震荡随机共振的信噪比增益研究与电路仿真

任昱昊，季 冰，许丽艳，段法兵

（青岛大学复杂性科学研究所，山东 青岛266071）

0 引言

随机共振是由意大利学者Benzi等在1981年发现的一种非线性现象［1］，解释了地球每隔十万年的冰期与暖期交替的周期性。随机共振理论提出了一种新的观念：噪声不是完全有害的，而是在一定条件下，能够增强弱信号的传输，提高系统对于输入信号的反应能力，如输出信号的信噪比。1983年，Fauve和Heslot［2］在施密特触发器电路中证实了随机共振现象，实验结果表明在加性噪声强度到达某个合适的值时，输出信噪比会达到一个峰值。1988年，McNamara等［3］在环形激光器中同样发现了随机共振现象，并给出了随机共振的绝热近似理论。随后，随机共振理论与应用的研究渐渐成为30年来非线性科学领域的研究热点之一，在电子电路系统［4－5］、神经生物学［6］、图像语音处理［7］、神经元网络［8］、化学反应过程［9］、地震学研究［10］等诸多领域中取得了众多理论与实践成果。

在电路系统和信号处理领域，随机共振现象的相关研究已取得丰硕成果。1995年Collins等［8］研究了神经网络信息处理模型中的并联阵列随机共振，将信号加入并联的混有噪声的子系统之后，得到比信号通过单一子系统更好的信号输出结果。从此，阵列随机共振的研究逐渐兴起，系统结构和噪声的积极作用相互结合提高系统性能的观点得到重视。在相关的电路研究领域［11］，1997年，Chapeau－Blondeau和Godivier［12］提出了非线性无记忆系统中随机共振的一般理论框架，以及系统输出信噪比的数值计算方法。2000年，Chapeau－Blondeau［13］又发现加入非高斯噪声诱发的阵列随机共振方法能够提高输出信噪比增益。2006年，Duan等［14］证明了并联的子系统数量趋于无穷时，输出信噪比的计算可转化为任意两个子系统的统计性能分析。孙婧等［15］研究了亚阈值信号和超阈值信号通过混有噪声的阵列子系统后的信噪比增益，证明了上述结论。2002年Chialvo等［16－17］研究了噪声对于神经元响应的影响，发现了震荡随机共振现象，随后在电路研究当中，同样也证实了魅随机共振现象的存在［18－19］。所谓震荡随机共振现象，就是将频率分别为f＋kf0的高频干扰加入到系统中，使得系统输出在频率f0处产生随机共振，以提高系统对于含频率f0输入信号的响应能力。

本文是以上述研究的结果为基础，进一步对比研究了阵列随机共振与震荡随机共振在提高输出信噪比方面的性能以及电路实现。由于实际的信号传输过程中，纯净的输入信号在到达系统之前，一般会被噪声所污染。因此，本文考虑真实的输入由信号和外部噪声组成的，电路系统为并联的硬限幅子系统，硬限幅电路实在通讯、雷达等信息处理领域应用非常广泛的一种非线性电路。在每个硬限幅子系统加入了与外部噪声无关，强度、分布均相同，但相互独立的内部噪声。然后，将每个子系统的输出取算术平均，就得到了阵列的输出信号。输出输入的信噪比增益的计算结果表明，在信号、噪声、非线性系统的协同作用下，信噪比增益存在大于1的区域，并且进一步在此电路系统中证明了无限并联系统阵列的信噪比增益问题可由任意两个子系统的统计性能来实现。由于实际电路系统中内部噪声有时不能加以控制，本文还着重研究了将高频信号看作内部噪声（干扰）的震荡随机共振现象，人为添加高频干扰到电路子系统中，进一步提高阵列的输出输入信噪比增益。在传统的信号处理领域中，高频信号往往只作为输入信号的载波，通过调制和解调来达到信号通信的目的。而在本文当中，高频干扰信号的作用与阵列随机共振系统中噪声的作用相同，研究由正弦高频信号诱发的魅随机共振具有实际意义与应用价值。本文对震荡随机共振现象进行了PSpice电路仿真，得出的结果与数值模拟相吻合，进一步在实践层面证实了上述实验结果。

1 并联电路系统与信噪比增益

本文所采用的并联电路系统是由N个并联的硬限幅符号电路子系统组成的，每一个子系统的输入输出满足关系式，这里，θ为阈值。实际电路图如图1所示。

图1 硬限幅并联电路子系统图（N＝1）Fig.1 The circuit diagram of a hard limiter sub－system （N＝1）

每个子系统的共同输入都是一个正弦和噪声的混合信号s（t）＋ξ（t），ξ（t）为外部噪声。子系统的内部相互独立的噪声设为ηi（t），与ξ（t）不相关，且ηi（t）和ηj（t）强度与概率密度分布相同。则子系统的输出可表示为

系统的总输出y（t）可表示为

y（t）可看作其非稳态均值E［y（t）］与围绕E［y（t）］的稳态波动（t）之和，即

为计算系统输出的自相关函数，引入时间延迟τ，可得二阶非稳态相关函数

对其进行时间平均后，可得系统输出y（t）的自相关函数Ryy（τ）

其中，自协方差函数为

由维纳－辛钦定理，y（t）的功率谱密度可以计算为

y（t）的非稳态方差可表示为var［y（t）］＝E［y~（t）y~（t＋τ）］，对其进行时间平均，可得

特别地，并联的子系统数量N→∞时，有

将式（12）与（13）代入式（10）与（11）可知，并联子系统数量N→∞时的输出信噪比，可以由任意两个子系统的统计性能来计算。

2 实验结果和PSpice电路仿真

利用上述理论公式，本文对于若干硬限幅符号电路组成的并联阵列的输出输入信噪比增益进行了数值仿真和PSpice电路仿真。

如图2a所示，输入信号为频率f＝100Hz，幅值为0.3V的正弦信号，外部噪声高斯白噪声，方差给定为0.752，内部噪声为均布噪声。取子系统数量N＝1，2，5，10，100和∞，作出信噪比增益与内部噪声强度的函数关系图。从图2a中可以看出，随着内部均布噪声强度增大，信噪比增益先增大，在达到最大值后又减小，出现阵列随机共振现象。同时，随着阵列子系统数目增加，信噪比增益也随之增大，当子系统数目趋于无穷时，信噪比增益趋近于1。

图2b表示了频率为f＝100Hz，幅值为0.5V的正弦输入信号，外部噪声为给定方差的均布噪声，通过调谐子系统内部均布噪声强度，得到的阵列输出输入信噪比增益曲线。这里阵列数目取 N＝1，2，5，10，100和∞。从图2b中可以看出，随着内部噪声强度增大，信噪比增益同样出现随机共振现象。特别地，当阵列数目N取10、100和∞时，图2b中可以观测到信噪比增益大于1的区域。

图2 并联阵列信噪比增益随内部均布噪声强度变化曲线Fig.2 SNR gain as a function of the internal uniform noise root－mean－square（RMS）amplitude

由图2可以看出，若系统外部加入高斯噪声，信噪比增益不会超过1，当系统外部加入了非高斯噪声时，信噪比增益才有可能大于1［18］。这一理论结果已经在我们前期工作中进行了证明［18］，这里利用电路系统进行了实验验证。而且，当子系统数量N给定时，随着系统内部噪声强度的增加，信噪比增益出现双峰值现象，如图2b所示。

在电路仿真实验中，发现对于每个子系统加入内部噪声并对其强度进行调谐的实验工作不容易实现，这也造成了阵列随机共振实现增强输出信噪比的目的难以实现。这里利用震荡随机共振机制对于并联电路的性能进行改进，每个子系统中加入高频干扰的方法是比较容易实施的。考虑输入信号频率为f＝100Hz，幅值为0.5V的正弦信号，外部噪声为均布噪声，方差给定为1／。在每个子系统内部加入如下高频正弦干扰信号，频率依次为（2＋0.1k）kHz，幅值为。取子系统数量N＝1，2，5，10，100，作出信噪比增益与内部噪声强度的函数关系，如图3所示。这里子系统内加入的正弦信号的作用类似于以往随机共振研究中噪声的作用，即将高频信号看作噪声的一种。

从图3中可以看出，子系统内部加入高频信号噪声对输入信号的影响与加入噪声的情形类似，系统输入输出信噪比增益出现了共振现象。特别值得指出的是，同样的外部噪声和输入信号条件下，加入高频信号噪声的方法优于加入非高斯噪声，我们能够得到更高的系统输出输入信噪比增益。虽然二者的信噪比增益最大值相近，都能达到1.2左右，但在图3中，利用调谐高频干扰幅值的方法能够在并联子系统数目N＝5时，得到的信噪比增益就已接近于1，当系统数目N＝100时，得到的信噪比增益就能达到加入阵列随机共振方法中系统数目N→∞的增益水平。由图3还可看出，与图2中在子系统内部加入均布噪声时的情况类似，信噪比增益同样出现了双峰现象。这是由于正弦信号也可看作一种具有概率密度的随机变量，其概率密度与均匀分布的概率密度相似，都具有边界性。另外，从实际电路设计的方便程度来讲，加入特定频率的高频正弦干扰信号较之加入特定噪声，更容易实现。这些优点意味着震荡随机共振方法比利用传统随机共振方法具有更加广泛的潜在应用价值。

针对图3中N＝1，2，5，10，100的情况，我们利用PSpice电路仿真软件进行了实验证实，结果如图4和图5所示。在图4中，从上到下的3个图形分别为a）输入信号波形、b）输入信号通过硬限幅阵列电路的输出波形和c）通过N＝5并联系统后的非稳态输出均值的时间波形。由图4b和图4c可以看出，硬限幅并联系统相当于一个模数转换电路，将输入的模拟量转化为了具有2 N＋1个状态的数字量。随着并联系统个数的增加，电路输出的状态能够不断逼近输入信号的特征，到趋向于无穷时，从统计的角度上就能够还原输入信号。当然，随着并联阵列数目的增加，实际电路的实现也愈加困难。由图4还可看出，系统的输出波形出现了与信号周期f相同的漂移干扰。经研究发现，这种漂移现象是加入相同相位且频率相差不甚大的高频干扰导致的。当N比较小时，现象更加明显，随着N的增大，到N＝100时，已几乎看不到漂移现象。这种漂移现象的周期之所以与信号周期相同，是因为信号周期是所有高频干扰周期的公倍数，这样造成震荡随机共振的同时，也产生了图中所示的漂移干扰。要想避免或降低这类漂移，可以采取以下两种措施：增大子系统数量N和增大高频干扰之间的差fk－fk－1。

如图5所示，输入信号s（t）＝0.5sin（200πt），外部噪声ξ（t）为强度σ2＝1的均布噪声。内部高频干扰η（t）＝每个子系统的频率fN满足fn＝（2＋0.1＊n）kHz。分别对阵列数目为N＝1，2，5，10，100的电路系统进行了PSpice仿真。图中自下而上的连续曲线分别对应了子系统数量为N＝1，2，5，10和100时，系统输出输入信噪比增益随高频噪声强度变化曲线。离散数据点为PSpice电路仿真得到的信噪比增益。可以看出，PSpice电路仿真所得到的结果与数值计算的结果相吻合，呈现典型的震荡随机共振现象，并且在合适的内部高频干扰强度下，输出－输入信噪比增益可以大于1，阵列随机共振中双共振区域也得到了证实。

图3 外部加均布噪声，并联阵列信噪比增益随高频干扰的强度变化曲线Fig.3 SNR gain as a function of the internal high frequency interference signal amplitude.Here，the external noise is uniform noise

图4 PSpice电路仿真的相关波形的强度变化曲线Fig.4 Simulation result of the PSpice simulation experiment

图5 PSpice电路仿真信噪比增益随高频噪声强度的变化Fig.5 SNR gain as a function of the internal high frequency interference signal amplitude in the PSpice simulation experiment

3 结论

本文着重研究了并联阵列硬限幅电路中的震荡随机共振与阵列随机共振现象，输入信号为被噪声污染的正弦信号，通过并联的硬限幅电路组成的阵列，受到系统外部噪声、系统内部高频干扰信号、非线性电路系统的协同作用，产生了系统输出输入信噪比增益随着干扰强度增加而出现峰值区域的现象。数值仿真以及PSpice电路仿真证明，当并联子系统数目增加时，输出输入信噪比增益也相应增加，且信噪比增益存在大于1的区域。对子系统内部加入高频干扰作为噪声的震荡随机共振方法，与调节阵列内部噪声强度的传统随机共振方法相比，能够得到更优的信噪比增益，而且实际电路实现起来也更为简便实用。这些研究成果印证了阵列随机共振的相关理论，并且对利用噪声或高频干扰进行信号处理的应用研究具有重要意义。

本文的研究目前局限于电路并联系统的情形，对于实际中更为复杂的子系统结构，如层次网络结构，值得进行深入研究。噪声或干扰仅仅考虑了高斯噪声、均布噪声和正弦高频干扰，其他电子电路中常见的噪声类型，如散弹噪声，约翰逊噪声等，需要做更深入的研究探讨，为震荡随机共振的理论和实际应用提供更好的实验证据。此外，在子系统内部加入均布噪声和高频干扰的实验中，信噪比增益都呈现双峰值现象，在今后的研究中，需要给出这类现象的理论分析与证明。

［1］ Benzi R，Sutera A，Vulpiani A.The mechanism of stochastic resonance［J］.J Phys A：Math Gen，1981，14（11）：453－457.

［2］ Fauve S，Heslot F.Stochastic resonance in a bistable system［J］.Phys Lett A，1983，97（12）：5－9.

［3］ McNamara B，Wiesenfeld K，Roy R.Observation of stochastic resonance in a ring laser［J］.Phys Rev Lett，1988，60（25）：2626－2629.

［4］ Ueda M.Improvement of signal－to noise ratio by stochastic resonance in sigmoid function threshold systems，demonstrated using a CMOS inverter［J］.Phys A，2010，389（10）：1978－1985.

［5］ Hellen E H，Dana S K，Kurths J，et al.Noise－Aided logic in an electronic analog of synthetic genetic networks［J］.PLoS ONE，2013，8（10）：e76032.

［6］ Wiesenfeld K，Moss F.Stochastic resonance and the benefits of noise［J］.Nature，1995，373（6509）：33－36.

［7］ Ditzinger T，Stadler M，Struber D，et al.Noise improve three－dimensional perception：stochastic resonance and other impacts of noise to the perception of auto stereograms［J］.Phys Rev E，2000，62（2）：2566－2575.

［8］ Collins J，Chow C，Imhoff T.Aperiodic stochastic resonance in excitable systems［J］.Phys Rev E，1995，52（4）：3 321－3 324.

［9］ 周宝晶，杨灵法，辛厚文.Pt（100）／NO ＋ CO体系随机共振的理论研究［J］.高等学校化学学报，1999，20（3）：428－431.Zhou Baojing，Yang Lingfa，Xin Houwen.Theoretical study on stochastic resonance in Pt（100）／NO＋CO system［J］.Chemical Journal of Chinese Universities，1999，20（3）：428－431.

［10］郑文衡，张国安，陈俊华.用随机共振理论解释地震孕育过程与地震发生现象中的一个显著特征［J］.地震研究，1998，21（3）：12－15.Zheng Wenheng，Zhang Guoan，Chen Junhua.Interpretation of the remarkable character in earthquake preparation and occurrence process from the theory of random resonance［J］.Earthquake Research，1998，21（3）：12－15.

［11］Liu Z，Lai Y，Nachman A.Enhancement of noisy signals by stochastic resonance［J］.Phys Lett A，2002，297（1）：75－80.

［12］Chapeau－Blondeau F，Godivier X.Theory of stochastic resonance in signal transmission by static nonlinear systems［J］.Phys Rev E，1997，55（2）：1478－1495.

［13］Chapeau－Blondeau F.Nonlinear test statistic to improve signal detection in non－gaussian noise［J］.IEEE Signal Processing Letters，2000，7（7）：205－207.

［14］Duan F，Chapeau－Blondeau F，Abbott D.Noise－enhanced SNR gain in parallel array of bistable oscillators［J］.Electron Lett，2006，42（17）：1008－1009.

［15］孙婧，段法兵.复杂随机系统的信噪比增益研究与阵列随机共振［J］.复杂系统与复杂性科学，2006，3（2）：50－54.Sun Jing，Duan Fabing.Signal－to－noise ratio gain in complex random systems and array stochastic resonance［J］.Complex Systems and Complexity Science.2006，3（2）：50－54.

［16］Chialvo D R，Calvo O，Gonzalez D L，et al.Subharmonic stochastic synchronization and resonance in neuronal systems［J］.Phys Rev E，2002，65（5）：050902（R）

［17］Chialvo D R.How we hear what is not there：a neural mechanism for the missing for the missing fundamental illusion［J］.Chaos，2003，13（4）：1226－1230.

［18］Calvo O，Chialvo D R.Ghost stochastic resonance in an electronic circuit［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2006，16（3）：731－735.

［19］Noguchi T，Torikai H.Ghost stochastic resonance from an asynchronous cellular automaton neuron model［J］.Circuits and Systems II：Express Briefs，2013，60（2）：111－115.

［20］Ma Y，Duan F，Chapeau－Blondeau F，et al.Weak－Periodic stochastic resonance in aparallel array of static nonlinearities［J］.PLoS ONE，2013，8（3）：e58507.