列举有风险组合需谨慎

□周奕生

列举有风险组合需谨慎

□周奕生

列举法是求概率的重要方法之一，用列举法求概率需要把随机事件所有可能发生的情形不重不漏地列出来，但真正做到不重不漏是有一定难度的，稍不留神便会出现丢三落四的失误，要想避免失误，需要针对题意对所考查的对象进行谨慎的排列与组合.

一、按次序组合

例1有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A、B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜.现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？

图1　

解析：欲知选择哪个转盘获胜可能性大，只需要先分别计算选择转盘A、B获胜的概率.

把A、B由于转盘A的数碰到转盘B的数的可能情形有（9，3），（9，4），（9，8），（5，3），（5，4），（5，8），（2，3），（2，4），（2，8），共有9种情形，其中A盘转到的数字大于B盘转到的数字的有5种，小于的有4种，所以P（选择A盘获胜），P（选择B盘获胜），所以选择A盘.

点评：这里的组合事实上是把A盘的9，5，2这三个数与B盘的3，4，8一一进行组合.

二、分组组合

例2一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1，2，3.从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球.

（1）请用树形图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；

（2）求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率.

解析：（1）把第一次摸出的球记为第一组数字1，2，3，第二次摸出的球记为第二组数字1，2，3，则两次摸到的数字情形有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共9种；

（2）从（1）中可见两次摸出的球上的数字和为偶数的有（1，1），（1，3），（2，2），（3，1），（3，3），共5种，所以P（两次摸出的球上的数字和为偶数）

点评：根据题意把有关对象分成两组，然后依题意，把第一组的第一个对象与第二组的每个对象分别组合，再把第一组的第二个对象与第二组的每个对象分别组合，直到第一组的最后一个对象与第二组的每个对象分别组合.

例3如图2，管中放置着三根同样的绳子AA1，BB1，CC1.

（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？

（2）小明先从左端A，B，C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1，B1，C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子连结成一根长绳的概率.

图2　

解析：（1）从AA1，BB1，CC1这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率显然是；

（2）从左端A，B，C三个绳头中随机选两个打一个结，被选到的可能情形有（A，B），（A，C），（B，C），共三种；从右端A1，B1，C1三个绳头中随机选两个打一个结，被选到的可能情形有（A1，B1），（A1，C1），（B1，C1），共三种.左边绳头打结碰到右边绳头打结的情形有[（A，B），（A1，B1）]，[（A，B），（A1，C1）]，[（A，B），（B1，C1）]，[（A，C），（A1，B1）]，[（A，C），（A1，C1）]，[（A，C），（B1，C1）]，[（B，C），（A1，B1）]，[（B，C），（A1，C1）]，[（B，C），（B1，C1）]，共9种，其中能连结成一根长绳的情形有[（A，B），（A1，C1）]，[（A，B），（B1，C1）]，[（A，C），（A1，B1）]，[（A，C），（B1，C1）]，[（B，C），（A1，B1）]，[（B，C），（A1，C1）]，共6种，所以P（三根绳子连结成一根长绳）