二次函数

二次函数是中学代数的重要内容之一.作为一种最基本的初等函数，通过它可以研究函数的许多性质，如单调性、奇偶性、对称性和最值等.二次函数可以与一元二次方程、一元二次不等式综合，并涉及函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的数学思想. 因此，二次函数一直备受高考命题者的“青睐”，成为高考考查的热点.

重点难点

重点：①二次函数的解析式（一般式、顶点式、零点式）的灵活应用；②二次函数的图象及性质的应用，如求最值和研究单调性等；③二次函数与一元二次方程及一元二次不等式之间的关系.

难点：①含参数二次函数在闭区间上的最值问题；②含参数二次函数的零点分布（即含参数一元二次方程根的分布）问题；③三个“二次”的综合问题.

方法突破

1. 二次函数解题的基本方法

（1）认真审题，明确题目考查的方向；利用题目条件，合理选用二次函数的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；顶点式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）为顶点；零点式：y= a（x-x1）（x-x2）（a≠0））；结合二次函数的图象，运用分类讨论、数形结合、等价转化等思想解决最值、取值范围等问题.

（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，其与各系数间的关系如下：①a与抛物线的开口方向有关；②c与抛物线在y轴上的截距有关；③-与抛物线的对称轴有关；④b2-4ac与抛物线和x轴交点的个数有关.

2. 二次函数解题的基本策略

（1）二次函数解析式的三种形式中都有三个独立的参数，要通过三个独立条件确定，灵活选用解析式可以优化解题步骤，提高解题效率. 在求解二次函数问题时，一般式用得最多；若涉及二次函数的最值或对称性时紧扣顶点式；若涉及二次函数的零点（或一元二次方程的根）问题时，首选零点式.

（2）研究二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称性时，常常用到如下性质：若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则点A（x1， f（x1））与点B（x2， f（x2））关于直线x=-对称，即x1+x2=-.

（3）二次函数在闭区间的最值问题常考三种类型：轴定区间定、轴变区间定、轴定区间变. 无论是哪种类型，解决的关键是确定对称轴与区间的关系. 当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系，结合二次函数的图象和性质，进行分类讨论. 二次函数在闭区间的最值只可能在区间的端点或顶点取得. 若二次函数的二次项系数含参数a，则必须分a>0，a=0，a<0进行第一层的讨论，以对称轴的不同位置进行第二层次的分类讨论.

（4）一元二次方程区间根的分布问题通常转化为二次函数的零点分布问题去处理. 解决此类问题需要考虑四个要素：开口方向、判别式、对称轴的位置以及端点函数值的符号.

（5）三个“二次”问题以二次函数为中心，运用二次函数的图象和性质把一元二次方程、一元二次不等式联系起来，要重视代数推理；三个“二次”问题也是研究包含二次曲线等内容的基础工具.

典例精讲

1. 二次函数的解析式

例1 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图1记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）

图1

A. 3.50分钟 B. 3.75分钟

C. 4.00分钟 D. 4.25分钟

思索 已知给出的函数是含三个参数的二次函数，且经过图中的三个点，利用待定系数法，将三个点的坐标代入即可解得二次函数的解析式，再利用配方法求二次函数的最值及此时t的值.

破解 由题意得0.7=9a+3b+c，0.8=16a+4b+c，0.5=25a+5b+c，解之得a=-0.2，b=1.5，c=-2. 所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2（t-3.75）2+0.8125，即当t=3.75时，p有最大值，故选B.

2. 二次函数的图象

例2 若a

A. （a，b）和（b，c）内

B. （-∞，a）和（a，b）内

C. （b，c）和（c，+∞）内

D. （-∞，a）和（c，+∞）内

思索 由函数f（x）的解析式具有对称性的特征，并结合选项可知，求解的关键是判断函数f（x）的两个零点与a，b，c之间的大小关系，于是可求出f（a）， f（b）， f（c）的值，并比较它们与0的大小关系，再结合零点存在性定理即可得到答案.

破解 由于a0， f（b）=（b-c）（b-a）<0， f（c）=（c-a）（c-b）>0.

因此f（a）·f（b）<0， f（b）·f（c）<0. 又f（x）是关于x的二次函数，数形结合（图略）可知，函数f（x）的图象是连续不断的曲线，因此函数f（x）的两零点分别位于区间（a，b）和（b，c）内，故选A.

3. 二次函数的性质

例3 已知函数f（x）=x-a，g（x）=ax，（a∈R）.

（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出实数a的值；

（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；

（3）若a>0，记F（x）=g（x）·f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值.

思索 （1）含绝对值的函数一般都要去掉绝对值符号，化成分段函数处理.也可以直接作出函数图象再结合题意解决.

（2）含参的一元二次不等式的求解首先考虑分解因式法，其次才是结合二次函数根的分布进行处理.

破解 （1）因为函数f（x）=x-a为偶函数，所以f（-x）=f（x），即-x-a=x-a，所以4ax=0恒成立，故a=0.

（2）当a>0时，x-a-ax=0有两解，等价于方程（x-a）2-a2x2=0在（0，+∞）上有两解，即（a2-1）x2+2ax-a2=0在（0，+∞）上有两解.

令h（x）=（a2-1）x2+2ax-a2，因为h（0）=-a2<0，所以a2-1<0，Δ=4a2+4a2（a2-1）>0，故0

综上可知实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，1）.

（3）令F（x）=f（x）·g（x）.

①当0

②当1