指数函数与对数函数

指数函数与对数函数是高中数学中最重要的两个基本初等函数，也是历年高考考查函数“两域三性”的重要载体.有关指数函数、对数函数的试题每年必考，大都以指、对数函数的性质和图象为依托，结合推理、运算来解决，往往与其他函数进行复合；另外底数多含参数，考查分类讨论思想.

重点难点

重点：指数函数与对数函数的定义、性质和图象. 主要体现在利用它们的定义、图象和性质研究简单复合函数的单调性、奇偶性等性质以及通过它们的图象变换作出其他函数的图象.

难点：指数函数、对数函数的性质的综合应用. 主要体现在利用指数函数、对数函数的性质解决相关函数的其他问题和解决以指数函数、对数函数为背景的代数推理题.

方法突破

1. 熟练掌握指数、对数运算法则和指数、对数函数的性质

（1）指数运算：①ar·as=a；②（ar）s=ars；③（ab）r=arbr（其中a>0，b>0，r，s∈Q）.

（2）对数恒等式：①a=N（a>0，且a≠1，N>0）；②logaab=b（a>0，且a≠1，b∈R）.

（3）对数运算法则（a>0，且a≠1，M>0，N>0）：①log（M·N）=logaM+logaN；②log=logaM-logaN；③logaMn=nlogaM.

（4）换底公式：logbN=（a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，N>0）.

推论：①logab·logba=1；②logab·logbc=logac；③logbn=logab；④logbn=logab.

（5）指数函数y=ax（a>0，且a≠1）的性质：

①当01时，y=ax在其定义域内是增函数；y=ax（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（0，1）.

②当00，则ax∈（0，1）；若x<0，则ax∈（1，+∞）；当a>1时，若x>0，则ax∈（1，+∞）；若x<0，则ax∈（0，1）.

（6）对数函数y=logax（a>0，且a≠1）的性质：

①定义域为（0，+∞），值域为R.

②恒过定点（1，0）.

③当a>1时，y=logax在（0，+∞）上为增函数；当0

④当a>1，x>1时，logax>0；当a>1，00；当01时，logax<0（同正异负）.

2. 比较大小

（1）分清是底数相同还是指数（真数）相同.

（2）利用指、对数函数的单调性或图象比较大小.

（3）当底数、指数（真数）均不相同时，可通过中间量过渡处理.

3. 单调性与值域

（1）研究指数、对数函数的值域、单调区间应该先求定义域，特别是与对数函数有关的问题，首先保证真数大于零.

（2）在研究以“ax”或“logax”为变元的函数值域问题时，可以将“ax” 或“logax”看做一个整体，采用“整体代换”的思想求解.

（3）在研究形如“y=af（x）”或“y=loga f（x）”的复合函数的单调性与值域问题时，先求内层函数“u=f（x）”的单调区间与值域，再求外层函数“y=au”或“y=logau”的单调性与值域，要特别注意定义域.

（4）注意底数a的取值范围和分类讨论.

4. 图象与方程

有关指、对数函数的图象问题或方程根的问题，往往利用图象解决. 作图时，指数函数与对数函数的图象上的一些关键点、线的位置要牢记在心.

典例精讲

例1 （1）已知a=5，b=5，c=，则（ ）

A. a>b>c B. b>a>c

C. a>c>b D. c>a>b

（2）已知b>0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（ ）

A. d=ac B. a=cd

C. c=ad D. d=a+c

思索 （1）比较三个式子的大小，通常先比较其中两个式子的大小，而且优先选择两个底数相同的式子，然后借用指数函数的单调性进行比较；接下来把这两个式子与第三个式子进行比较，直接比可能行不通，可借助中间量来搭桥，根据题目特征，选用中间量“1”，问题即可快速获解. （2）熟练掌握指数式与对数式的转化：ab=N（a>0，a≠1）？圳b=logaN，及对数的运算法则和换底公式：logab=.

破解 （1）因为c=5=5，log23.4>log>1>log43.6>0，且指数函数y=5x是R上的增函数，所以a>c>b，故应选C.

（2）由logb=a得b=5a，又lgb=c，则lg5a=c？圯alg5=c？圯lg5=，5d=10？圯d=log510=，所以d=，所以a=cd. 故选B.

例2 函数f（x）=log（x2-4）的单调递增区间是（ ）

A. （0，+∞）\tB. （-∞，0）

C. （2，+∞）\tD. （-∞，-2）

思索 求函数的单调区间首先要得到其定义域，单调区间是定义域的子区间，求复合函数的定义域要利用“同增异减”法则.

破解 函数f（x）=log（x2-4）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞），函数log（x2-4）由函数y=logt与t=x2-4复合而成，y=logt在（0，+∞）上单调递减，t=x2-4在（2，+∞）上单调递增，在（-∞，-2）上单调递减，所以f（x）=log（x2-4）在（-∞，-2）上单调递增.故选D.

例3 （1）已知a>0，b>0，且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）= -logbx的图象可能是（ ）

A B C D

（2）已知f（x）=ex-1，x≤0，f（x-1）+1，x>0，则方程f（x）-x=0在区间[0，5）上所有实根的和为（ ）

A. 15 B. 10 C. 6 D. 4

思索 熟练掌握指数、对数函数的图象形态，以及由它们的图象经过平移变换和对称变换后的图象. 注意函数的零点、方程的根及函数图象的交点之间的相互转化.

破解 （1）根据指数函数与对数函数对底数的要求，显然01时， f（x）与g（x）都是单调递增函数，只有答案B符合要求，故应选B.

（2）由f（x）=ex-1，x≤0，f（x-1）+1，x>0，

①当0

②当1

③当2

④当3

⑤当4

作出y=f（x）在[0，5）上的图象，在[0，5）上的图象与直线y=x切于点（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）. 故在[0，5）上的根之和为1+2+3+4=10，故选B.

例4 已知函数f（x）=x2+ex-（x<0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）

A. -∞，

B. （-∞，）

C. -，

D. -，

思索 利用对称性设出点的坐标，将a表示成x的函数，即可求出a的取值范围.

破解 设（x0，y0）（x0>0）与（-x0，y0）是g（x）=x2+ln（x+a）图象上与f（x）=x2+ex-（x<0）图象上关于y轴对称的两个点，则x+e-=x+ln（x0+a），即e-=ln（x0+a）（x0>0）. 画出函数y=ln（x+a）与y=e-=-的图象，即两图象的交点在y轴的右侧，当交于y轴时a=，所以a<，故选B.

变式练习

1. 若已知a=5，b=5，c=，则（ ）

A. a>b>c B. b>a>c

C. a>c>b D. c>a>b

2. 若已知a>0，b>0，且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）=-logbx的图象可能是（ ）

A B C D

3. 设函数f（x）=ex+x-2，g（x）=lnx+x2-3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（ ）

A. g（a）<0

B. f（b）<0

C. 0

D. f（b）

4. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（loga）+f（loga）≤2f（1），则a的取值范围是（ ）

A. [1，2] B. 0，

C. ，2 D. （0，2]

5. 若函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R）， f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））等于（ ）

A. -5 B. -1 C. 3 D. 4

6. （2014年高考上海卷理科）设常数a≥0，函数f（x）=.

（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f -1（x）；

（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由.

参考答案

1. C 因为c=5=5，log23.4>log>1>log43.6>0，且指数函数y=5x是R上的增函数，所以a>c>b，故应选C.

2. B 根据指数函数与对数函数对底数的要求，显然01时， f（x）与g（x）都是单调递增函数，只有答案B符合要求，故应选B.

3. A 由题意，函数f（x）=ex+x-2=0的根为x=a， f（x）=ex+x-2=0即ex=2-x，作出y=ex与y=2-x的图象，知01，f（b）=eb+b-2=eb-2+b>e-2+b>0，故选A.

4. C f（loga）+f（loga）=f（log2a）+f（-log2a）=2f（log2a）≤2f（1）？圯loga≤1？圯≤a≤2，故选C.

5. C f（lg（log210））=flg=f（-lg（lg2））=5，又f（x）+f（-x）=8，所以f（lg（lg2））=3，故选C.

6. （1）由题得， f（x）==1+∈（-∞，-1）∪（1，+∞），所以f -1（x）=2+log，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）.

（2）因为f（x）=且a≥0，所以①当a=0时， f（x）=1，x∈R，所以对任意的x∈R都有f（x）=f（-x），所以y=f（x）为偶函数. ②当a=1时， f（x）=，x≠0，f（-x）=== - f（x），所以对任意的x≠0且x∈R都有f（x）=-f（-x），所以y=f（x）为奇函数. ③当a>0且a≠1时，定义域为{xx≠log2a，x∈R}，所以定义域不关于原点对称，所以y=f（x）为非奇非偶函数.