交换半环上上三角矩阵代数的广义Jordan导子

庄金洪

（福建商业高等专科学校基础部，福建福州350012）

交换半环上上三角矩阵代数的广义Jordan导子

庄金洪

（福建商业高等专科学校基础部，福建福州350012）

探讨了交换半环上上三角矩阵代数的广义Jordan导子的刻画问题，证明了交换半环R上的上三角矩阵代数Tn（R）到Tn（R）-双模M的每个广义Jordan导子都可以分解成一个广义导子和一个反导子之和。

交换半环；上三角矩阵代数；广义Jordan导子；广义导子；反导子

1　预备知识

关于Jordan导子和广义Jordan导子已经有很多研究[1-10]。Herstein[1]证明了定义在特征不等于2的素环上的每个Jordan导子都是导子；D.Benkovic[2]证明了交换幺环R上的上三角矩阵代数Tn（R）到Tn（R）-双模M的每个Jordan都可以分解成一个导子和一个反导子之和；庄金洪等在文献[3]中将D.Benkovic的结论推广到交换半环上。邵霞等在文献[4]中证明了从含单位元的交换环上的上三角矩阵代数到其双模的每个广义Jodan导子是一个广义导子和一个反导子的和。那么，对于含有单位元交换半环R，每个定义在上三角矩阵代数Tn（R）到Tn（R）-双模M的广义Jodan导子是否也可分解成广义导子和反导子之和？本文旨在研究这个问题，并得到肯定的回答。

定义1[10]设R是一个非空集合，“+”与“·”是定义在R中的两个代数运算。如果

（1）（R，+，0）是一个交换幺半群，其中0为R的加法恒等元；

（2）（R，·，1）是一个幺半群，其中1为R的乘法恒等元；

（3）对任意的a，b，c∈R，均有a·（b+c）=a·b+a·c，（a+b)·c=a·c+b·c;

（4）∀a∈R，0·a=a·0=0

（5）0≠1。

则称R为一个半环，记为（R，+，·，0,1）或简记为R。其中加法恒等元0称为半环R的零元，而乘法恒等元1称为R的单位元，通常a·b简记为ab。

半环R称为交换半环，如果∀a，b∈R，均有ab=ba。

定义2[10]设R是一个半环，（M，+，0M）是一个交换幺半群，若有一个从R×M到M的映射（r，m）→rm，若满足下列5个条件，对于任意的r，r'∈R;m，m'∈M,均有

（1）r（m+m'）=rm+rm'；

（2）（r+r'）m=rm+r'm；

（3）（rr'）m=r（r'm）;

（4）1Rm=m;

（5）r0M=0M=0Rm;

则称M为半环R上的一个左半模，简称左R-半模。

类似地，可定义半环R上的右半模。

设R和S时半环，（M，+，0M）是一个交换幺半群。称（M，+，0M）是一个（R,S）-双半模，如果M既是一个左R-半模，又是一个右S-半模，且满足∀m∈M，r∈R，s∈S，均有（rm）s=r（ms）

定义3[12]设R是一个交换半环，（A,+,·，0,1）是一个半环。如果（A,+,0）是R上的一个左半模，且满足∀r∈R，x，y∈A，均有r（xy）=（rx）y=x（ry），则称A是R上的一个代数。

设A是R上的一个代数，A的一个非空集合B称为A的一个子代数，如果对任意的b，b'∈B, r∈R,均有b+b'，bb'，rb∈B。

定义4设A是R上的一个代数，M是一个A-双半模，Δ：A→M是A到M的一个映射。如果对于任意a，b∈A，r∈R，均有Δ（a+b）=Δ（a）+Δ（b），Δ（ra）=rΔ（a），则称Δ是一个R-线性映射。

定义5设A是R上的一个代数，M是一个A-双半模。

（1）设τ：A→M是一个R-线性映射，如果对于任意a，b∈A均有τ（ab+ba）=τ（a）b+aτ（b）+τ（b）a+ b（τ）a，则称τ是一个Jordan导子。

（2）设Δ：A→M是一个R-线性映射，如果存在Jordan导子τ，使得对于任意a，b∈A，均有Δ（ab+ba）=Δ（a）b+aτ（b）+Δ（b）a+bτ（a），则称Δ是一个广义Jordan导子，τ称为相关的Jordan导子。

（3）设ψ1：A→M是一个R-线性映射，如果对于任意a，b∈A，均有ψ1（a）b=ψ1（a）b+aψ1（b），则称ψ1是一个导子。

（4）设d：A→M是一个R-线性映射，如果存在导子ψ1，使得对于任意a，b∈A，均有d（ab）= d（a）b+aψ1（b），则称d是一个广义导子，ψ1是称为相关的导子。

（5）设δ：A→M是一个R-线性映射，如果对于任意a，b∈A，均有δ（ab）=δ（b）a+bδ（a），则称δ是一个反导子。

定义6设R是一个交换半环，Mn（R）是R上所有n阶矩阵组成之集，对于a∈R，A=（aij），B=（bij）∈Mn（R），定义A+B=（aij+bij）n×n，

不难验证，Mn（R）对于矩阵的加法与纯量乘法构成一个左R-半环，称为交换半环R上的矩阵半模，其零元是n阶零矩阵O。而Mn（R）对于上述3个运算构成交换半环R上一个代数，称为交换半环R上的矩阵代数。再设Tn（R）是交换半环R上的所有n阶上三角矩阵组成之集，Dn（R）是交换半环R上的所有n阶对角矩阵组成之集，用Eij表示第（i，j）处元素为1，其余元素均为0的m×n矩阵。不难证明Tn（R）和Dn（R）都是矩阵代数Mn（R）的子代数。

本文假设所有的半模M都是2-非挠的，即对于任意的a，b∈M，如果2a=2b，那么a=b。

2　主要结果及其证明

引理1设R是一个交换半环，A是R上的一个代数，M是一个A-双半模，Δ：A→M是一个广义Jordan导子，τ是相关的Jordan导子，那么

（1）∀a∈A，均有Δ（a2）=Δ（a）a+aτ（a）；

（2）Δ（0）=0.

证明：（1）由广义Jordan导子的定义，∀a，b∈A，Δ（ab+ba）=Δ（a）b+aτ（b）+Δ（b）a+bτ（a）。现令a=b，则有2Δ（a2）=2（Δ（a）a+aτ（a））。因为半模M是2-非挠的，所以Δ（a2）=Δ（a）a+aτ（a）。

（2）Δ（0）=Δ（02）=Δ（0）·0+0·Δ（0）=0。

引理2[3]设R是一个交换半环，M是一个Tn（R）-双半模且满足∀a∈M，由a+a=a可推出a= 0，τ：Tn（R）→M是一个Jordan导子。那么存在一个导子φ1：Tn（R）→M和一个反导子δ1：Tn（R）→M且δ1（Dn）=0，使得τ=φ1+δ1，其中Dn是对角矩阵，且对1≤i≤j≤n，δ1（Eij）=δ1（Eij）eii=Ejjδ1（Eij）。

定理1设R是一个交换半环，M是一个Tn（R）-双半模且满足∀a∈M，由a+a=a可推出a=0，Δ：Tn（R）→M是一个广义Jordan导子，τ是相关的Jordan导子，那么存在一个广义导子d：Tn（R）→M和一个反导子δ：Tn（R）→M且δ1（Dn）=0，使得Δ=d+δ。

证明：作一个R-线性映射Tn（R）→M，满足对于任意1≤i≤j≤n，均有d（Eij）=Δ（Eii）Eij+Eiiφ1（Eij）与一个R-线性映射δ：Tn（R）→M，满足

则有Δ=d+δ。

事实上，（1）当1≤i=j≤n时，

d（Eii）=Δ（Eii）Eii+Eiiφ1（Eii）（由d的定义）

=Δ（Eii）Eii+Eiiφ1（Eii）+Eiiδ1（Eii）(由引理2可知δ1（Eii）=0）

=Δ（Eii）Eii+Eii（φ1（Eii）+δ1（Eii））=Δ（Eii）Eii+Eiiτ（Eii）（由引理2，τ=φ1+δ1）

=Δ（E2ii）（由引理1（1))

=Δ（Eii）

(2)当1≤i＜j≤n时,

Δ（Eij）=Δ(EiiEij+EijEii)

又由于Δ，d，δ都是R-线性映射，所以Δ=d+δ。

下证d：Tn（R）→M是一个关于φ1的广义导子，而δ：Tn（R）→M是一个反导子。

1.证明d：Tn（R）→M是一个关于φ1的广义导子。

首先证明对任意的1≤i≤j≤n和1≤k≤l≤n，均有d（EijEkl）=d（Eij）Ekl+Eijφ1（Ekl）。

由d的定义有，d（Eij）Ekl+Eijφ1（Ekl）=（Δ（Eii）Eij+Eiiφ1（Eij））Ekl+Eijφ1（Ekl）=Δ（Eii）EijEkl+Eiiφ1（Eij）Ekl+Ei-jφ1（Ekl）=Δ（Eii）EijEkl+Eii（φ1（Eij）Ekl+Eijφ1（Ekl））=Δ（Eii）EijEkl+Eiiφ1（EijEkl）。

（1）j≠k时，d（EijEkl）=0，d（Eij）Ekl+Eijφ1（Ekl）=Δ（Eii）EijEkl+Eiiφ1（Eij）Ekl=0。

（2）j=k时，d（EijEkl）=d（Eil），d（Eij）Ekl+Eijφ1（Ekl）=Δ（Eii）Eil+Eiiφ1（Eil）=d（Eil）。

由（1），（2）知，对任意的1≤i≤j≤n和1≤k≤l≤n，均有d（EijEkl）=d（Eij）Ekl+Eijφ1（Ekl）。

对任意的a，b∈Tn（R），设bklEkl，其中aij，bkl∈R，那么d（a）b+aφ1（b）=d。这样d：Tn（R）→M是一个关于φ1的广义导子。

2.证明δ：Tn（R）→M是一个反导子，且δ=δ1。

要证δ=δ1，只要证明对任意的1≤i≤j≤n，有δ（Eij）=δ1（Eij）。

（1）当1≤i=j≤n时，由引理2及δ的定义可知，δ（Eii）=0=δ1（Eii）。

（2）当1≤i＜j≤n时，

δ（Eij）=Δ（Eij）Eii+Eijφ1（Eii）（根据δ的定义）

=Δ（EjjEij+EijEjj）Eii+Eijφ1（Eii）

=(Δ（Ejj)Eij+Ejjτ（Eij）+Δ（Eij）Ejj+Eijτ（Ejj）)Eii+Eijφ1（Eii）(根据Δ的定义）

=Ejjτ（Eij）Eii+Eijτ（Ejj）Eii+Eijφ1（Eii）（EijEii=0，EjjEii=0）

=Ejj（φ1（Eij）+δ1（Eij））Eii+Eij（φ1（Ejj）+δ1（Ejj））Eii+Eijφ1（Eii）（由引理2，τ=φ1+δ1）

=Ejjφ1（Eij）Eii+Ejjδ1（Eij）Eii+Eijφ1（Ejj）Eii+Eijφ1（Ejj）（由引理2，δ1（Ejj）=0）

=Ejjφ1（EiiEij）Eii+Ejjδ1（Eij）Eii+Eij（φ1（Ejj）Eii+Ejjφ1（Eii））（因为Eij=EiiEij，Eij=EijEjj）

=Ejj（φ1（Eii）Eij+Eiiφ1（Eij））Eii+Ejjδ1（Eij）Eii+Eijφ1（EjjEii）（φ1是导子）

=Ejjδ1（Eij）Eii(EjjEii=0,EijEii=0)

=δ1（Eij）(引理2，δ1（Eij）=δ1（Eij）Eii=Ejjδ1（Eij））。

所以δ=δ1，且δ是一个反导子。

推论1[1]设R是一个交换幺环，M是一个2-非挠的Tn（R）双模，Δ：Tn（R）→M是一个Jordan导子，那么存在一个导子d：Tn（R）→M和一个反导子δ：Tn（R）→M，使得Δ=d+δ且δ（Dn）=0，其中Dn时对角矩阵。

[1］HERSTEIN IN．Jordan derivationsof prime rings［J］．Proc Amer Math Soc，1957（8）：1104－1110．

［2］BENKOVIC D．Jordan derivationsandantiderivationson triangularmatrices［J］．Linear Algebra Appl，2005，397：234－244．

［3］庄金洪，谭宜家．关于上三角矩阵代数的Jordan导子［J］．福州大学学报：自然科学版，2012，40（6）：707－712．

［4］邵霞，纪培胜，滕飞．上三角矩阵代数的广义Jordan导子［J］．青岛大学学报：自然科学版，2008，21（2）：18－21．

［5］MA FEI，JIGUOXING．Generalized J ordan derivation on triangular algebra［J］．Linear and Multilinear Algebra，2007，55：355－363．

［6］张建华．套代数上的Jordan导子［J］．数学学报，1998，41：205－212．

［7］BRESAR M．Jordan derivations onsem iprime rings［J］．JAlgebra，1989，127：218－228．

［8］余维燕，张建华．完全矩阵代数上的广义导子［J］．山东大学学报：理学版，2010，45（4）：86－89．

［9］WU JING，LIU SHI JIE．Generalized jordan derivations on primes rings and standard operator algebras［J］．Taiwanese Journal of Mathematics，2003，7（4）：605－613．

［10］GOLAN JS．Sem irings and their applications［M］．London：Kluwer Academ ic Publisher，1999．

［11］JACOBSON N．Basic algebra I［M］．New York：wH Freeman and Company，1985．

［12］陈培慈．半环理论与语言和自动机［M］．南昌：江西高校出版社，1993．

(责任编辑：朱联九）

Generalized Jordan Derivations of Upper Triangular Matrix Algebra Over Commutative Sem irings

ZHUANG Jin-hong
(Department of Basis Course,Fujian Commercial College，Fuzhou 350012，China)

Let R be a commutative semiring，and let Tn（R）be a upper triangularmatrix algebra over R,it is proved that erery generalized Jordan derivation from Tn（R）into its bisem imodule is the sum of a generaliazed derivation and an antiderivation.

commutative sem iring；upper triangularmatrix algebra；generalized Jordan derivation;generalized derivation;antiderivation

O153.3

A

1673-4343（2015）06-0007-04

10．14098／j．cn35－1288／z．2015．06．002

2015-05-27

福建省自然科学基金项目（2013J05005)（JA13402)；福建商业高等专科学校科研项目（SZ201409B）

庄金洪，男，福建莆田人，讲师。主要研究方向：矩阵代数。