难点攻略：函数与方程

函数与方程是数学中两个重要的概念，它们贯穿于整个高中教学之中. 对函数与方程的复习，除了研究函数的零点、方程的根之外，还需要注意函数与方程思想在其他知识中的应用. 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题. 方程思想，是指从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解. 此外，很多时候我们还需要实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.

重点难点

重点：理解函数零点的概念、零点存在性定理；掌握函数零点和方程的实根之间的关系；掌握函数零点（方程的根）个数以及零点（方程的根）所在区间的判断方法；了解用二分法求方程近似解的过程；能灵活运用函数与方程思想解决数学问题.

难点：零点存在性定理的理解及应用；函数零点、方程的根以及两函数图象的交点横坐标三者之间的转化；如何在不同的情境中构造函数或方程来解决数学综合问题.

方法突破

1. 由函数零点的概念可知，函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实根，也是其图象与x轴交点的横坐标，它是实数. 写一个函数的零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.

2. 在确定一个函数的零点所在区间时，通常利用零点存在性定理，将问题转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反. 在运用零点存在性定理时要注意以下几点：（1）函数的图象在某区间内是不是连续不断的一条曲线；（2）该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0；（3）若函数y=f（x）的图象在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，则“f（a）·f（b）<0”是“函数y=f（x）在闭区间[a，b]上有零点”的充分不必要条件；（4）若函数y=f（x）在[a，b]上单调，则f（a）·f（b）<0？圳函数y=f（x）在闭区间[a，b]上有唯一的零点.

3. 判断函数y=f（x）在某区间内的零点个数的方法主要有三种：（1）解方程f（x）=0，计算出方程实数根的个数（重根按1个计算）即为函数零点个数；（2）作出函数y=f（x）的图象，判断图象与x轴的交点个数即为函数零点个数；（3）转化为求两函数图象的交点个数问题，一般是将f（x）=0的若干项移到等式右边，构造两个基本初等函数，继而在同一直角坐标系内作出两函数图象，两函数图象的交点个数即为函数y=f（x）的零点个数.

4. 函数与方程式密切相关，函数问题可以转化为方程问题，方程问题也可以转化为函数问题. 如函数的零点问题就可以转化为方程的根来解决；求方程的根或根的近似值就是求函数的零点值或近似值.将方程根的问题转化为函数的零点问题，不仅直观展现了方程根的几何意义，重要的是可以简化运算程序，提高解决问题的效率.

5. 已知函数有零点（方程有实根）或已知函数的零点个数（方程的实根个数）求参数的取值范围是高考考查的热点和难点，其突破的方法主要有：（1）直接法，即直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；（2）分离参数法，即先将参数分离，转化为求函数值域或最值问题去解决；（4）数形结合法，即先对函数解析式变形，在同一直角坐标系中画出函数图象，然后通过数形结合求解.

6.函数与方程思想作为一种重要的基本数学思想，几乎渗透于高中数学的各大知识板块之中. 如函数与不等式之间的相互转化，不等式f（x）>0的解集等价于函数y=f（x）的位于x轴上方的图象所涉及的x的取值范围；证明不等式f（x）>0恒成立，可以转化为研究函数y=f（x）的最小值大于0等.

典例精讲

1. 判断函数零点所在的区间

例1 已知函数f（x）=-logx，在下列区间中，包含f（x）的零点的区间是（ ）

A. （0，1） B. （1，2）

C. （2，4） D. （4，+∞）

思索 欲判断函数零点所在的区间，可直接利用零点存在性定理去处理，也可转化为函数y=与y=logx的图象的交点问题去处理.

破解 方法一：对于函数f（x）=-logx，因为f（2）=2>0， f（4）=-0.5<0，根据零点存在性定理知函数y=f（x）的零点落在区间（2，4）内，故选C.

方法二：在同一直角坐标系中作出函数h（x）=与g（x）=logx的大致图象，可得函数f（x）的零点所在的区间为（2，4），故选C.

2. 判断函数零点个数

例2 函数f（x）=x2-2，x≤0，2x-6+lnx，x>0 的零点个数是________.

思索 分段函数的零点个数等于其在各段的零点之和，对于x≤0的情形可以直接解出零点个数；对于x>0的情形可结合函数的单调性和零点存在性定理共同做出判断.

破解 当x≤0时， f（x）=x2-2，令x2-2=0，得x=（舍）或x=-，即在区间（-∞，0）上，函数f（x）只有一个零点；当x>0时， f（1）=-4<0， f（3）=ln3>0，且f（x）=2x-6+lnx为单调递增函数，所以函数f（x）=2x-6+lnx（x>0）只有一个零点.综上可知，函数f（x）的零点的个数是2.

3.已知方程的实根个数求参数的取值范围

例3 设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log（x+2）=0（a>1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）

A. （1，2） B. （2，+∞）

C. （1，）\tD. （，2）

思索 用图象法求函数零点，不仅要通过图象进行直观估计，而且还要计算x0的邻近两点的两个函数值，通过比较其大小进行判断.

破解 令g（x）=log（x+2）. 因为当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，所以当x∈[0，2]时，-x∈[-2，0]，f（x）=f（-x）=-1=2x-1.

又由f（x-2）=f（x+2）可得f（x+4）=f（x+2+2）=f（x+2-2）=f（x），即f（x）的周期是4. 分别作出函数f（x），g（x）在（-2，6]上的大致图象（如图1），注意到两临界点（2，3），（6，3），将其代入并结合选择支得D正确.

4. 函数与方程的综合问题

例4 已知函数f（x）=ln（2ax+1）+-x2-2ax（a∈R）.

（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；

（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；

（3）若当a=-时，方程f（1-x）=+有实根，求实数b的最大值.

思索 本题考查运用导数的工具性研究函数的性质及方程的根. 第（1）问利用f ′（2）=0求值；第（2）问由f′（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，分类讨论求得a的取值范围；第（3）问先分离b=xlnx+x2-x3，再构造函数g（x）=xlnx+x2-x3，转化为求g（x）的值域.

破解 （1）f ′（x）=+x2-2x-2a=. 因为x=2为f（x）的极值点，所以f ′（2）=0. 即-2a=0，解得a=0. 又当a=0时，f′（x）=x（x-2），从而x=2为f（x）的极值点，成立.

（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，所以可得f ′（x）=≥0在区间[3，+∞）上恒成立.

①当a=0时， f ′（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意.

②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1>0对x≥3恒成立，故a>0，所以2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立.

令g（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），其对称轴为x=1-，因为a>0，所以1-<1，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可.

因为g（3）=-4a2+6a+1≥0，解得≤a≤.

又a>0，所以0

（3）若a=-时，则方程f（1-x）=+可化为lnx-（1-x）2+（1-x）=.

问题转化为b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2-x3的值域.

因为g（x）=x（lnx+x-x2），所以g′（x）=lnx+1+2x-3x2. 设p（x）=lnx+1+2x-3x2，则p′（x）=+2-6x=-.

当00，所以p（x）在0，上单调递增；

当x>时，p′（x）<0，所以p（x）在，+∞上单调递减.

因为p（1）=0，故必有p>0. 又p=-2+1+-<-<0，

所以必存在实数x0∈，使得g′（x0）=0，所以当0

当x00，所以g（x）在（x0，1）上单调递增；

当x>1时，g′（x）<0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减.

又g（x）=xlnx+x2-x3=x（lnx+x-x2）≤xlnx+，当x→0时，lnx+<0，则g（x）<0，又g（1）=0.

所以当x=1时，b取得最大值0.

误点警示 直接由f ′（x0）=0不能确定f（x）在x=x0处是否取得极值，还必须看f ′（x）在x=x0左、右的函数值的符号情况，因此本题第（1）问易忽略验证的过程.

变式练习

1. （2014年高考湖北卷文科，9）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时， f（x）=x2-3x，则函数g（x）=f（x）-x+3的零点的集合为（ ）

A. {1，3}

B. {-3，-1，1，3}

C. {2-，1，3}

D. {-2-，1，3}

2. （2014年高考浙江卷文科，7）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且0

A. c≤3 B. 3

C. 69

3. 函数f（x）=2x--a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（ ）

A. （1，3） B. （1，2）

C. （0，3） D. （0，2）

4. （2014年高考天津卷文科，14）已知函数f（x）=x2+5x+4，x≤0，2x-2，x>0，若函数y=f（x）-ax恰有4个零点，则实数a的取值范围为________.

5. 已知二次函数 f（x）=ax2+bx+c.

（1）若对任意x1，x2∈R，且x1

（2）若关于x的方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]在（x1，x2）上的根为m，且x1+x2=2m-1，设函数f（x）的图象的对称轴方程为x=x0，求证：x0

参考答案

1. D 2. C 3. C

4. 10，解得a=1，所以y=ax与y=f（x）的图象有四个交点时，1

5. （1）构造函数g（x）=f（x）-·[f（x1）+f（x2）]=ax2+bx+c-[（ax+bx1+c）+（ax+bx2+c）]=ax2+bx-（ax+ax+bx1+bx2），由于函数f（x）=ax2+bx+c为二次函数，所以a≠0，对于二次函数g（x）而言，Δ=b2+2a（ax+ax+bx1+bx2）=2a2x+2a2x+2abx1+2abx2+b2=2a2x+2abx1++2a2x+2abx2+=（2ax1+b）2+（2ax2+b）2≥0.

若Δ=0，则有2ax1+b=0且有2ax2+b=0，从而有x1=x2，这与x10，故方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不相等的实数根. 由于g（x1）=f（x1）-[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）-f（x2）]，g（x2）=f（x2）-[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）-f（x1）]，所以g（x1）·g（x2）=-[f（x1）-f（x2）]2<0. 由零点存在定理知，方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一个根属于（x1，x2）.

（2）由题意知f（m）=[f（x1）+f（x2）]，化简可得am2+bm=+，即有am2+bm=+，则有am2=-，-=m2-. 由于x10，故x0=-=m2-