南京地区马尾松多元混合效应材积模型研建

赵浩彦，张 洁 ，张民侠 ，邵长生 ，方 彦，陈戈萍

（1.南京森林警察学院，南京 江苏 210023；2.南京市老山林场，南京 江苏 211811）

南京地区马尾松多元混合效应材积模型研建

赵浩彦1，张 洁1，张民侠1，邵长生2，方 彦1，陈戈萍1

（1.南京森林警察学院，南京 江苏 210023；2.南京市老山林场，南京 江苏 211811）

为了精确拟合南京地区马尾松林木胸径、树高与材积的相关关系，基于28块20 m×20 m的方形样地的531株马尾松样木数据，分别采用山本式材积模型和多元非线性混合效应模型拟合了马尾松胸径、树高与材积的相关关系。结果显示：山本式材积模型的相关指数为0.964 92，估计值的标准误为0.004 0，总相对偏差、平均相对误差、平均预估误差和平均相对误差绝对值均小于3%，多元非线性混合效应模型的相关指数为0.999 97，估计值的标准误为0.000 049 85，总相对偏差、平均相对误差、平均预估误差和平均相对误差绝对值均小于

0.3%，表明两个材积模型有很高的拟合优度和精度，适应性检验结果显示，山本式二元材积模型和多元非线性混合效应材积模型的平均相对误差、总相对偏差、平均相对误差绝对值、绝对残差和标准偏差均小于3%，统计量F值小于临界值，表明两个材积模型的适应性较强；与山本式二元材积模型相比，多元非线性混合效应材积模型的拟合优度和精度更高，适应性更强。

马尾松；多元非线性混合效应模型；模型研究

二元立木材积模型是森林蓄积量调查和统计中最常用的计量依据。模型精度的大小，直接影响森林资源清查结果的准确度。因此，提高模型的精度十分必要。

马尾松Pinus massonianaLamb是一种喜光、喜温的树种，适生于年均温为13～22 ℃，年降水量800～1 800 mm，最低温度不到-10 ℃的环境。它同时是中国长江流域各省重要的荒山造林树种，也是江南自然风景区普遍绿化及造林的重要树种，同时也是经济价值较高的主要用材树种。江苏省林业局早已编制了《江苏省马尾松二元立木材积表》。但是根据南京地区马尾松林木数据，对该材积表进行检验后，发现其系统误差大于3%，因此，有必要建立适用于南京地区的马尾松二元立木材积模型。

目前，二元立木材积方程有二十几种，包括山本式、迈耶式等。在这些材积方程中，因山本式V=c0Dc1Hc2提出较早，且能较好体现干形随胸径、树高的变化规律，在长期实践中也被证明适用性较好、精度较高，所以，它成为我国各地区常用的一种二元材积模型[1]。但是，孟宪宇用14个树种3 682株样木对各材积式进行了检验，认为山本式精度只列第7位，而多项回归方程一般精度较好[2]。但一些学者研究认为，多项式材积方程的拟合精度虽然比山本式要高，但是采用多项式逼近原理确定的模型参数变动较大，模型缺少稳定的预测效果，产生的曲线往往不符合一般的生物学规律[1,3]。也有学者运用山本式采用分段拟合的方法建立材积模型，该类模型虽然显著提高了模型精度，但是导致了相邻模型交叉的矛盾，如用整体回归分析的方法解决，会降低模型拟合的精度，并可能导致模型的不稳定性[1]。骆期邦等在山本式的基础上，通过分别研究c1和c2与d1.3、h的相关关系，构建了可变参数山本模型V=c0Df1(d,h)Hf2(d,h)[1,3,4]。总体上，该模型参数比多项式模型和分段拟合模型稳定性更高，精度更好，且能通过参数的变化追踪样木形数随d1.3和h的客观变化规律。目前，一些学者采用可变参数山本模型拟合了不同树种的二元材积模型[5-11]。

除了改变模型形式外，改进模型的拟合方法也可提高模型精度。在二元材积模型中，材积方差随D2H增大而增大，存在异方差的现象。为了消除异方差，最先采用加权最小二乘法求解模型参数。此后，一些学者运用阻尼最小二乘法、遗传算法、三次设计法与改进单纯形法等拟合了二元材积模型[12-13]。杜婧分别用阻尼最小二乘法、遗传算法和加权最小二乘法拟合了二元材积模型并比较了模型的精度大小，结果显示，用阻尼最小二乘法拟合的方程精度最高，遗传算法拟合的方程次之，加权最小二乘法最低[14]。

以上模型均为固定效应模型，即模型的参数为固定值。实际上，同一树种在不同地区、不同立地条件、不同年龄、不同林分密度下建立的二元立木材积方程的参数并不完全一致，或多或少都存在一些差异，也就是说方程的参数为随机变量，参数大小与立地条件、林分年龄、林分密度等因素有关。如何建立参数为随机变量的二元立木材积方程呢？本研究拟采用多元混合效应模型的建模方法建立南京地区马尾松林木的二元材积模型。

1 材料和方法

1.1 研究区概况

老山林场位于长江北岸、南京西北郊的江浦县境内，地处118°25′～ 118°40′E，32°03′～32°09′N。全场东西长约35 km，南北宽约15 km，至1999年统计，全场面积为0.75×104hm2。

该区属北亚热带气候区，呈明显的季风性气候，具有夏季炎热、冬季寒冷、四季分明，雨量充沛，日照充足，无霜期较长的特征。年平均气温15.3 ℃，最高温为21.1 ℃，最低为11.3 ℃。年平均等于或高于10 ℃的生长期平均为228 d；常年平均月日照时数为197.1 h；年平均降雨量为1 000～1 050 mm；年平均无霜期为223 d；土壤类型有6大类：水稻土、黄棕壤、石灰岩土、紫色土、白云岩土和基性岩土，其中，黄棕壤为其地带性土壤。

该地区自然植被类型包括落叶阔叶林、常绿阔叶混交林和针叶纯林类型，针叶纯林主要以马尾松Pinus massonianaLamb、 黑 松Pinus thunbergii和侧柏Platycladus orientalis为主，落叶阔叶林和常绿阔叶混交林主要以麻栎Quercus acutissima、黄连木Pistacia chinensis、青朴Celtis tetrandrassp、榆树Ulmus pumila、枫香Liquidambar formosana等为主。

根据林场森林的实际情况，结合当地的采伐，在马尾松人工纯林中，按照不同林分年龄（35、40和55 a）和不同林分密度（0～250、250～500、500～750和750～1 000株/hm24个等级）要求，随机选取并设置了28块20 m×20 m的方形样地。

1.2 材料来源

在28块样地中，用围尺测量马尾松林木的胸径，将样木伐倒后，用皮尺测量树干长度（树高）。根据倒木长度，分别在离倒木基部1、3、5、7 m…处用围尺测量其直径，采用中央断面区分求积式求倒木材积。

本实验共收集了马尾松样木537株，主要测树因子分布范围见表1。剔除异常数据，剩余样木531株，其中21块样地共计404株样木用于建模，7块样地共计133株样木用于验模。

表1 马尾松样木的主要测树因子Table 1 Main tree-measuring factors of P. massoniana sample trees

1.3 研究方法

1.3.1 选用方程

1.3.1.1 传统二元立木材积模型

主要选取山本式作为南京地区马尾松二元立木材积模型，公式如下：

式（1）中，D为林木胸径，H为树高，V为单株林木材积，c0，c1，c2均为模型参数。

1.3.1.2 多元非线性混合效应模型拟合

为了考察林分密度、年龄等样地因子对传统二元立木材积模型参数的影响，在山本式二元材积模型的基础上，将其进行对数化处理，转化为线性方程，再采用多元混合效应模型的建模方法，加入样地因子，最终分别确定了以胸径的对数、树高的对数、样地因子为自变量，以材积对数为因变量的混合效应模型。

与普通多元回归模型不同，多元混合效应回归模型有微观和宏观两种方程，这里微观方程是指样木水平的方程，即将传统的二元材积方程线性化后的方程，宏观方程是指样地水平的方程，它以样木水平方程的系数为因变量，林分密度和林分年龄等样地因子为自变量建立的方程。公式如下：

样木水平方程：

样地水平方程：

式（2）和（3）中，β0为样木水平方程的截距，β1，β2均为样木水平方程的斜率，ε为样木水平方程的残差项，且ε～N(0,σ2)，γ00，γ01，γ02，γ03分别为模型参数，μ为样地水平方程的残差项，且μ～本研究用限制性最大似然法（REML）来估计两种方程残差的方差，并根据Wald统计量判断样木水平方程参数是否在样地水平上存在随机效应。

1.3.2 模型评价指标

1.3.2.1 模型拟合效果评价

采用建模数据拟合模型，同时还应对模型的优劣进行评价，主要评价指标有相关指数（R2）、估计值的标准误（SEE）、平均预估误差（MPE）、总相对偏差（TRB）、平均相对误差（E）、平均相对误差绝对值（P）、赤池信息准则（AIC、AICC），-2 Res Log Likelihood 9个指标，公式如下：

1.3.2.2 模型适应性检验

主要适应性检验指标有以下几种：

式（12）～（14）中：Bias为绝对残差，RMSE为标准偏差。绝对残差和标准偏差越小，模型精度越高，反之，亦然。置信椭圆F检验是在验模样本中，先以样本材积的观测值为因变量，估计值为自变量，建立二者的线性回归方程：y=a+bx；然后根据（14）式和验模数据，计算构造的F统计量。当F＞F0.05，说明建立的方程存在系统偏差；当F≤F0.05，说明不存在系统偏差。

1.3.3 数据处理

采用SPSS软件建立以胸径和树高因子为自变量，材积为因变量的山本式二元材积方程，采用SAS分析软件的NLMIXED 模块建立以胸径、树高以及样地因子为自变量，材积为因变量的多元非线性混合效应模型。

2 结果与分析

2.1 山本式二元材积模型和多元非线性混合效应模型建立

2.2.1 山本式二元材积模型和多元非线性混合效应模型拟合

从表2中的相关指数（R2=0. 964 92）、估计值的标准误（SEE=0.004 0）来看，传统山本式材积模型拟合优度较高。从表2中还可看出，总相对偏差和平均相对误差（TRB=0.003 0，E=-0.003 3）小于3%，表明方程不存在趋势性的系统偏差；平均预估误差和平均相对误差绝对值（MPE=0.020 8，P=0.004 4）小于10%，表明方程可较为精确地估计马尾松单木材积和林分平均材积。

表2 山本式二元立木材积模型计算结果†Table 2 Calculated results with Yamamoto standard volume model

表3 多元非线性混合效应材积模型计算结果†Table 3 Calculated results with multivariate nonlinear mixed effect volume model

在SAS软件中，首先引入坡度、坡位、海拔、林龄、林分密度等样地因子和胸径、树高等样木因子作为自变量拟合模型；其次，根据AIC、AICC和-2 Res Log Likelihood 3个指标值和自变量的t检验结果，逐步减少自变量个数，直至AIC、AICC和-2 Res Log Likelihood 3个指标值达到最小，从而确定方程的参数。

根据Wald统计量检验，样木水平模型的截距（β0）随着样地的变化存在显著的随机效应（PrZ=0.01），斜率（β1和β2）随着样地的变化不存在显著的随机效应。

根据表3中的相关指数（R2=0.999 97）、估计值的标准误（SEE=0.000 049 85）显示，多元混合效应材积模型拟合优度很高。从表3中还可看出，总相对偏差和平均相对误差远小于3%，表明方程不存在趋势性的系统偏差；平均预估误差和平均相对误差绝对值也小于3%，表明方程可精确地估计马尾松单木材积和林分平均材积。

从自变量的参数可看出，马尾松林木材积与林分密度、林分年龄、胸径和树高4个因子呈正相关。林分密度越大，林分年龄越大，林木的胸径和树高越大，马尾松材积也越大。从4个自变量的系数来看，林分密度和林分年龄对马尾松林木材积的贡献（或影响）较小，呈微弱的正相关，胸径和树高对马尾松林木材积的贡献（或影响）较大，呈显著的正相关。

与传统山本式二元材积方程相比，多元非线性混合效应材积方程的相关指数更高，估计值的标准误、平均预估误差、平均相对误差、平均相对误差绝对值和总相对偏差较小。

2.2.2 山本式二元材积模型和多元非线性混合效应模型的适应性检验

通过采用平均相对误差、平均相对误差的绝对值、绝对残差和标准偏差、总相对偏差和F统计量6个指标分别对传统山本式二元材积方程和多元非线性混合效应材积方程进行适应性检验（见表4）。结果显示，传统山本式二元材积方程的平均相对误差和总相对偏差均小于3%，平均相对误差绝对值小于10%，绝对残差和标准偏差均小于3%。多元非线性混合效应材积方程的平均相对误差、总相对偏差、平均相对误差绝对值、绝对残差和标准偏差均远小于3%。

在对两种方程进行F值检验时，分别构建了以材积观测值为因变量，材积估计值为自变量的线性方程，结果如下：

表4 多元混合效应材积模型的适应性检验Table 4 Suitability tests of Yamamoto standard volume model and multivariate mixed effect volume model

传统山本式二元材积方程：

多元非线性混合效应材积方程：

根据（14）、（15）、（16）式，分别算出传统山本式二元材积方程的F值为0.767 1，小于临界值F0.05（2，125）=3.069，多元非线性混合效应材积方程的F值为0.040 027，小于临界值F0.05（2，123）=3.070。

传统山本式二元材积方程的平均相对误差、总相对偏差、平均相对误差的绝对值以及F值均没有超出临界值范围，表明方程不存在明显的系统误差。多元非线性混合效应材积方程的平均相对误差、总相对偏差以及F值均很小，也在临界值范围之内，表明方程也不存在系统误差。传统山本式二元材积方程和多元非线性混合效应材积方程的平均相对误差的绝对值均小于10%，表明两种方程均有较好的适应性。

与传统山本式二元材积方程相比，多元非线性混合效应材积方程的平均相对误差、绝对残差、标准偏差和总相对偏差等6个指标值均较小。

从图1可看出，与传统山本式二元材积方程相比，多元混合效应材积方程的残差分布范围更小，在-0.003～0.01 m3范围内，而且残差相对随机地分布在横轴的上下两侧，也没有出现随着材积的增大而增大的趋势，基本上服从“正态、等方差”的要求。从而表明多元混合效应材积方程在预估林木材积时，比传统山本式二元材积方程精度更高。

3 结论与讨论

3.1 传统山本式二元材积模型和多元非线性混合效应模型拟合

图1 山本式二元材积方程（左）和多元混合效应材积方程（右）残差Fig.1 Residuals of Yamamoto standard volume equation (left) and multivariate mixed effect volume equation(right)

根据相关指数和估计值的标准误，可看出传统山本式材积模型拟合优度较高。总相对偏差、平均相对误差、平均预估误差和平均相对误差绝对值均小于3%，表明方程不存在趋势性的系统偏差，拟合精度较高，可较为精确地估计马尾松单木材积和林分平均材积。

通过将传统山本式二元材积方程进行对数化处理，引入样地因子（林分密度和林分年龄），构建了多元非线性混合效应材积模型。

根据模型相关指数、估计值的标准误、AIC、AICC和-2 Res Log Likelihood 5个指标显示，多元混合效应材积模型拟合效果非常好。模型总相对偏差、平均相对误差、平均预估误差和平均相对误差绝对值均远小于3%，表明方程不存在趋势性的系统偏差，可精确地估计马尾松单木材积和林分平均材积。

在模型中，胸径和树高对马尾松林木材积的贡献（或影响）较大，呈显著的正相关，这是因为胸径和树高的生长直接影响林木材积的变化。林分密度和林分年龄分别与林木材积呈微弱的正相关，这是因为他们间接影响材积的变化，随着林分年龄的增加，除了林木胸径、树高有变化外，林木干形会变得越来越饱满，林木材积也会增大；模型中林分密度系数经t检验并不显著，只是为了提高模型整体精度才被保留。它对材积的影响主要是当地林分密度大的样地一般处于山地的中下坡位，立地条件好，土壤肥力高，林木之间的竞争并不激烈。

与传统山本式二元材积方程相比，多元非线性混合效应材积模型拟合效果更好，模型精度更高。

3.2 传统山本式二元材积模型和多元非线性混合效应模型的适应性检验

通过采用平均相对误差、总相对偏差和F统计量等6个指标分别对传统山本式二元材积方程和多元非线性混合效应材积方程进行适应性检验。结果显示，传统山本式二元材积模型和多元非线性混合效应材积模型均有较好的适应性，而且，后者比前者具有更好的适应性，这是因为传统山本式二元材积方程仅仅考虑样木水平因子（胸径、树高等）对材积的作用，而多元非线性混合效应材积方程不仅考虑样木水平因子（胸径、树高等）对材积的作用，还可考虑地区水平因子（如气候条件、地理坐标等）和样地水平因子（林分密度、年龄、立地条件等）对材积的作用。传统二元材积方程的参数是固定的，而多元非线性混合效应材积方程的参数是随机的，因此，多元非线性混合效应材积方程能适用于不同立地条件、不同年龄和不同密度的林分。

总之，与传统山本式二元材积方程相比，多元非线性混合效应材积方程的拟合效果更好，精度更高，方程适用性更强。

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Establishment on multivariate mixed effects standard stand volume model ofPinus massonianaLamb trees in Nanjing area

ZHAO Hao-yan1, ZHANG Jie1, ZHANG Min-xia1, SHAO Chang-sheng2, FANG Yan1, CHEN Ge-ping1
(1. Nanjing Forest Police College, Nanjing 210023, Jiangsu, China; 2. Laoshan State Forest Farm of Nanjing City, Nanjing 211811,Jiangsu, China)

In order to accurately fi t the relationship among different diameters at breast height(DBH), heights and volumes ofPinus massonianaLamb trees in Nanjing, the related mathematical standard models were established with Yamamoto standard volume model and multivariate nonlinear mixed effects model based on the data of 531P.massonianatrees from 28 pieces 20 m×20 m square plots.The correlation indexes of the Yamamoto standard volume model was 0.964 92, the standard error of the estimate was 0.004 0, and the total relative deviation, the mean relative error, the mean estimate error, the absolute value of mean relative error were less than 3%. The correlation indexes of the multivariate nonlinear mixed effects model was 0.999 97, the standard error of the estimate was 0.000 049 85,and the total relative deviation, the mean relative error, the mean estimate error, the absolute value of mean relative error were less than 0.3%. The results show that the two models have good fi tting results and high accuracy. The adaptability test shows that the total relative deviation, the mean relative error, the mean estimate error, the absolute value of mean relative error, absolute residual error and the standard deviation were less than 3%, and theF-value of statistics of the two models were far less than critical value, which shows that the two models have better adequacy and the multivariate nonlinear mixed effects volume model has better fi tting results, higher accuracy and better adequacy than the Yamamoto standard volume model.

Pinus massonianaLamb; multivariate nonlinear mixed effect model; studying model

S758.1；S791.248 文献标志码：A 文章编号：1673-923X(2015)12-0040-06

2015-09-15

中央高校项目“苏南地区马尾松伐桩直径与树高和胸径的非线性混合效应模型的研建”（LGYB201401）；948项目“大花四照花（Cornus fl orida）新品种及高效繁育技术的引进”（2015-4-14）；南京森林警察学院《森林生态学》 精品课程培育项目（2015205）

赵浩彦，讲师，博士

张 洁，副教授，博士；Email: 282898412@qq.com

赵浩彦，张 洁，张民侠，等. 南京地区马尾松多元混合效应材积模型研建[J].中南林业科技大学学报,2015,35(12):40-45.

[本文编校：文凤鸣]