考虑作动器输出约束的圆柱壳基础主被动联合隔振系统

第一作者杨明月女，硕士生，1989年4月生

通信作者孙玲玲女，博士，教授，1967年12月生

考虑作动器输出约束的圆柱壳基础主被动联合隔振系统

杨明月，孙玲玲，王晓乐

(山东大学高效洁净机械制造教育部重点实验室，济南250061)

摘要：针对圆柱壳内动力装置的减振降噪问题，建立由动力装置振源、隔振支承及圆柱壳基础组成的自适应前馈控制主被动混合隔振系统模型。在频域分析中引入剪断算法及泄漏算法以计及作动器的输出约束。考虑被动弹性支承的分布参数特性，以输入到圆柱壳基础的总功率最小、径向力最小及径向速度最小为控制策略，运用子结构导纳法推导总体系统的动态特性传递矩阵方程。研究表明：两种算法均能收到良好的主动控制力约束效果，并可有效抑制最小化径向力及最小化径向速度策略下的“功率循环”现象发生。采用径向速度最小化策略会改变壳体基础的边界条件配置，使得功率流谱中基础模态峰值右移。外扰引起的被动隔振器纵向及弯曲谐振使得高频域系统功率流谱中个别峰值峭立突出，成为诱发高频声辐射的关键模态，应严格限制。旨在为下一步的试验工作及实际应用提供理论指导。

关键词：作动器约束；自适应前馈控制；主动隔振；圆柱壳体

基金项目：国家自然科学基金(51174126)

收稿日期：2014-01-27修改稿收到日期：2014-04-21

中图分类号:TB53文献标志码：A

Passive-active vibration isolation system mounted in a circular cylindrical shell with actuator output constraints

YANGMing-yueSUNLing-lingWANGXiao-le(MOE Key Laboratory of High-efficiency and Clean Mechanical Manufacture, Shandong University, Jinan 250061, China)

Abstract:To deal with the vibra-acoustic problem about a power machinery mounted in a cylinder shell, an adaptive feed forward passive-active vibration isolation model consisting of complex excitations, isolators, and a circular cylindrical shell foundation was established. In frequency domain analysis, the output clipping algorithm and leaky algorithm were introduced to consider the output constraint of actuators. Considering distributed parametric features of passive-elastic supports, using the control strategies of minimizing the total power input into the shell foundation, the radial forces and the radial velcities, the coupled vibration transfer matrix equation of the overall system was derived with the substructure mobility approach. Numerical simulations showed that the two algorithms can both receive good active control constraint effects, and can both effectively restrain the phenomenon of power circulation; using the radial velocities minimization strategy can change the boundary condition of the shell foundation and lead to shell modal peaks moving to higher frequencies; considering the distributed parametric characteristic of passive isolators, the system power spectrum has some prominent peaks which are the principal modes to induce acoustic radiation at high frequencies. The study results provided a theoretical guidance for further tests and practical applications.

Key words:actuator output constraints; adaptive feed forward control; active vibration isolation; cylindrical shell

圆柱壳体类结构在潜艇、舰船、飞行器中应用广泛，其内部动力装置的低频振动线谱因能量较大，传播距离远，成为影响自身声隐性能及驾乘舒适度的主要因素[1]。被动隔振措施若要达到满意的低频隔振效果，其支承刚度需足够低，却难以保证整体系统的稳定性。对于旋转动力装置，因扰动参考信号易于提取，前馈控制以其固有的稳定性特点，成为首选的主动隔振方法。作为对被动隔振技术在低频域控制效果的有效补充，前馈控制及其自适应滤波算法一直是有源声振控制领域的研究热点。

目前对于圆柱壳内安装动力装置后声振特性的研究主要是建立主被动一体的混合隔振系统，以期在宽频带内消减振动与声辐射。Howard[2]以传递到圆柱壳基础上的总功率最小为控制策略，研究了振动刚体通过一组主被动隔振器后的能量消减效果。以此为基础，Liu等[3-4]将控制策略拓展到总动能最小、均方加速度最小及辐射声功率最小，分别对圆柱壳基础单层和双层耦合系统的振动能量传递和声辐射特性进行了理论探讨。以上研究均局限于理想控制情况下，在工程实际执行时，控制过程会遇到各种约束，一种典型的约束就是作动器输出饱和，无法提供所需的控制力量级，导致隔振效果受到影响。因此在控制系统设计阶段便亟须考虑作动器的输出约束，以期更为准确合理地预估系统控制效果。然而，带有输出约束的滤波算法虽已广泛应用于有源声控制领域[5-7]，却鲜见于主动隔振领域[8-10]。Beijers 等[11-12]以恒值约束矩阵的形式将主动控制力平方项加入标准Hermitian二次型目标函数，重写后的目标函数形式简单，求解方便，却较难满足频域中滤波器权系数更新的要求，且对单个作动器输出具有约束的情况均未有过探究，因而对具体实现缺乏有效指导。

本文将有源声控制领域中广泛采用的两种计及作动器输出约束的算法，即：剪断算法、泄漏算法引入到主动隔振领域，针对由多向复合扰动振源(包含力、力矩激励)、主被动隔振支承及圆柱壳基础结构组成的混合隔振系统，建立其自适应前馈控制耦合振动传递模型；考虑被动弹性支承的分布参数特性，运用子结构导纳法推导总体系统的动态特性传递矩阵方程。结合算例，以输入圆柱壳基础的总功率流为评价指标，以传递到圆柱壳基础的总功率最小、径向力最小及径向速度响应最小为控制策略，对比分析两种算法分别在作动器总体输出约束及单个作动器输出约束情况下对系统隔振效果的影响。

1主被动联合控制隔振系统建模

图1、2所示为动力装置振源，隔振支承及圆柱壳基础组成的主被动联合控制隔振系统模型，为便于分析，略去安装基座等结构，假定隔振支承下端直接安装于圆柱壳内表面。采用自适应前馈控制手段，以转速计提取振源扰动信息，以附于壳体支承接点附近的力/加速度传感器提取控制后误差信息。根据动态子结构理论，将整体系统沿耦合界面分成动力装置振源A、隔振支承B(作动器内置在被动弹性隔振器中，共四组)、接受基础壳体C三个子系统。各子系统采用局部坐标系：振源子系统和隔振支承子系统采用笛卡儿正交坐标系，圆柱壳基础子系统采用柱坐标系，详见图1。

图1　主被动混合隔振系统示意图 Fig.1 Scheme of a complete passive-active isolation system

图2　隔振系统耦合振动传递模型 Fig.2 Coupled vibration transfer model of isolation system

不失一般性，取动力装置振源y′O′z′面内横向-横摇二联耦合振动及独立的垂向振动，建立总体系统的动态特性传递模型，见图2。按照能流方向定义各子系统输入输出端及其广义扰动力和速度矢量。图中下标含义为：s、m、r分别表示振源、隔振支承及壳体基础子系统；a表示作动器；t、b分别表示输入、输出端；1、2分别表示左、右隔振器。因圆柱壳具有一定周向曲度，隔振器输出端与壳体径向成β夹角。

由于动力装置自身的固有频率通常远大于扰动频率，因而将其视为简单刚性结构。以qp=[Fy′p,Fz′p,Mx′p]T表示作用于动力装置各惯性主轴上的广义扰动力矢量。机脚输出端通过两个耦合接点向隔振支承子系统输出的广义力与速度矢量分别为：

fsb=[Fy′sb1,Fz′sb1,Mx′sb1,Fy′sb2,Fz′sb2,Mx′sb2]T

隔振元件产生的力包括被动隔振器的弹性变形力分量和作动器产生的主动控制力分量，被动隔振器输入、输出端的广义力与速度响应矢量分别为：

fm=[Fy″mt1,Fz″mt1,Mx″mt1,Fy″mt2,Fz″mt2,Mx″mt2,

Fy″mb1,Fz″mb1,Mx″mb1,Fy″mb2,Fz″mb2,Mx″mb2]T

作动器输出的主动控制力矢量为：qa=[Fz″a1,Fz″a2]T

隔振器输出端接点传递到圆柱壳体的力与速度矢量为：

fr=[Fθr1,Fzr1,Mxr1,Fθr2,Fzr2,Mxr2]T

为简化叙述，文中提到的力、力矩皆指简谐力、简谐力矩。

2子系统动态特性分析与综合

由导纳/阻抗理论，动力装置振源A、隔振支承B、接受基础C三个子系统的动态特性可以表述为：

vsb=Ms1fsb+Ms2qp

(1)

fm=Zm1vm+Zm2qa

(2)

vr=Mrfr

(3)

式(2)中，Zm1和Zm2分别为被动隔振元件及作动器主动控制力的阻抗矩阵，因阻抗矩阵在维度扩展与缩聚过程中会代入附加约束，且不易于试验测量，这里用导纳矩阵进行转换。

式中，O3×3为3×3维零矩阵。M11、M12、M21和M22为两端同时受力与力矩激励自由梁的导纳函数矩阵，具体表达式详见文献[13]。有转换关系式：

另外，

式(3)中，Mr为6×6维两端剪力薄膜支撑圆柱壳体接受基础的导纳矩阵，可基于Goldenveizer-Novozhilov薄壳理论，通过模态叠加法求得其中各元素。具体推导过程及表达式详见文献[14]。

根据各子系统连接点处力与速度的连续性条件：

fm=-Tfsr，vm=Tvsr

(4)

式中，

综合上述各子系统动态特性传递方程式(1)、(2)、(3), 可确定总体系统耦合界面状态矢量：

(5)

式中，O，I分别表示零矩阵和单位矩阵，其下标数字代表各自维数。qa=[0,0]T时退化为被动控制情况。

3输出约束算法及主动控制策略

3.1　不考虑输出约束

在自适应前馈控制系统中，控制器使测量的误差信号最小化，有价值函数[8]：

J=eHe

(6)

式中，e为r个误差传感器提供的r×1维误差信号矢量。上标H表示相应项的共轭转置。

在频域分析中，误差信号矢量可表述为：

e=Pd+Gu

(7)

式中，d为外扰输入矢量，u为控制器输出的t×1维控制矢量，P、G分别为被动和主动控制通道的传递函数矩阵，可由式(5)确定。控制系统框图见图3。

将式(7)代入式(6)中，可得：

J=uH(GHG)u+uHGHPd+dHPH(Gu+Pd)

(8)

通常，r≥t，式(8)中GHG为正定矩阵，故J有唯一的全局最小值，将J对u求导，得价值函数梯度：

(9)

式(9)可作为自适应LMS算法或其衍生算法的最优控制矢量uopt搜寻方向，其迭代递归式为：

u(k+1)=u(k)+σ(-)

(10)

式中，σ为收敛系数。为提高收敛速度，可用牛顿迭代法代替式(10)的最速下降迭代法，即：

u(k+1)=u(k)-σ(2)-1

(11)

图3　自适应前馈控制系统框图 Fig.3 Block diagram of the adaptive feedforward control system

3.2　输出剪断算法考虑约束

引入输出剪断算法考虑实际作动器的输出上限。当限制所有作动器的总输出能力(如外源功率预额或电压阈值上限约束)时，其算法思想[6]为：

u(k+1)=u(k)-σ(2)-1

(12)

D=u(k+1)Hu(k+1)

(13)

ifD>Wmax, u(k+1)=u(k+1)(Wmax/D)1/2(14)

式中，Wmax为所有作动器总输出上限。

当限制单个作动器的输出能力(如放大器或作动器负载阈值上限约束)时，其算法思想为：

u(k+1)=u(k)-σ(2)-1

(15)

(16)

ifDi>Amax,ui(k+1)=ui(k+1)(Amax/Di)1/2(17)

式中，Amax为单个作动器输出上限。

3.3　输出泄漏算法考虑约束

据文献[5]，当限制所有作动器的总输出能力时，建立如下修正价值函数：

Jc=eHe+τ(uHu-Wmax)

(18)

式中，τ为Lagrange乘子标量。式(18)将约束最优化问题转化成类无约束最优化问题。显然，当τ恒零时，式(18)退化为无约束情况，若还有uHoptuopt≤Wmax，则此时的最优控制矢量已然满足约束条件。同处理式(6)相似，将式(7)代入式(18)中，得：

Jc=uH(GHG+τIt×t)u+

uHGHPd+dHPH(Pd+Gu)-τWmax

(19)

因式(19)中GHG+τIt×t亦为正定矩阵，故Jc有唯一的全局最小值，将Jc对u求导，得价值函数梯度：

(20)

以牛顿迭代法搜寻最优控制矢量uopt，即：

u(k+1)=u(k)-σ(2c)-1c=

u(k)-(GHG+τIt×t)-1[σGHe(k)+

στ(k)It×tu(k)]

(21)

需指出的是，τ(k)并非定值，而是依赖于u(k)H·u(k)，在自适应过程中不断修正，由下列关系确定其取值：

τ(k)=

(22)

式中，ξ为比例系数，σξ合称为泄漏系数；

同理，当限制单个作动器的输出能力时，建立如下修正价值函数：

(23)

将Jic对u(ui组成的复矢量)求导，得价值函数梯度：

(24)

式中，Λt×t=diag(τ1,τ2,…,τt)。

以式(24)为自适应算法中最优控制矢量uopt搜寻方向，其牛顿迭代递归式为：

u(k+1)=u(k)-σ(ic2)-1ic=u(k)-

(GHG+Λt×t)-1[σGHe(k)+σΛt×tu(k)]

(25)

τi(k)=

(26)

比例系数ξ可通过选配法获取。取值过小很可能使得约束无效而导致输出过载；取值过大则会迫使收敛到达最优值前停止，收不到理想的控制效果。

3.4　主动控制策略

由误差信号矢量e的选取不同，可划为不同的主动控制策略。输入到壳体基础的总功率作为对振动能量传输的总体把握，是一种最全面理想的目标信号，但在实际操作中因需同时布置力和加速度传感器，并且存在力与速度相位匹配偏差的影响[15]，要求较高。实际操作时，可选取易于实现的传递到壳体基础的径向力、壳体基础的径向速度响应作为误差信号。

振源复合扰动下通过隔振支承输入到圆柱壳体基础的总功率为：

Pr=J(1)=eH(1)e(1)=0.5Re{fHrvr}=

0.25{fHrvr+vHrfr}

(27)

当不考虑作动器的输出约束时，结合式(5)、(6)、 (11) 得：

(GHfrGvr+GHvrGfr)qa]

(28)

2(1)=0.5(GHfrGvr+GHvrGfr)

(29)

当限制所有作动器的总输出能力时，结合式(5)、 (18)、(21)得：

(GHfrGvr+GHvrGfr)qa]+2τqa

(30)

2c(1)=0.5(GHfrGvr+GHvrGfr)+2τI2×2

(31)

式中，Pfr=RrHpf，Gfr=RrHsf，Pvr=RrHpv，Gvr=RrHsv。

当限制单个作动器的输出能力时，结合式(5)、(18)、(25)得：

(GHfrGvr+GHvrGfr)qa]+2Λ2×2qa

(32)

2ic(1)=0.5(GHfrGvr+GHvrGfr)+2Λ2×2

(33)

若以传递到壳体基础的径向力作为误差信号，即：

e(2)=frz=Rffsr

(34)

式中，

当不考虑作动器的输出约束时，结合式(5)、(6)、 (11) 得：

(35)

2(2)=2(GHfGf)

(36)

当限制所有作动器的总输出能力时，结合式(5)、 (18)、(21)得：

(37)

2c(2)=2(GHfGf+τI2×2)

(38)

式中，Pf=RfHpf，Gf=RfHsf。

当限制单个作动器的输出能力时，结合式(5)、(18)、(25)得：

(39)

2ic(2)=2(GHfGf+Λ2×2)

(40)

若以壳体基础的径向速度作为误差信号，即：

e(3)=vrz=Rvvsr

(41)

式中，Rv=Rf。

当不考虑作动器的输出约束时，结合式(5)、(6)、 (11) 得：

(42)

2(3)=2(GHvGv)

(43)

当限制所有作动器的总输出能力时，结合式(5)、 (18)、(21)得：

(44)

2c(3)=2(GHvGv+τI2×2)

(45)

式中，Pv=RvHpv，Gv=RvHsv。

当限制单个作动器的输出能力时，结合式(5)、(18)、(25)得：

(46)

2ic(3)=2(GHvGv+Λ2×2)

(47)

4计算实例及结果分析

根据上述主被动联合隔振系统动态特性传递方程的理论推导，以复合扰动下通过隔振支承输入到圆柱壳基础的总功率为评价指标，对多种输出约束算法及主动控制策略的效果进行算例分析与比较。系统主要特征参数见表1。

表1　隔振系统主要特征参数

*β=arcsin[b/(R-h/2)]

理论计算确定无耦合振动系统刚体横向、垂向及横摇模态固有频率分别为3.43 Hz、5.91 Hz、10.06 Hz。分布参数被动隔振器前两阶纵向振动固有频率为403.11 Hz、806.23 Hz，第一阶弯曲振动固有频率为481.28 Hz。圆柱壳基础前十二阶弯曲振动固有频率fm,n分别为：f1,2=187.49 Hz,f1,3=259.24 Hz,f2,3=401.18 Hz,f1,1=402.11 Hz,f1,4=466.15 Hz,f2,4=527.91Hz,f2,2=531.64 Hz,f3,3=644.73 Hz,f3,4=661.50Hz,f1,5=744.41 Hz,f2,5=786.98 Hz,f1,0=802.25Hz；第一阶面内振动固有频率为1 259.55 Hz。壳体基础导纳的模态截断为m×n=8×15，其中m、n分别为壳体轴向、周向节线参数。

图4(a)~(c)绘制了三种控制策略下，考虑两个作动器总输出约束与否时，振源扰动经过主被动支承传递到壳体的总功率流谱。相应地，图4(d)~(f)绘制了各自所需主动控制力矢量的内积频谱。各图中，收敛系数均取σ=0.01；比例系数分别取为：ξa,d=5×10-09，ξb,e=5及ξc,f=5×10-12。其中，下标字母对应子图号。

由图4(a)~(c)可知，在主动控制频段(1~100 Hz) ，两种考虑作动器输出约束的算法均可使输入到壳体基础的能量减少，两者对应的功率流谱明显低于被动控制隔振情况，特别是动力装置横摇振动波峰得以显著衰减，但功率流谱仍高于无约束谱线，远达不到理想情况的主动控制能量消减效果。

图4　输入壳体基础的总功率流(10log 10(0.5Re{f H rv r})，P ref=1 Watt)及所需主动控制力矢量内积(10log 10(q H aq a)， W ref=1 N 2)频谱。 (a)、(d)为最小化总功率流策略；(b)、(e)为最小化径向力策略；(c)、(f)为最小化径向速度策略 Fig.4 The total power transmitted to the shell (10log 10(0.5Re{f H rv r}), P ref=1 Watt) and the inner product of required active control force vector(10log 10(q H aq a),W ref=1 N 2). (a)、(d) total power minimization，(b)、(e) force cancellation，(c)、(f) velocity cancellation

两种约束算法执行后的隔振效果不同，原因在于：当作动器输出的主动控制力矢量内积超过Wmax时，剪断算法强制剪断超出部分，作动器以最大能力输出，对于未超出部分不做任何处理，从图4(d)~(f)中可清楚看出，10Hz以下频段内，剪断算法对应的主动控制力内积频谱近乎于平台，而在10Hz以上频段内，其频谱与无约束情况完全重合；以泄漏系数限制作动器输出能力的算法，其对应的主动控制力内积频谱直至横摇模态呈递增状，且在系统的刚体横向模态(3.43Hz)、垂向模态(5.91Hz)及横摇模态(10.06Hz)附近出现尖峰，意味着这里需要更大的主动控制力以削弱共振峰处的能量注入。此后呈下降趋势，并在部分频段略低于剪断算法情况。这些不同反映在图4(a)~(c)的功率流谱中便产生了相应差异。值得注意的是，尽管输出剪断算法易于实现，控制效果亦优于泄漏算法，但因其未涉及最优控制，存在剪断输出后，滤波器权系数仍然持续更新而引起的潜在稳定性问题。

在基础模态频段(100Hz~1000Hz)内，三种误差信号控制策略下的约束算法对应谱线均同理想无约束情况重合。值得指出的是，实际作动器的上限频率通常低于100Hz，成为制约主动控制隔振在高频应用的主要因素。该频段内的被动隔振效果已经较为理想，此时可采用开关控制策略，当外扰频率超过作动器上限频率时，即关闭主动控制通道，仅采取被动隔振措施。

另外，有三点需补充说明：其一，在图4(b)及(c)所示谱线4Hz附近，未考虑作动器输出约束时的主动控制效果反而不及仅采取被动隔振措施情况，这是由于在最小化径向力输入或者最小化径向速度响应策略下，过大的主动控制力输出所引起的整体系统“功率循环”现象所致[15]。这一点可从图4(e)及(f)中所需主动控制力矢量内积频谱位于4Hz处的突出尖峰得到印证。而一旦考虑作动器的输出约束时，两种控制算法均可有效抑制“功率循环”现象的发生。图4(a)以输入到壳体基础的总功率流最小化为控制策略，因其是对振动能量传输的总体把握，不会发生因仅顾及单一方向(此处为径向)能量传输而引起的“功率循环”现象。其二，4(c)所示的径向速度响应控制策略因限制了两组隔振支承下端接点处的面外速度，相当于对基础壳除两端剪力薄膜支撑外，又附加上两点钉撑，这种新的边界条件配置，增加了壳体刚度，导致系统功率流谱中的基础模态共振峰右移，而其他两种控制策略均不会对壳体基础边界条件产生任何影响，其基础模态各阶共振峰同单独采用被动隔振措施时一致。

其三，据图4(a)~(c)可知，功率流谱中位于400Hz、480Hz及800Hz处的共振峰值峭立突出。相应地，从图4(d)~(f)中发现此三个频率处所需的控制力矢量内积明显增大。这是由于考虑了被动隔振器的分布质量特性，当其维度等于其内弹性波半波长整数倍时，产生了明显的波动效应，一旦外扰频率接近隔振器的纵向与弯曲振动固有频率，便会诱发强烈的内共振，并且经由柔性壳体基础的耦合作用，使得传递到基础的功率流谱中与此频率相近的壳体第3、12阶弯曲模态对应峰值更加突出。由于辐射声场的分布与对应模态下壳体的振动响应分布情况类似，因此，这些振动模态便是主要的高频声辐射模态，为提高声隐性能，应严格限制其激发。可采取的措施有：局部结构加筋处理，结构振动主动控制以及双层隔振技术等。

图5　输入壳体基础的总功率流(10log 10(0.5Re{f H rv r})，P ref=1 Watt)及 所需主动控制力自身内积(10log 10(F z″a1 2)及10log 10(F z″a2 2)， A ref=1 N 2)频谱。 (a)、(d)为最小化总功率流策略；(b)、(e)为最小化径向力策略；(c)、(f)为最小化径向速度策略 Fig.5 The total power transmitted to the shell (10log 10(0.5Re{f H rv r}),P ref=1 Watt) and the inner product of required active control force (10log 10(F z″a1 2)&10log 10(F z″a2 2),A ref=1 N 2). (a)、(d) total power minimization，(b)、(e) force cancellation，(c)、(f) velocity cancellation

5结论

建立了由多向复合扰动振源、主被动隔振支承及圆柱壳基础组成的自适应前馈控制混合隔振系统模型。以传递到圆柱壳基础上的总功率最小、径向力最小及径向速度响应最小为控制策略，引入两种计及作动器输出约束的算法，即：剪断算法、泄漏算法，考虑被动弹性支承的分布参数特性，运用子结构导纳法推导出总体系统的动态特性传递矩阵方程。研究表明：

(1)不考虑作动器输出约束(包含总约束或单个约束)时，系统基础模态以下频段的能量消减能力被明显高估，且所需主动控制力甚巨。

(2)两种考虑作动器输出约束的算法均能收到良好的主动控制力约束效果，并可有效抑制最小化径向力输入及最小化径向速度响应策略下的“功率循环”现象发生。输出剪断算法控制效果优于泄漏算法，却存在滤波器权系数持续更新引起的潜在稳定性问题。

(3)采用径向速度响应控制策略会改变壳体基础的边界条件配置，使得功率流谱中基础模态峰值右移。

(4)外扰引起的被动隔振器纵向及弯曲谐振使得中高频域系统功率流谱个别峰值峭立突出，成为诱发辐射噪声的关键模态，应严格限制其激发。

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