《两个变量的线性相关》教学设计

张朗明

摘 要：《两个变量的线性相关》是高中新教材人教A版必修3第二章2。3节的内容，本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测.同时为以后更好地研究选修2-3第三章3。1节《回归分析的基本思想及其初步应用》奠定基础。

关键词：线性相关；散点图；最小二乘法；回归分析

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）01-101-03

一、教学内容

（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

二、教学目标

（1）通过实例和类比的方法来认识现实生活中变量间存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。

（2）了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程，利用图形计算器求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解。

（3）通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。

（4）通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性，合作交流激发学生的学习兴趣。

三、教学过程

导入新课：在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。” 我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？

这种说法有没有根据呢？

好 中 差

你的数学成绩

你的物理成绩

请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）：

设计意图：学生通过填表和讨论，体会到不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。为很好地说明上述问题，引导学生学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关。

[问题1]下列两个变量之间具有怎样的关系？

①正方形的边长与面积之间的关系

②水稻产量与施肥量之间的关系

③人的身高与年龄之间的关系

④降雪量与交通事故的发生率之间的关系

设计意图：让学生体会变量之间的两类关系：函数关系和相关关系，进一步明确相关关系的概念，即“自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系”。并为后面用学生较为熟悉的函数关系来处理相对陌生的相关关系进行铺垫。

师生活动：学生思考，然后讨论交流，教师及时评价。

[问题2]在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：

（1）对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性。观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？

（2）为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象。其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数。以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？

（3）观察人的年龄的与人体脂肪含量散点图的大致趋势，有什么样的特点？阅读课本

P85-86，这种相关关系我们称为什么？还有没有其他的相关关系？它又有怎样的特点？

设计意图：这个问题分解成三个小问题进行。问题（1）通过研究“人体脂肪含量和年龄关系”的样本数据，让学生明确两个变量具有相关关系，但这种关系的关联强度还不得而知；问题（2）可让学生通过作图得出散点图，得到散点图的概念，并让学生观察散点图来初步体会变量间相关关系的强弱程度；问题（3）让学生进一步研究散点图中两个变量的图形变化趋势，引出正相关和负相关的概念。学生通过阅读教材、分析概念，还能培养自学能力和数学阅读能力。

[问题3]甲同学判断某人年龄在65岁时体内脂肪含量百分比可能为34，乙同学判断可能为25，而丙同学则判断可能为37，你对甲、乙、丙三个同学的判断有什么看法？

设计意图：该问题具有探究性、启发性和开放性。鼓励学生大胆表达自己的看法。通过设计该问题，引导学生自己发现问题，注意到散点图中点的分布具有一定规律，体会观测点与回归直线的关系；进而引起学生的对本节课内容的兴趣。

[问题4] 反思[问题3]，你还可以提出哪些问题吗？小组讨论，看哪个小组提出的问题多。进一步提问：再看看散点图中点的分布有什么规律吗？ 设计意图：通过小组讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛，达到学生自己提出问题并自己想办法解决的效果，培养学生的学生创新思维和问题意识。

[问题5] 如果用一次函数来近似地表示人体脂肪含量和年龄关系，你会选择一个怎样的一次函数？

设计意图：让学生运用图形计算器画出这条直线，并得到这个一次函数的表达式，然后通过观察图像引出线性相关关系、回归直线和回归方程的概念。

[问题6] 那么，我们该怎样来求出这个回归方程？请同学们展开讨论，能得出哪些具体的方案？

设计意图：引出下面求回归方程的方法，体会如何选取恰当的计算方法建立回归方程的过程。

[问题7] 怎样用数学的方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”？设计意图：学生探索得出回归直线的系数公式和最小二乘法的定义，强调最小二乘法的思想在统计学中具有非常重要的地位。

[问题8] 从图象和回归方程可知：人的脂肪含量与人的年龄是正相关关系，那么人的年龄多大程度上决定人体的脂肪含量？设计意图：让学生学习用相关系数来衡量两个变量之间的线性关系的强弱，会用两个变量相关系数计算公式进行计算。

进一步总结：我们利用回归直线对年龄与脂肪的关系做了上述分析，这种分析方法叫做线性回归分析。利用这种分析方法可以对生活中的很多问题进行分析与预测。通过回顾和梳理，得出求回归直线方程的步骤

[问题9] 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：

（1）画出散点图；

（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；

（3）求回归方程；

（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数。

设计意图：进一步熟悉回归分析的过程，深化对回归分析思想的理解和观测数据与回归直线关系的理解。发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以具体问题为载体，加深学生对回归方程的理解，体验数学在实际生活中的应用。

四、目标检测设计

1、完成教材P94 第2题。设计意图：让学生进一步体会线性回归思想在实际中的应用，引导学生关注社会、关注生活。

2、实习作业：收集本班男生的身高和体重的数据，并利用统计知识对收集到的数据进行分析与预测。设计意图：作业是学生学习信息反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足。作业设计不仅注重对教材重点知识的复习，也应对一些学有余力的同学提出一些深入学习的建议和途径，关注学生个体差异。