攻克一类含参绝对值函数最值问题中分类讨论的难关
2015-12-29 00:00:00傅建红
数学教学通讯·初中版 2015年9期
函数最值问题历来是高考的热点问题，纵观近年来各地的高考、模考试题，笔者发现，形如“f（x）=g（x）+（kx+b）x-a（g（x）为不超过二次的整式函数，k，b不全为零）”的二次型含参绝对值函数的最值问题正悄然兴起. 由于这类函数带有绝对值，且有参数在内“搅局”，因此多数学生感到迷雾重重、头绪纷乱，不知该如何找到问题的突破口. 显然，分类讨论、作图观察是解决含参函数最值问题的有效途径，但对于这类函数而言，我们该如何理清函数作图的头绪、破解分类讨论的迷局？本文就此问题进行探究.
破解策略
我们知道，函数y=f（x）（x∈D）的最值只能在其极值点（该点附近两侧的单调性相反）或区间D的端点（当端点为闭时）处取得. 从函数图象上看，函数的最大（小）值是图象最高（低）点的纵坐标. 换言之，只要能作出函数在定义域内的图象，则其最值情况就将一目了然. 然而，函数作图的依据是什么呢？显然是要了解函数的极值点是否在其的定义域内. 笔者探究发现，判断极值点是否在定义域内，最简明的方法就是将极值点与区间端点进行排序（比较大小），一旦明确这种排序，就可作出大致图象（仅关注单调性）. 然而，对于本题中这类含参绝对值函数（其极值点可能与参数有关）而言，我们该如何将极值点与区间端点进行排序？这就需要进行分类讨论（分类讨论思想正是在这一背景下应运而生，它首先服务于排序，最终服务于作图）. 具体操作流程可按以下“路线图”进行：去除绝对值→求出极值点→确定讨论点→划分讨论段→排序极值点→作出定义图.
（1）去除绝对值——以x-a的零点a为界（称a为“界点”），将函数f（x）=g（x）+（kx+b）x-a写成分段函数：f（x）=h1（x），x≥a，h2（x），x （2）求出极值点——设二次函数h1（x），h2（x）的对称轴分别为x1，x2，则x1，x2显然可能是f（x）的极值点. 而由“连体函数”的图象特征知，“界点”a也有可能是极值点.因此，函数f（x）最多会有三个极值点（即x1，x2，a只是f（x）的可能极值点）. （3）确定讨论点——设函数f（x）的定义域D=[m，n]（m （4）划分讨论段——设方程x1=x2，x1=a，x2=a的根（讨论点）分别为a1，a2，a3（设a1≤a2≤a3），将其插入于参数a的允许范围（设a∈R）之内，即可获得参数a的不同分段区间：（-∞，a1]，（a1，a2]，（a2，a3]，（a3，+∞），它们即为参数a的分类讨论段. （5）排序极值点——通过对上述区间的分段讨论，即可对x1，x2，a的大小进行排序. 显然，不同讨论段内的排序也不同. （6）作出定义图——根据x1，x2，a的每一排序，在直角坐标系下依次作三条虚线：x=x1，x=x2，x=a，然后分别作函数y=h1（x）（x≥a），y=h2（x）（x 应用举例 例1 （2015年·广东卷（文）改编）设a为实数，函数f（x）=（x-a）2+x-a-a（a-1），x∈R，求f（x）的单调区间及最小值. 解 易知f（x）=x2-（2a-1）x，x≥a，x2-（2a+1）x+2a，x 例2 （2009年·江苏卷（理）改编）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）x-a，x∈R，求f（x）的最小值. 解 易知f（x）=3x2-2ax+a2，x≥a，x2+2ax-a2，x 点评 例1中，极值点的大小关系已定，故无需讨论（不存在讨论点）；而例2中，极值点的大小关系未定，故必须讨论（存在讨论点）. 另外，由于例1、例2中函数的定义域都为R，故作图后直接观察图象，即可获知最值. 例3 （2015年·浙江大联考8（理）改编）设a为实数，求函数f（x）=xx-a+2a-8在[4，+∞）上的最小值. 解 易知f（x）=x2-ax+2a-8，x≥a，-x2+ax+2a-8，x 综上， f（x）min=2a-8，a≥4，8-2a，a<4. 点评 与例1、例2不同的是，例3中函数的定义域不再是全体实数，此时作函数在定义域内的图象，可分两步进行：（1）先作出函数在全体实数上的图象（仅对极值点排序后作图）；（2）再截取图象在定义域内的“片段”（由于函数图象与定义域的位置是相对的，先给出定义域考虑图象，与先画图象考虑定义域，这两种方法在具体作图时都是可行的，但前者要平移图象，而后者仅需平移区间，所以相对而言后者更易）. 综上，本文通过分类讨论、作图观察的方法，详细阐述了函数f（x）=g（x）+（kx+b）x-a最值问题的解题思路和操作步骤（可为其他含参最值问题提供借鉴），理清了函数作图的头绪——排序极值点，破解了分类讨论的迷局——考虑如何排序极值点. 其思路是清晰明了的，其操作也是简单易行的.
