分段函数

函数有多种类型，其中有一种表达式比较特殊的函数，就是分段函数，即是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数.它是一个函数，却又常常被误认为是几个函数，或往往被“一视同仁”为一种对应法则.本文通过对分段函数的定义及性质的认识和理解，把近几年高考考查分段函数的相关内容进行归纳整理，以便在高考复习中能系统掌握这一知识.

重点难点

重点：理解分段函数是一个函数，而不是几个函数；根据要求求分段函数的解析式；了解分段函数的简单性质.

难点：分段函数的图象及实际应用.

方法突破

分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数. 它是一类表达形式特殊的函数. 下面对其性质和解题方法做一些归纳总结.

（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，只不过在定义域的不同子集内解析式不一样.

（2）分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集；分段函数的最大值是各段最大值中的最大者，最小值是各段最小值中的最小值.

（3）分段函数分段解：求分段函数的函数值时要看清自变量的取值范围对应的是哪一段，再代入对应的关系式求解.

（4）画分段函数图象时一定要注意区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则画成实点，若不包含在内，则画成虚点.

（5）求分段函数的解析式时，一般要求区间端点应不重不漏，在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.

（6）分段函数的性质包括单调性和奇偶性. 若一个分段函数是单调递增的，则其左边一段的图象上任一点都要低于右边的图象上的点，单调递减则相反. 分段函数奇偶性的判断要在每一段里分别进行，要注意函数解析式的选择.

（7）分段函数的实际应用主要是求函数的解析式. 在写出解析式后要注意每段的自变量的取值范围，根据实际情况有可能还要取自然数或正整数等.

典例精讲

1. 分段函数的定义域和值域

分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集，在表示每一段函数中x的取值范围时，要确保做到定义域不重不漏，即交集为空集，并集为整个定义域. 值域应是其定义域内不同子集上各关系式的值域的并集.

例1 设函数g（x）=x2-2（x∈R）， f（x）=g（x）+x+4，xg（x），则f（x）的值域是（ ）

A. -，0∪（1，+∞）

B. [0，+∞）

C. -，+∞

D. -，0∪（2，+∞）

思索 本题考查分段函数值域的求法，及分类讨论的数学思想.把函数g（x）的解析式代入到f（x）的解析式内得到具体的分段函数，同时解出每段函数后面自变量的取值范围，即可得f（x）的值域.

破解 由题意：

f（x）=x2+x+2，xg（x）

=x2+x+2，x∈（-∞，-1）∪（2，+∞），x2-x-2，x∈（-1，2）

=x++，x∈（-∞，-1）∪（2，+∞），x--，x∈（-1，2）， 故当x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）时，f（x）的值域为（2，+∞）；当x∈（-1，2）时，f（x）的值域为-，0. 故选D.

2. 分段函数求值

分段函数求值的关键是根据自变量的取值范围确定相应的解析式，然后由内向外逐一分析，代入求值. 一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的解析式求值.

例2 设函数f（x）=x2+1，x≤1，，x>1，则f（f（3））=_______.

思索 本题考查分段函数及求值.解题关键是先求出f（3）的值，然后再把f（3）的值代入函数f（x）相应的解析式中，求出f（f（3））. 分段函数的求值是高考的热点，应予以重视.

破解 由已知得f（3）=，所以f（f（3））=f=+1=+1=.

例3 若已知函数f（x）=a，x>6，4-x+4，x≤6是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是______.

思索 分段函数单调递增，则其每段都要单调递增，而且图象中左边一段的最高点不能高于其右边一段的最低点，这一点容易忽略，要引起注意. 由此，本题应该受到三个条件的限制：指数式函数递增，直线式函数递增，并且满足前面的最值条件.

破解 由于函数f（x）是R上的单调递增函数，须满足条件a>1，4->0，4-×6+41，a<8，a>4或a<-7，所以4

4. 分段函数的奇偶性

判断分段函数的奇偶性必须对每一段的奇偶性单独讨论，由函数奇偶性的定义，得出奇偶性的结论.也可以用作图的方法利用对称性观察判断.

例4 （南通市2013届高三第三次调研测试，14）已知函数f（x）=ax2-2x-1，x≥0，x2+bx+c，x<0是偶函数，直线y=t与函数y=f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D. 若AB=BC，则实数t的值为_________.

思索 本题考查函数的奇偶性. 对分段函数的奇偶性进行判断，要遵照奇、偶函数的定义，对自变量分段的每一个区间进行考察. 在分段进行判断的时候一定要注意-x所对应的函数解析式是哪一段，不能混淆. 解决本题的关键还要利用对称性，偶函数的图象关于y轴对称，抛物线的图象关于对称轴对称，从而得到点B的坐标，求出t的值.

破解 因为y=f（x）是偶函数，让ax2-2x-1=（-x）2+b（-x）+c，解得a=1，b=2，c=-1. A，B两点关于x=-1对称，所以xA+xB=-2；B，C两点关于y轴对称，AB=BC，所以xB=，xB+xC=0，所以xB=-. 代入x<0时f（x）的解析式，得y=-，所以t=-.

5. 分段函数与方程的根

往往需要根据变量的范围列出不同的方程，方程的求解也要与其范围相对应. 若是判断分段函数的零点个数问题，也可以运用数形结合的方法解决.

例5 已知函数f（x）=，g（x）=kx-2，若函数h（x）=f（x）-g（x）有两个不同的零点，则实数k的取值范围是______.

思索 本题考查分段函数图象的交点问题，解题的关键是要利用图象来解决. 先把原函数中的绝对值符号去掉，将其改成分段函数，画出图象. 函数g（x）的图象绕着定点（0，-2）旋转，当它们有两个交点时k的取值范围即为所求.

破解 函数f（x）==.当x>1时，f（x）==x+1=x+1；当x<1时，f（x）== -x+1=-x-1，-1≤x<1，x+1，x<-1.

综上，函数f（x）==x+1，x>1，-x-1，-1≤x<1，x+1，x<-1.作出函数f（x）的图象（图略），要使函数h（x）=f（x）-g（x）有两个不同的零点，即函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点.

若直线g（x）=kx-2经过点（1，2），得k==4，则实数k的取值范围是0

变式练习

1. 已知函数f（x）=2-x，x≥3，f（x+1），x<3，则f（log23）=________.

2. 设集合A={x0≤x<1}，B={x1≤x≤2}，函数f（x）=2x，x∈A，4-2x，x∈B， 若当x0∈A时， f[f（x0）]∈A，则x0的取值范围是（ ）

A. log，1\tB. （log32，1）

C. ，1 D. 0，

3. 已知函数f（x）=x+，x>0，x3+9，x≤0，若关于x的方程f（x2+2x）=a（a∈R）有6个不同的实根，则a的取值范围是（ ）

A. （2，8] B. （2，9]

C. （8，9] D. （8，9）

4. 已知f（x）=log2x，x>0，log（-x），x<0，若f（a）>f（-a），则实数a的取值范围是（ ）

A. （-1，0）∪（0，1）

B. （-∞，-1）∪（1，+∞）

C. （-1，0）∪（1，+∞）

D. （-∞，-1）∪（0，1）

5. 已知函数f（x）=x+，x∈0，，2，x∈，2.若存在x1，x2，当0≤x1

参考答案

1. 因为1

2. A 当x0∈A时， f（x0）∈[1，2）， f[f（x0）]∈（0，2]，而要当x0∈A时， f[f（x0）]∈A，则f（x）=4-2x∈[0，1），所以x∈，2，即2∈，2，所以x0∈log，1，即选A.

3. C 作出函数y=f（x）的图象（如图2），令t=x2+2x，则t=（x+1）2-1≥-1， f（x2+2x）=a有6个不同的实根？圳关于t的方程f（t）=a在区间（-1，+∞）上有3个不同的根. 注意到f（-1）=8，由图象可知8

4. C f（a）>f（-a）？圯a>0，log2a>loga，或a<0，log（-a）>log2（-a）？圯a>0，a>或a<0，->-a？圯a>1或-1

5. ， 当f（x1）=f（x2）时，由图象可知≤x1<，≤x2<1，≤f（x2）<1，所以≤x1 f（x2）<.