据式（10）～式（19）计算出3.1节中的原始图形、放大5倍后的图形、旋转135°后的图形以及仿射变换后图形的改进不变线矩特征值，结果如表2所示。

表2 图形变换前后的改进不变线矩值

3.3 图形在相似变换与仿射变换下的仿射不变线矩计算

根据式（14）～式（15）、式（20）～式（25）计算出3.1节中的原始图形、放大5倍后的图形、旋转135°后的图形以及仿射变换后图形的仿射不变线矩特征值，计算结果如表3所示。

表3 图形变换前后的仿射不变线矩值

4 结束语

从表2和表3可以看出，HU氏不变矩并不满足仿射不变性，在图形发生仿射变换时，其改进不变线矩特征向量与原始图形的改进不变线矩特征向量差别很大。仿射不变矩在图形发生相似变换和仿射变换下的都保持不变。

实际测量得到的轴心轨迹千变万化，存在因视角不同引起的非相似变换。在轴心轨迹测量过程中，若两个传感器偏离了一个平面，则传感器获得的波形数据就存在斜变换，为了识别这些图形，需要选取图形在仿射变换下的不变特征量才能保证准确识别。由此可以看出，仿射不变线矩相对于HU氏不变线矩来说，在轴心轨迹自动识别研究中具有更强的识别能力。

[1] Hu M K. Visual pattern recognition by moment invariant.IEEE Trans on IT，1962，8（2）: 179-187.

[2] J Flusser，T Suk，Pattern Recognition by Affine Moment invariants[J]. Pattern Recognition. Vol. 26（1）: 167-174.

[3] 刘刚，李明，乔宝明，等. 故障转子系统轴心轨迹的自动识别研究[J]. 中国测试，2014，40（01）: 110-113.

[4] 丁明跃，常金玲，彭家雄. 不变矩算法研究[J]. 数据采集与处理，1992，7（1）：1-9.

[5] 付波，周建中，彭兵，等. 基于仿射不变矩的轴心轨迹自动识别方法[J]. 华中科技大学学报（自然科学版），2007，35（03）:119-122.

[6] 万书亭，吴炳胜. 基于改进型不变线矩特征的机组轴心轨迹形状自动识别[J]. 热能动力工程，2008，23（02）:144-147.