对2015年高三模拟题中探究题型的几点探究

◆江西省九江外国语学校 袁江毅

对2015年高三模拟题中探究题型的几点探究

◆江西省九江外国语学校 袁江毅

探究性问题在近几年的高考真题和模拟题中出现频率非常高，命制此类问题主要以能力立意为指导思想，考查学生对知识的综合把握并融会贯通各种数学解题技巧及数学思想方法的运用，将知识、能力与综合素质融为一体，倍受青睐而且成为压轴题的首选。通过研究2015年各地高考真题以及模拟试题，总结该类问题常见的几种情况及解决此类问题的基本思路，本文以2015年高三模拟题中探究题型为例，总结出该类题型常见的几种情况。

探究题型；函数；数学思想

近几年，探究性问题在高考真题和模拟题中出现频率非常高。命制此类问题主要以能力立意为指导思想，考查学生对知识的综合把握并融会贯通各种数学解题技巧及数学思想方法的运用，将知识、能力与综合素质融为一体。通过研究2015年各地高考真题以及模拟试题，总结该类问题常见的几种情况及解决此类问题的基本思路，以便更好地把握高考发展的动向，让学生能够更轻松地面对复杂的高考复习。

一、以熟知的函数性质或函数问题为架构，对参数的取值进行探究

样题1：已知函数f（x）=x2-（a+2）x+a In x，其中常数a＞0，设定义在D上的函数y=h（x）在点处的切线方程为l：y=g（x），若在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”。当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”。若存在，请至少求出一个 “类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由。

思路点击：本题不论是从函数类型还是涉及的函数内容角度欣赏都非常像高考题，探究型问题使题目颇显时尚和有档次，不过越是华丽的题目，解法往往越平易近人。所以，对待此类题型，在平日的复习中还是要多从基本的技巧和基本的思想方法下功夫。

解析：当a=4时， f（x）=x2-6x+4In x，则得函数在点处的切线方程6x0+4In x0。

若函数f（x）=x2-6x-4In x存在“类对称点”P（x0，f（x0）），则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立；当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立。

①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，

等价于当0＜x＜x0时（x-x0）+x02-6x0+4In x0恒成立。即当0＜x＜x0时，x0x2-（2x02+4）x+4x0·In x+x03+4x0-4x0·In x＜0恒成立，令φ（x）=x0x2-（2x02+4）x+4x0·Inx+x03+4x0-4x0· In x，则φ（x0）=0，要使φ（x）＜0在0＜x＜x0时恒成立，只要φ（x）在（0，x0）上单调递增即可。

②同理，当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立，解得存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标是

评析：导数的加盟，大大拓展了命制函数类探究题的空间。从例题中看出，函数类的探究题的解决离不开函数中的主体知识，因此夯实函数“三基”就能以不变应万变。注意“构造思想”“分类讨论思想”等技巧的应用。

二、从等差、等比数列常规问题入口，命制开放型与存在型试题

样题2：已知数列{an}，{bn}中，对任何正整数n都有：

（1）若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{bn}是等比数列；

（2）若数列{an}是等差数列，数列{bn}是首项为2的等比数列，设{bn}的前n项和为Sn，是否存实数λ，使得λan≤Sn对一切n∈N+都成立？若存在，请求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由。

思路点击：数列型的探究题型都以数列的主干知识为依托，用求解数列类问题的常规思路探寻解题途径。由于数列本质就是一种特殊的函数，所以在探究题型中常与含参数的函数恒成立问题联系起来，综合分类讨论、数形结合、转化与化归思想，问题新颖灵活，从数学能力方面立意，难度中等偏上，是较有区分度的综合性问题。

解析：（1）依题意，得数列{an}的通项公式是an=n，故已知等式即为

同时有，bn-1+2bn-2+3bn-3+……+（n-2）b2+（n-1）b1=2n-n-1（n≥2）

两式相减，可得bn+bn-1+……+b2+b1=2n-1，

可得数列{bn}的通项公式是bn=2n-1，知数列{bn}是首项1，公比为2的等比数列。

（2）设等比数列{bn}的公比为q，则bn=2qn-1，从而有

由于{an}是等比数列，则an-1-an是常数，故q=2，所以等差数列{an}的首项为公差为从而假设存在实数λ，使得λan≤Sn对一切n∈N+都成立，即（2n-1）对一切n∈N+都成立，即对一切n∈N+都成立，得N+），即λ≤4。所以存在λ≤4，使得λan≤Sn对一切n∈N+都成立。

评析：本题从学生熟悉的等差、等比数列的常规问题入手，考查由数列和到通项的过程以及数列求和的常规方法，探究题型还是以函数恒成立问题为主，区分度较明显，由浅入深，重在数列知识的细节问题处，难易得当。

三、以新增知识为媒介，命制结论开放的探究型新题

样题3：已知

甲同学利用Tn设计了一个程序框图，如图所示，但乙同学认为这个程序如果被执行将会是一个“死循环”（即程序会永远执行下去，而不会结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由。

思路点击：框图是新课改后的新增知识，难度不大，只要能够读懂程序框图的逻辑顺序即可，学生的重视程度不大，但近期对于框图的研究也有了新的亮点，抓住框图的逻辑性的特点，以及它与函数、数列等知识的综合，新题也层出不穷，综合性题型更是体现无遗。

评析：框图题型作为新课改后出现的新增知识，这几年各地高考的必考题，此类知识一直都是学生的得分点，同时也是比较容易出错的地方，框图题型的特点，决定它较强的综合性，探究性的问题是一个值得学生应该重视的题型，问题新颖独特，重在考查学生的综合能力和对新知的接受与变通的能力。

四、以圆锥曲线为舞台，命制异彩纷呈的结论开放性的探索型题

（1）求椭圆的方程；

思路点击：充分应用圆锥曲线的性质，以及利用传统解析几何的解题思路，首先，用特例猜测可能的定点，然后，通过一般情况证明定点的正确性，从而找到问题的结论。

解析：（1）∵△F1F2M为等腰直角三角形，椭圆的方程为又∵椭圆经过点代入可得故所求的椭圆方程为

当l与x轴垂直时，易知A，B是椭圆的短轴的两端点，∴以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，由解得即两圆相切于点（0，1），因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）。事实上，点T（0，1）就是所求的点。

证明如下：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1），当直线l不垂直于x轴时，可设直线的方程为由消去y，得（18k2+9）x2-12kx-16=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则又即以AB为直径的圆恒过点T（0，1），∴在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件。

评析：解析几何是探究型、开放性问题的大户室，五彩缤纷的概念和性质给命制开放性问题提供了广阔的舞台，然而，这类题型的探索思路是一成不变的：用代数方法（方程组）研究几何问题（曲线间的位置关系）。

总之，探究型试题难度较大，对学生的能力要求较高且区分度较强，只要我们能够了解该类问题解决的常规方法，灵活运用数学常见的解题技巧，就可以深刻地感受到此类问题无处不在地体现出分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的思想。学生通过对此类问题的训练一定会在数学能力和数学素养上有质的飞跃。

（编辑：胡 璐）

袁江毅，江西省九江外国语学校中教一级教师，多次参加市里的各项教师技能大赛并获得一等奖，曾发表多篇论文，并荣获省市一等奖，曾多次参与课外权威参考书的编写。

G633.6

A

1671-0568（2015）34-0134-03