函数的图象

函数图象是对函数关系的一种直观呈现，能把抽象的问题形象化，是我们学习、研究函数的好工具. 本文紧扣高考中函数图象问题的重点考查形式，通过对典型例题的深入分析，力求从知识、方法、能力等方面突破函数图象问题的难点，帮助同学们站上函数图象的巅峰.

重点难点

对于函数的图象，高考试题的考查形式主要有两种：一是考查函数图象的辨识；其次是考查函数图象的综合应用，这种应用主要体现在方程、不等式等与函数图象的综合问题上. 我们要有数形结合的意识，随时准备用图象帮助我们分析、简化问题.

重点：掌握基本初等函数的图象的画法；掌握函数图象的平移、伸缩、对称、翻折变换规则；会利用函数图象进一步研究函数的性质，解决方程或不等式中的问题；能实现数与形之间的相互转化，利用图象辅助分析、解决问题.

难点：用数形结合、分类讨论的思想分析、解决问题. 观察分析、推理论证能力的培养.

方法突破

1. 图象变换规则

（1）平移变换：

y=f（x）y=f（x-a）；y=f（x）y=f（x）+b.

（2）伸缩变换：

y=f（x）y=f（ωx）；y=f（x）y=Af（x）.

（3）对称变换：

y=f（x）y=-f（x）；y=f（x）y=f（-x）.

y=f（x）y=-f（-x）；y=f（x）y=f -1（x）.

（4）翻折变换：

y=f（x）y=f（x）；

y=f（x）y=f（x）.

2. 图象变化中的注意事项

在利用平移、对称、翻折等变换作函数的图象时，要特别注意渐近线、对称轴、对称中心、关键点的变换，以帮助我们获得变换后的函数的性质.

3. 函数奇偶性、单调性的四则运算

（1）奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数×奇函数=偶函数；偶函数×偶函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数.

（2）两个增函数的和还是增函数；两个减函数的和还是减函数.

4. 函数图象的识别

在函数图象的辨识问题中，一般是从该函数的性质（奇偶性、单调性、极值等）、正负、特殊值三个方面进行分析，排除错误选项. 对于自变量趋近于无穷大或无定义的点时，还需要注意极限思想的应用. 如果遇到两个函数在同一坐标系内的情况时，首先要找到这两个函数之间的联系，然后假定其中一个图象正确去判断另一个是否与之矛盾.

典例精讲

例1 在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x>0），g（x）=logax的图象可能是（ ）

A B

C D

思索 对于这种两个函数在同一坐标系内的情况，按照常规思路，首先要找到这两个函数之间的联系，然后假定其中一个函数的图象正确，再去看另一个函数的图象是否与之矛盾.

破解 本题中函数f（x）与g（x）的联系在于g（x）的底数与f（x）的指数相同，注意到a>0，可得f（x）单调递增，排除A选项.

对于B、D选项，如果g（x）单调递减，那么0

同理可排除C选项，故选D.

例2 设函数集合P={f（x）=log（x+a）+ba=-，0，，1；b=-1， 0，1}，平面上的点集Q={（x，y）x=-，0，，1；y=-1，0，1}，则在同一直角坐标系中，P中的函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是（ ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

思索 由于Q是由12个确定的点组成的集合，而集合P是由12个确定的函数组成的集合，所以可对这12个函数逐个进行验证，确定满足条件的函数的个数，在操作时以分类讨论的思想为指导，可简化验算的过程.

图1

破解 如图1，集合Q共有12个元素（点），集合P中的元素均可通过把函数y=logx的图象进行平移而得到. 其中只通过左右平移就能得到的函数有：①y=log（x+1）；②y=logx+；③y=logx；④y=logx-.满足条件的函数可通过对函数图象①、②、③、④再作上下平移就可得到，其中①、②、③依次可分别得到两个满足条件的函数，而对④作上下平移后的函数至多经过Q中的一个点.故满足条件的函数的个数为6个.

评注 这是一道有关函数图象的计数问题，而分类讨论思想是解决较复杂的计数问题最常用的手段，因此在解决本题时，在明确集合P中的任意一个元素（函数）的图象均与函数y=logx的图象全等的基础上，还需注意分类讨论思想的运用.

例3 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时， f（x）=（x-a2+x-2a2-3a2）. 若？坌x∈R， f（x-1）≤f（x），则实数a的取值范围为（ ）

A. -，

B. -，

C. -，

D. -，

思索 当a=0时， f（x）=x在R上单调递增，满足条件.

当a≠0时，2a2>a2，去掉绝对值符号可作出函数f（x）在[0，+∞）上的图象，再利用函数f（x）的奇偶性进一步作出其在R上的图象.

利用图象去分析a满足什么条件时，？坌x∈R，有f（x-1）≤f（x），核心观察函数不增的区间.

破解 当a≠0时，去掉绝对值符号可得函数f（x）在[0，+∞）上的解析式为：

f（x）=-x，0≤x2a2.2，注意到函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得它的图象如下：

图2

注意到图象的对称性，可知“？坌x∈R， f（x-1）≤f（x）”的充要条件是“区间[-4a2，2a2]的长度不超过1”，即2a2-（-4a2）≤1，解得a2≤.

故选B.

例4 若设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2-x）=f（2+x），当x∈[-2，0]时， f（x）=-1，记g（x）=f（x）-loga（x+2）（其中a>0，a≠1），试讨论函数g（x）在区间（-2，6）上零点的个数.

思索 注意到g（x）的零点个数即为函数y=f（x）与函数y=loga（x+2）的图象公共点的个数，不难发现函数y=f（x）唯一确定，因此可先作出其图象，再利用a的值的大小与函数y=loga（x+2）图象之间的关系讨论它们公共点的个数.

图3

破解 由f（2-x）=f（2+x）可知f（4+x）=f（-x），又因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），由此可得f（4+x）=f（x）. 当x∈[-2，0]时， f（x）=-1，作出函数y=f（x）的图象（如图3），其中A（2，1），B（6，1）. 当a=4时，y=loga（x+2）的图象过点A（2，1），当a=8时，y=loga（x+2）的图象过点B（6，1）.

由图象可知：①当08时，g（x）在区间（-2，6）上有且仅有4个零点.

变式练习

1. （2014年高考福建卷理科，4）若函数y=logax（a>0，且a≠1）的图象如图4所示，则下列函数图象正确的是（ ）

A B

C D

2. （2013年高考安徽卷理科，8）函数y=f（x）的图象如图5所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得==…=，则n的取值范围是（ ）

A. {3，4} B. {2，3，4}

C. {3，4，5} D. {2，3}

3. （2014年高考江苏卷，13）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时， f（x）=x2-2x+. 若函数y=f（x）-a在区间[-3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是________.

4. 已知函数f（x）=x（1+ax）. 设关于x的不等式f（x+a）

参考答案

1. B 由图可知loga3=1，即a=3. 利用指、对、幂函数的图象特征以及函数图象变换的知识易知只有B选项正确.

2. B 因为表示点（xi， f（xi））与原点连线的斜率，所以题目中的n表示过原点的直线与曲线y=f（x）的交点个数. 由图可知，n可取2，3，4. 故选B.

3. 0，

4. ，0 由0∈-，？哿A得f（a），< -，所以f（x）在-，上单调递增. 因为a<0，所以f（x+a）. 解得