基于扩张状态观测器的导弹滑模制导律

张尧，郭杰，唐胜景，马悦悦，商巍

(北京理工大学 宇航学院，飞行器动力学与控制教育部重点实验室，北京100081)

制导律设计是导弹实现精确控制和对目标实现准确打击的基础.因此，要实现更高精度的制导律设计，就需要在原有的制导模型基础上采用更为先进的控制算法进行制导律设计.

随着控制思想的进步，相关研究提出了诸如最优制导律、滑模变结构制导律、改进比例导引等.Zhang等［1］基于线性二次调节理论，以脱靶量和攻击落角为约束，设计了空地导弹的三维最优制导律;Hexner等［2］在导弹机动加速度物理约束条件下，基于随机优化控制思想建立零化脱靶量的条件可能密度函数，提出了一种全新的最优制导律，但当导弹加速度物理约束足够大时，该方法退化为传统的最优制导律;张友安等［3］考虑到落角约束，应用Schwarz不等式得到了任意加权最优制导律的一般表达式，但导弹的落角和加速度指令受初始条件影响较大;而Zhang等［4］基于非线性积分滑模控制设计了一种变结构制导律，同时采用非线性扰动观测器对制导律目标机动加速度进行观测和控制量补偿，降低了控制量的高频振荡，实现了视线角速率在有限时间内收敛于零;朱凯等［5］基于滑模干扰观测器和比例导引律设计了一种多约束条件下的鲁棒末制导方法，该制导方法不需要测距信息和对剩余飞行时间的估算，但在制导指令生成过程中需要对导引系数不断进行自适应迭代运算，从而加大了指令计算时间和系统的复杂性;马克茂等［6］和窦荣斌等［7］均是采用滑模控制思想设计了变结构制导律，但设计过程中将系统中的不确定项视为未知有界的，使得所需控制量变大并且容易产生高频振荡现象;熊俊辉等［8］针对迎击拦截高速目标的问题，应用模糊变系数策略设计了一种全新的变结构制导律，降低了制导初期的需用过载.此外，Moosapour等［9］通过考虑自动驾驶仪动态特性，基于鲁棒设计思想提出了一种改进比例导引设计方法;王嘉鑫等［10］通过引入参考目标设计了一种新型的比例导引律，但该方法只适用于目标机动性较小的情况.

上述新型制导律虽然具备很强的优越性，但其设计增加了系统自身的复杂度，同时对于导弹运动过程中的未知量(如目标机动加速度)无法进行实时的准确测量，工程应用不强.在滑模变结构制导律设计中通过状态观测器对目标机动加速度进行估计，但实际系统中由于系统自身和外界的不确定性，导致设计前假设的目标机动加速度上限无法准确获得，独立于模型的设计能力差，人为假设的上限值会使所需的控制量变大并且可能出现高频颤振现象，打破原有的系统物理条件约束.

针对上述不足，本文以导弹拦截机动目标为背景，采用的扩张状态观测器(ESO，Extended State Observer)在独立于被控对象数学模型的基础上，通过将目标机动加速度扩张成一个新的状态而对这一新的状态量进行实时的估计和动态补偿;同时，基于滑模变结构理论提出了一种新型滑模制导律，从而实现对机动目标的精确打击.

1 导弹运动模型

1.1 模型描述

为了方便研究，考虑纵向平面内的拦截弹制导律设计问题.弹目相对运动如图1所示.图中，M和T分别表示导弹和目标的质心位置.

图1 弹目相对运动Fig.1 Missile-to-target relative motion

由弹目相对运动方程可知:

式中，r为弹目相对距离;q为弹目视线角;Vt和Vm分别表示目标速度和导弹速度.为简化数学模型，假设目标和导弹的速度大小对时间的导数=0和=0.此外，令目标和导弹的法向加速度分别为At=Vt，Am=Vm，其中θt和θm分别为目标和导弹的航迹倾角，和分别为目标和导弹的航迹倾角对时间的导数.

因此，式(1)两边对时间t求导，可得

假设1 系统(2)中各个状态变量r，q，Vr，Vλ和 θm均可直接得到［11］.

假设2 在导弹对目标实施拦截打击过程中，目标法向加速度At是未知有界的，则Atr和Atλ满足如下关系［11］:

1.2 拦截策略

式中c0为设计参数且c0＞0.令，则要实现拦截策略(4)需设计一个在有限时间内可令e趋于零的反馈控制器.该拦截制导策略的有效性证明详见文献［11］.

2 基于ESO的导弹滑模制导律设计

为了使导弹实现1.2节所述拦截策略，本文采用滑模控制理论来对导弹制导律进行设计.对于系统(2)，选取滑模面为

根据滑模运动的可达性条件，令S对时间t求导，采用如下趋近律:

式中，趋近律设计参数 k＞0，σ ＞0，0＜γ ＜1.该趋近律能够保证闭环系统(2)的状态轨迹以有限时间收敛于滑模面S的邻域内.

取闭环系统(2)的控制量u=Am，式(5)对时间求导，并联立式(2)和式(6)，则

在实际工程应用中，系统无法快速准确获得Atλ的大小.故本文采用ESO对闭环系统(2)中的未知项Atλ进行实时的观测和动态补偿.

将系统(2)中的未知项扩张为一个新的状态，构成如下所示的系统:

式中，函数η(t)为目标加速度分量Atλ的导数，则对系统(8)设计二阶扩张状态观测器，其数学模型为

式中，e1为ESO对系统状态量的观测误差;z1和z2为ESO对系统(8)的状态观测值;β01和 β02为ESO的观测增益;函数fal(·)的表达式如下所示:

其中α1和δ为ESO的设计参数.通过选择合适的β01和β02可以使得ESO能够很好地对状态Vλ和被扩张状态Atλ进行观测和动态补偿［13］.

因此，联立式(7)和式(9)可得基于ESO的导弹滑模制导律(ESMG)的控制量为

同时，本文在制导律仿真过程中考虑自动驾驶仪的动态特性，将自动驾驶仪视为二阶振荡环节，则通过自动驾驶仪输入给弹体环节的控制指令Amc满足下式:

针对本文所设计的滑模制导律，存在合适的β01，β02，α1和 δ，使得观测值 z1和 z2分别收敛于Vλ和Atλ的邻域内，通过采用控制律(11)，使闭环系统(2)中各个状态的运动轨迹以有限时间收敛于滑模面S=0附近.

3 稳定性证明

为了便于系统的稳定性分析，首先给出如下引理.

引理1［14］假设V(x)是定义域为U⊂Rn且一阶连续可导的正定函数，V·(x)+λVα(x)是定义域为U⊂Rn的半负定函数，其中α∈(0，1)，λ∈R+.则存在定义域U0⊂Rn，使得定义在U0⊂Rn上的任意V(x)均能以有限时间收敛至零.同时，若Treach为V(x)收敛至零的时间，则

式中V(x0)为V(x)的初值.

文献［15］给出了ESO的稳定性证明.此处将不再论述.当 β02取值足够大、β01取值足够小，则ESO的观测误差趋于零，也就是说ESO的观测量z1和z2分别以有限时间收敛于Vλ和Atλ的邻域内.

大量数值仿真实验表明，非线性函数fal中的参数选择 α1=1/2n－1，δ=h，其中 n 为扩张状态观测器的阶数，h为积分步长.当α1和δ确定时，根据系统的时间尺度概念，参数β0i(i=1，2)基本与积分步长有关，由工程经验可知:β01≈1/h，β02≈h2/3［15］.

针对系统(8)构造如下的Lyapunov函数:

对式(14)按时间t求导可得

假设存在一个权数0＜ε≤1，使得不等式(15)可以写成

系统收敛性得证，且S满足:

式中0＜ε0＜1.同时，函数 V收敛至零的时间Treach满足下式:

因此，当ESO稳定时，通过调节控制律中k和σ的值可使闭环系统的轨迹收敛于滑模面S=0的邻域内.

当ESO能够准确估计系统中的不确定项时，参数k和σ越大，闭环系统中各个状态量以有限时间的收敛性越好，系统所取的滑模面S越能趋近于零;然而，在实际问题中，过大的k和σ会使得控制量过大而超过导弹系统自身物理条件的限制，因此在系统参数整定时需要权衡考虑设计方法和实际物理条件对参数的影响.

4 仿真结果分析

选取导弹的初始位置为 xm(0)=0 m，ym(0)=0 m，目标的初始位置为xt(0)=20 km，yt(0)=20 km;c0=0.1;导弹导引头对视线角速率测量需经过时间常数为30 ms的一阶惯性环节;导弹的最大机动过载为20;导弹在拦截过程中速度满足下述关系:

此外，导弹自动驾驶仪的二阶动态特性相关参数为 ω =10，ξ=0.7.

在所设计的ESMG中，开关函数sgn(·)的滞后性会使控制量Am在实际仿真过程中产生高频抖振现象，进而影响了系统本身的稳定性，使导弹命中精度降低.在制导律设计时，为削弱控制量的抖振现象，采用连续函数sat(·)代替式(11)中的开关函数.

式中 δ0为消颤因子，δ0=0.01.

为验证所设计制导律的优越性，与基于有限时间收敛理论设计的导引律(FTCG)［12］进行对比，其数学模型为

式中，N＞2;β＞0;0＜n≤1;ψ为目标机动加速度的上界，ψ =100.

针对上述制导律设计方法，对下面算例中的3种情况进行对比仿真.仿真中，ESMG的模型参数统一取为:γ =0.5，k=1.25，σ =1.2，β01=50，β02=100，α1=0.2，δ=0.15.

算例1 目标作法向加速度为At=10g sin t(单位:m/s2)的高速机动.

1)迎击拦截速度为480 m/s的目标.

针对这种情况，取导弹的初始航迹角分别为θ =90°，45°，0°，FTCG 中 N=3.3，β =10，n=0.5，导弹与目标的运动曲线如图2(a)所示.不同初始航迹角下，ESMG得到的脱靶量分别为 0.16，0.96，0.82 m，而 FTCG 得到的脱靶量分别为0.53，1.38，1.48 m.

2)尾追拦截速度为480 m/s的目标.

针对这种情况，取导弹的初始航迹角分别为θ =90°，45°，0°，FTCG 中 N=10，β =10，n=0.5，导弹与目标的运动曲线如图2(b)所示.不同初始航迹角下，ESMG得到的脱靶量分别为 0.70，0.16，0.03 m，而 FTCG 得到的脱靶量分别为8.02，5.31，4.06 m.

3)前向拦截速度为1100 m/s的目标.

针对这种情况，取导弹的初始航迹角分别为θ =90°，45°，0°，FTCG 中 N=10，β =10，n=0.5，导弹与目标的运动曲线如图2(c)所示.不同初始航迹角下，ESMG得到的脱靶量分别为1.26，1.31 m，而 FTCG 得到的脱靶量分别为10.05，11.37 m.

算例2 为进一步验证ESMG在目标的法向加速度非周期变化时的有效性，考虑Case 1中的3种拦截方式对非周期高速机动目标进行拦截.目标法向加速度如图3所示.

1)迎击拦截速度为480 m/s的目标.

取导弹的初始航迹角与制导律中相关参数同算例1，导弹与目标的运动曲线如图4(a)所示.不同初始航迹角下，ESMG得到的脱靶量分别为0.47，0.76，0.68 m，而 FTCG 得到的脱靶量分别为 8.16，8.15，8.17 m.

图2 算例1中弹目相对运动曲线Fig.2 Curves of relative motion between missile and target in Case 1

图3 目标法向加速度Fig.3 Normal acceleration of target

2)尾追拦截速度为480 m/s的目标.

取导弹的初始航迹角与制导律中相关参数同算例1，导弹与目标的运动曲线如图4(b)所示.不同初始航迹角下，ESMG得到的脱靶量分别为1.47，1.14，1.49 m，而 FTCG 得到的脱靶量分别为 14.23，14.31，14.17 m.

3)前向拦截速度为1100 m/s的目标.

取导弹的初始航迹角与制导律中相关参数同算例1，导弹与目标的运动曲线如图4(c)所示.不同初始航迹角下，ESMG得到的脱靶量分别为0.41，0.52 m，而 FTCG 得到的脱靶量分别为9.72，10.17 m.

图4 算例2中弹目相对运动曲线Fig.4 Curves of relative motion between missile and target in Case 2

由上述对比仿真结果可以看出，ESMG使导弹在拦截时间和脱靶量方面均要小于FTCG.同时，针对不同的初始航迹角和拦截方法，ESMG表现出在导弹运动方面更强的鲁棒性，导弹运动轨迹和脱靶量受拦截初始条件的不同影响更小.ESMG可以使导弹在不同拦截策略下以更大的精度对高速机动目标实施拦截打击.

由于篇幅所限，图5仅给出了初始航迹角θ=90°时导弹以上述3种拦截方式拦截目标的法向过载变化曲线，虽然在导弹运动初期ESMG对导弹的需用过载要求比较大，但在导弹真正实施对机动目标的拦截打击末制导段时，ESMG所需的最大过载小于FTCG.因此，ESMG降低了导弹拦截末段的需用过载，提高了导弹武器的可靠性，在导弹可用过载一定的情况下，能够使导弹有效地攻击机动性更高的目标.

图6给出了初始航迹角为θ=90°时导弹迎击拦截机动目标时导弹控制输入量变化曲线，由于仿真中考虑自动驾驶仪的二阶动态特性，控制量Am的真实响应具有一定的振荡和时滞特性，间接验证了所设计制导律的实用性.

如图7所示，采用所设计的状态反馈控制律能够保证滑模面在有限时间内趋近于零，从而实现对导弹所设计的拦截策略(2).

图5 不同拦截方式(θ=90°)下导弹法向过载变化曲线Fig.5 Curves of missile normal overload in different intercepting ways(θ=90°)

图6 控制输入量变化曲线Fig.6 Variation curves of control input

图7 滑模面变化曲线Fig.7 Variation curves of sliding mode surface

图8为ESO对未知目标加速度的观测曲线.通过ESO对目标加速度的实时观测和补偿，实现了降低导弹拦截末端需用过载的目的.

图8 ESO对未知项加速度的观测曲线Fig.8 Curves of estimated value of ESO to acceleration of unknown term

5 结论

本文在传统变结构制导律的基础上提出了一种新的滑模制导律，经仿真验证表明:

1)本文所设计制导律中的扩张状态观测器能够实时地对目标机动加速度进行跟踪观测和反馈补偿，达到了减小导弹打击过程中需用过载的目的.

2)针对导弹采用不同的拦截策略打击各种快速高机动目标的问题，本文所设计的制导律能够保证导弹以更短的时间、更小的末端需用过载实现对目标的精确打击.

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