广义量词的单调性与其他语义性质之间的关系

张晓君，吴宝祥

(四川师范大学政治教育学院，成都 610066)

一、引言

广义量词理论(generalized quantifier theory)是一阶逻辑的扩展理论，它比一阶逻辑更有利于计算机进行知识表示和知识推理，这是因为:(1)广义量词理论使得逻辑句法与自然语言的句法能够得到紧密的对应［1］;(2)广义量词理论可以解释亚里士多德三段论不能够解释的许多直观上成立的推理，打破了仅仅凭借公理及其推理规则来判断有效推理的一阶逻辑的常规做法［2］;(3)广义量词理论通过考察广义量词所涉及的论元集合的性质，或不同论元集合之间的关系来表示广义量词的一些重要的语义普遍特征，大大拓展了一阶逻辑处理现实世界的能力［3］;(4)广义量词理论处理问题的方式直观简洁，成果普适性强［4］。基于这些原因，广义量词理论受到了逻辑学、理论语言学、计算语言学、计算机科学等交叉领域的研究者的重视［5］。

广义量词包括:(1)由限定词a，an，the或其他量化关系指称所形成的所有名词短语;(2)限定词;(3)一阶逻辑的全称量词∀和存在量词∃。比如:“大多数的、所有的、至少一半的、这个、介于三与八之间的整数、无穷多个蚊子”等等都是广义量词［6］。广义量词的语义性质主要包括:同构闭包性(isomorphism closure)、驻留性(conservativity)、扩展性(extension)、单调性(monotonicity)、对称性(symmetry)、相交性(intersectivity)、逻辑性(logicality)［7］。同构闭包性和扩展性是广义量词的两个基本性质;这两个概念与语言学高度相关，而且它们也是数理逻辑和计算机科学中常见的、重要的且有一定难度的概念。几乎自然语言中遇到的量词或者本身就具有同构闭包性，或者从系统层面上来看与同构闭包性有关。广义量词的单调性是广义量词最重要的语义性质，该性质是从逻辑角度研究自然语言信息处理绕不开的重要内容，这也是近年来国际逻辑学界研究的重点内容之一，其研究成果极其丰富。

由于〈1〉类型量词和〈1，1〉类型量词是自然语言中最为普遍存在的广义量词，因此本文重点研究这两类量词。常见名词短语对应〈1〉类型量词，这类量词表示其论元所组成集合的性质。绝大多数限定词对应〈1，1〉类型量词，这类量词表示广义量词的左论元和右论元所涉及的集合之间的二元关系［1］。在本文中:A、B、C 或 A＇、B＇、C＇表示广义量词所涉及的论元所组成的集合，E、E＇是所讨论的论域;“⇒”表示蕴涵，“⇔”表示相互蕴涵;若没有特别说明，量词都是指广义量词。

二、相关背景知识

定义 1［7］95-100〈1，1〉类型量词的同构闭包性

一个〈1，1〉类型量词Q满足同构闭包性ISOM，当且仅当，对任意的论域E、E＇且任意的A、B⊆E，A＇、B＇⊆E＇:若|A-B|=|A＇-B＇|，|A∩B|=|A＇∩B＇|，|B-A|=|B＇-A＇|且|E-(A∪B)|=|E＇-(A＇∪B＇)|，则 QE(A，B)⇔QE＇(A＇，B＇)。

在汉语中，具有同构闭包性的量词包括:一些〈1〉类型量词，比如，所有的钢笔、有些学生、有的鸡蛋、至少3个恐怖分子、正好3个人、无数的繁星、奇数、偶数;一些〈1，1〉类型量词，比如，至多 3个(位、打、副等)、最少 10个(位、打、副等)、无穷多的、大多数的、奇数的、偶数的、所有的、有的、有些、无、并不是所有的(全部的)等等。广义量词满足同构闭包性才能够保证“如果在一个逻辑语言中一个语句在一个模型中为真，那么该语句将在所有的同构模型中为真”，关系、个体等无关紧要的东西已经被抽象掉，结构的重要性被凸显出来。比如，an odd number of students与 an odd number of eggs/dogs/trees的单调性及其数字三角形只与an odd number of有关，与 students、eggs/dogs/trees无关。

定义 2［7］137-138〈1，1〉类型量词的驻留性

一个〈1，1〉类型量词Q是驻留的，当且仅当，对任意的论域E和任意的A、B⊆E，QE(A，B)⇔QE(A，A∩B)。

例1:(a)大多数女人都爱哭。⇔(b)大多数女人都是爱哭的女人。

例1中的语句(a)与(b)相互蕴涵，由定义2知，“大多数”具有驻留性。在汉语中，除了“比……多”和“与……相等”这两个〈1，1，1〉类型量词外，绝大多数量词都满足驻留性。所有的〈1，1〉类型广义量词都具有驻留性。

定义 3［7］101-107〈1〉类型量词的扩展性

一个〈1〉类型量词Q满足扩展性，当且仅当，对任意的论域 E、E＇且任意的 A⊆E⊆E＇，QE(A)⇔ QE＇(A)。

扩展性的另一个标签是“论域独立性”，即“在每个论域上量词的意义都不变”。也就是说，只要论元不改变，当论域被扩大或缩小时，该广义量词的语义定义或真值条件不会改变。量词的这一性质叫做扩展性。例如:在“All children/girls/boys/women/wen/dogs/pigs are sleeping.”中“all”的意义与 children、girls、boys、women、wen、dogs、pigs这些具体的个体对象无关，也与上面这些对象的论域无关，“all”的真值定义“all(A，B)⇔A⊆B”仅仅代表的是包含关系，即使把量化论域中的元素的个数由10个扩展到100个、1 000个，甚至10 000个时，即把与个体相联系的论域扩大时，“all”代表的包含关系仍然是不变的。

定义 4［7］208-214〈1，1〉类型量词的对称性

一个〈1，1〉类型量词Q是对称的，当且仅当，对所有的论域E和所有的A，B⊆ E而言，QE(A，B)⇒ QE(B，A)。

例2:(a)最多5位特警是女性。⇔(b)最多5位女性是特警。

例3:(a)30%的特警是女性。⇔/(b)30%的女性是特警。

例2中的语句(a)与(b)相互蕴涵，由对称性的定义知，〈1，1〉类型量词“最多五位”具有对称性。而例3中的语句(a)与(b)不能够相互蕴涵，由定义4知，“30%的”不具有对称性。

定义 5［7］92余性(co-properties)

令P是一个类型为τ的量词的一个性质，Q具有余性(co-P)当且仅当其内否定Q﹁具有性质P。

定义 6［7］163-207〈1，1〉类型的量词的单调性

(1)〈1，1〉类型量词QE是右单调递增的，当且仅当:若 B⊆C⊆E，则 QE(A，B)蕴涵 QE(A，C)。

(2)〈1，1〉类型量词QE是右单调递减的，当且仅当:若 B⊆C⊆E，则 QE(A，C)蕴涵 QE(A，B)。

(3)〈1，1〉类型量词QE是左单调递增的，当且仅当:若 B⊆C⊆E，则 QE(B，A)蕴涵 QE(C，A)。

(4)〈1，1〉类型量词QE是左单调递减的，当且仅当:若 B⊆C⊆E，则 QE(C，A)蕴涵 QE(B，A)。

(5)〈1，1〉类型量词QE是东南方向单调递增的，当且仅当:若QE(A，B)且A⊆C⊆E且A-B=C-B，则 QE(C，B)。

(6)〈1，1〉类型量词QE是西南方向单调递增的，当且仅当:若QE(A，B)且A⊆C⊆E且A∩B=C∩B，则 QE(C，B)。

(7)〈1，1〉类型量词QE是西北方单调递减的，当且仅当:若QE(A，B)且C⊆A⊆E且A-B=C-B，则 QE(C，B)。

(8)〈1，1〉类型量词QE是东北方向单调递减的，当且仅当:若QE(A，B)且C⊆A⊆E且A∩B=C∩B，则 QE(C，B)。

在研究广义量词的单调性时，首先得假设该量词满足驻留性。这是为什么呢?笔者的理解是，在假定具有同构闭包性和有穷论域的情况下，单调性可以在数字三角形①广义量词的数字三角形及其画法请参见文献［8］。中异常清楚明了地展示出来，而且这种展示方法所得到的结果离开了这些假设就很难被发现［9］。而对于后4种单调性，只有满足驻留性的条件下，才能满足它们各自的定义中的条件A∩B=C∩B或A-B=C-B。上面这些单调性的例子依次分别见例4至例11，而且例8至例11的推理成立的前提是假定只有男学生才抽烟，女学生不抽烟。

例4:(a)大多数学生都抽过雪茄。⇒(b)大多数学生都抽过烟。

例5:(a)不到一半的学生抽过烟。⇒(b)不到一半的学生抽过雪茄。

例6:(a)至少有5位亚洲学生抽过烟。⇒(b)至少有5位学生抽过烟。

例7:(a)最多有5位学生抽过烟。⇒(b)最多有5位亚洲学生抽过烟。

例8:(a)大多数男学生没有抽过烟。⇒(b)大多数学生没有抽过烟。

例9:(a)最多七分之三的男学生抽过烟。⇒(b)最多七分之三的学生抽过烟。

例10:(a)只有少数学生没有抽过烟。⇒(b)只有少数男学生没有抽过烟。

例11:(a)至少三分之一的学生抽过烟。⇒(b)至少三分之一的男学生抽过烟。

三、广义量词的单调性与其他语义性质之间的关系

我们首先来考察单调性与驻留性的关系。前面已经说明，研究量词的单调性时首先得假设该量词满足驻留性。事实上，如果没有这一假设，要使得单调性蕴涵驻留性，那么该量词必须满足非常苛刻的条件:即该量词必须是全域量词，为此，笔者提出:

定理1 单调性与驻留性的关系

对于一个〈1，1〉类型量词Q而言，如果Q是右单调递增且右单调递减的，那么Q具有驻留性。

证明:假定〈1，1〉类型的广义量词Q既是右单调递增又是右单调递减的，因为对所有的E和所有的A、B⊆E，A∩B⊆B⊆E始终成立，则根据定义6中的(1)右单调递增的定义知，对所有的E和所有的 A、B⊆E，QE(A，A∩B)⇒QE(A，B)。同理，因为对所有的E和所有的A、B⊆E，A∩B⊆B⊆E始终成立，则根据定义6中的(2)右单调递减的定义知，对所有的E和所有的A、B⊆E，QE(A，B)⇒QE(A，A∩B)。故，对所有的E和所有的A、B⊆E，QE(A，B)⇔QE(A，A∩B)，根据定义〈1，1〉类型的广义量词的驻留性的定义知，Q具有驻留性。证毕。

在此，笔者画出既是右单调递增又右单调递减量词的数字三角形简图(见图1)。①广义量词的数字三角形简图的画法以及广义量词的单调性及其在数字三角形中的特点请参见文献［8］。

图1 既右单调递增又右单调递减量词的数字三角形

由图1可以看出，如果一个〈1，1〉类型的广义量词Q的数字三角形，在一个序对(k，m)处对应的是“+”号，则与(k，m)处于同一阶层且紧接(k，m)的右边的所有序对(k-i，m+i)(其中1≤i≤k)处，对应的都是“+”号;而且与(k，m)处于同一阶层且紧接(k，m)的左边的所有序对(k+i，m-i)(其中1≤i≤m)处，对应的也都是“+”号，则Q具有驻留性。在此，笔者给出其形式化表述:在一个〈1，1〉类型的广义量词Q的数字三角形中，如果对于 Q(k，m)且 1≤i≤k 且 1≤i≤m，有Q(k+i，m+i)且 Q(k+i，m-i)，则 Q 具有驻留性。

事实上，在自然语言中，只有〈1，1〉类型的全域量词，②一个具有同构闭包性的〈1〉类型量词Q是一个全域量词(universe quantifier)，当且仅当，对于数的某种类S而言，QE(A)⇔|A|∈S。类似地，对于〈1，1〉类型的全域量词 Q而言，QE(A，B)⇔|A|∈S。比如，在自然语言中，“这8个……中的任意多个……”就是这种量词。比如“这n个……中的任意多个……”满足既右单调递增且右单调递减。例如，“这8个学生中任意多个学生都是男孩⇒这8个学生中任意多个学生都是男学生”，可见，“这8个中任意多个”具有驻留性。这例证了定理1的正确性。

定理1的逆命题并不成立。事实上，满足定理1的前提条件的量词，即既右单调递增又右单调递减量词的数字三角形中，只有“+”号，并无“-”，即任意序对都能够使得Q(A，B)成立。定理1从另一个角度说明:如果我们研究量词的单调性不首先假设量词必须首先满足驻留性，那么我们就只能够研究全域量词的单调性了。

现在我们来考察对称性与单调性之间的关系。为此，笔者提出了定理2与定理3:③定理2和定理3的详细证明及其在数字三角形中的特点请参见文献［6］。

定理2 对称性与单调性的关系

令Q是一个具有驻留性的〈1，1〉类型量词，Q是对称的，当且仅当，Q是西南方向单调递增且东北方向单调递减。

定理3 余对称性与单调性的关系

负压吸引器：在手术过程中每个手术室都配有负压吸引装置利用负压吸引来吸除烟雾是手术中常用的去除烟雾的方法之一。吸引器主要用来吸引血与大量液体等，同时也用来吸电外科器械产生的烟雾，但是实际操作时并不是很理想，但是效果如何并不为人知，只是直觉上觉得有效。自从使用自制吸烟装置在手术腔镜应用得到大家一致好评。

令Q是一个具有余驻留性的〈1，1〉类型量词，Q是余对称的，当且仅当，Q是东南方向单调递增的且西北方向单调递减的。

现在我们来考察扩展性与单调性之间的关系。为此，笔者提出:

定理4 单调性与扩展性的关系

对于〈1〉类型量词Q而言，若Q满足扩展性，则Q是西南方向单调递增的。

证明:令Q是一个〈1〉类型量词。一方面，如果Q满足扩展性且A⊆E⊆E＇且QE(A)，那么由扩展性的定义知，QE＇(A)，即 QE(A)且 A⊆E⊆E＇⇒QE＇(A)，根据〈1〉类型量词西南方向单调递增的定义④〈1〉类型量词 QE是西南方向单调递增的，当且仅当:若QE(A)且 A⊆E⊆E＇，则 QE＇(A)。知，Q是西南方向单调递增的。证毕。

而对于同时具有多种性质的广义量词，van Benthem提出了下面的定理5:

与之相反的是，满足这些条件的右单调性量词却有无穷多个。Westerståhl用数字三角形证明了另一个与之相关的一个定理:

定理6［10］在有穷论域下，满足驻留性、扩展性和同构闭包性的左单调量词是一阶可定义的，即在一阶逻辑FO中可定义。

而右单调性量词(比如:比例量词)在有穷模型上，通常不能够在一阶逻辑 FO中加以定义［7］465-478。对于逻辑学中的量词而言，却没有介于自然语言中的量词的左右单调性之间的这种截然相反的特点，这说明量化式(quantirelations)的特征就是:其限制论元用于对量化论域加以限制。

四、结束语

虽然我们已经对广义量词的单调性与同构闭包性、驻留性、扩展性和对称性之间的关系进行了探讨，但是广义量词的驻留性、扩展性等性质分别与它们的内否定、外否定、对偶否定和亲缘量词等相关量词的驻留性、扩展性、对称性和相交性等相应性质之间又有什么关系呢?比如，一个满足对称性的〈1，1〉类型量词是否满足驻留性或扩展性呢?为了探讨这些关系，我们是否对其进行相应的形式化证明呢?如果能，应如何证明?这些问题都有待进一步研究。

［1］张晓君.广义量词的各种单调性之间的关系［J］.安徽大学学报:哲学社会科学社版，2012(5):47-52.

［2］张晓君，林胜强.如何利用广义量词的语义性质判断扩展三段论的有效性［J］.逻辑学研究，2013(2):42-56.

［3］张晓君.扩展三段论的可化归性与广义量词的语义性质之间的关系［J］.逻辑学研究，2012(2):63-74.

［4］张晓君，黄朝阳.基于广义量词理论的亚氏三段论的研究［J］.重庆理工大学学报:社会科学，2012(10):7-11.

［5］Chow K F.Inferential Patterns of Generalized Quantifiers and their Applications to Scalar Reasoning［D］.Hong Kong:Hong Kong Polytechnic University，2012.

［6］张晓君.广义量词的相关性质研究［J］.逻辑学研究，2010(3):67-79.

［7］Peters S，Westerståhl D.Quantifiers in Language and Logic［M］.［S.l.］:Claredon Press，2006.

［9］张晓君，郝一江.广义量词的单调性与数字三角形［J］.重庆理工大学学报:社会科学，2010(3):18-24.

［9］Väänänen J.Unary quantifiers on finite models［J］.Journal of Logic，Language and Information，1997(6):275-304.

［10］Westerståhl D.Quantifiers in formal and natural language［J］.Handbook of Philosophical Logic，1997(4):1-131.