基于Schur引理证明方法的矩阵酉三角化
鲜思东,薛文婷,卢崇霞,罗海燕
(重庆邮电大学理学院,重庆 400065)
摘要:在Schur引理3种证明方法的基础上,给出了矩阵酉三角化的3种方法.
关键词:Schur引理;酉矩阵;三角化
文章编号:1007-2985(2015)05-0001-06
收稿日期:2014-12-20
基金项目:重庆市研究生教育教学改革项目(YJG143010,YJG133006,YJG142009,YJG152016,1202033);重庆邮电大学校级教学研究项目(XJG1328)
作者简介:鲜思东(1971—),男,四川南部人,重庆邮电大学理学院教授,硕士生导师,主要从事统计分析建模与不确定优化决策等研究.
中图分类号:O151.21文献标志码:A
DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.05.001
定义1 [1-3]设A,B∈Cn×n(或Rn×n),若存在U∈Un×n(或En×n),使得UHAU=U-1AU=B(或UTAU=U-1AU=B),则称A酉相似(或正交相似)于B.
引理1 [3]n阶λ-矩阵A(λ)与B(λ)等价的充要条件是它们的秩相等和有相同的初等因子.
引理2 [3]设A,B是2个n阶数字矩阵,则A~B的充要条件是(λE-A)≃(λE-B).
引理3 [3-4]设A∈Cn×n,A的初等因子为(λ-λ1)n1,(λ-λ2)n2,…,(λ-λs)ns,则A~J.其中,
引理4上(下)三角可逆矩阵的逆矩阵也是上(下)三角矩阵.
引理52个上(下)三角矩阵的乘积还是上(下)三角矩阵.
下面,先给出Schur引理,再给出3种证明方法:数学归纳法、特征向量法和若当矩阵法.
定理1 [3] (Schur引理)任何一个n阶复矩阵A酉相似于一个上(下)三角矩阵.
证明方法1(数学归纳法)[3]当n=1时,定理1显然成立.
令U1=(α1,α2,…,αk),则显然U1是一酉矩阵,且
方法2(特征向量法)设A的特征值为λi,特征子空间Vλi的基为αi1,αi2,…,αisi,i=1,2,…,r.
令P1=(α11,α12,…,α1s1,…,αr1,αr2,…,αrsr),则
①当A的这n个线性无关的特征向量是Cn的一个标准正交基,即P1∈Un×n时,定理1成立;
②当A的这n个线性无关的特征向量不是Cn的一个标准正交基,即P1∉Un×n时,应用Schmidt正交化方法将得到Cn的一组标准正交基β1,β2,…,βn,并且α11,α12,…,α1s1,…,αr1,αr2,…,αrsr与β1,β2,…,βn满足
(β1,β2,…,βn)=(α11,α12,…,α1s1,…,αr1,αr2,…,αrsr)Q,
其中Q是以上三角可逆矩阵.
AP1= (Aα11,Aα12,…,Aα1s1,…,Aαr1,Aαr2,…,Aαrsr,Aαm+1,…,Aαn)=
(λ1α11,λ1α12,…,λ1α1s1,…,λrαr1,λrαr2,…,λrαrsr,Aαm+1,…,Aαn).
其中
所以
(1)当α1,α2,…,αn是Cn的一组标准正交基时,由于Jordan矩阵J已经是上三交矩阵了,因此定理1得证.
(2)当α1,α2,…,αn不是Cn的一组标准正交基时,应用Schmidt正交化方法将得到Cn的一组标准正交基β1,β2,…,βn,并且α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn满足(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)Q,其中Q是以上三角可逆矩阵.
令U=(β1,β2,…,βn),则U=PQ,故UHAU=U-1AU=Q-1P-1APQ=Q-1JQ=B.由引理4和引理5知,B是一上三角矩阵.
在用上述3种方法证明Schur引理的过程中,其实也给出了寻找酉矩阵U的过程.下面,通过一个例子详细介绍运用3种方法将矩阵三角化的过程.
解方法1(数学归纳法)
于是,得其特征值为λ1=λ2=λ3=-1.
令
方法2(特征向量法)
方法3(若当矩阵法)
当λ=-1时,
计算结果为ν0=0,ν1=2,ν2=3,m0=2.
基于此,A的属于(σ=3)重特征值λ的有广义特征向量组分块如表1所示.
表1 矩阵A的属于(σ=3)重特征值λ的广义特征向量分块
因此
通过例1可以看出,3种方法均能求出将矩阵A上三角化的酉矩阵U,但存在一些区别和联系.具体为:
(1)通过不同的方法找到的酉矩阵U有可能不相同,并且上三角矩阵也可能不相同;
(2)通过相同的方法找到的酉矩阵U也可能不相同,得到的上三角矩阵也会不相同.
不论利用哪种方法找到的酉矩阵U,使得UHAU是上三角矩阵,这些上三角矩阵对角线上的元素是相同的,都是A的特征值,并且λi(i=1,2,…,r)的个数为它的代数重数.
参考文献:
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[4]袁晖坪,陈尚杰.酉对称矩阵的Schur分解[J].西南大学学报:自然科学版,2012(10):12-15.
Unitary Triangularization for Matrix Based on Schur Lemma
XIAN Sidong,XUE Wenting,LU Chongxia,LUO Haiyan
(School of Mathematics and Physics,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China)
Abstract:This paper gives the three methods of the unitary triangularization matrix based on the three proving methods of Schur lemma.
Key words:Schur lemma;unitary matrix;triangularization
(责任编辑向阳洁)