电磁场课程中矢量分析的教学研究

丁攀峰

摘要：基于长时间的教学实践和总结，将实际的范例与数学公式的讲解相结合，提出了电磁场课程中矢量分析的教学新思路。按照新的教学方法，学生可以较为深入地理解矢量分析基础的内涵，奠定学习电磁场的理论基础。

关键词：电磁场；矢量分析；实际范例

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）15-0136-02

一、引言

对于电子、信息、通信、光学专业的大学生而言，电磁场一直都是相对比较难学的一门课程，同时也是高等学校电子、通信工程等专业本科生必修的课程[1-4]。通过实际教学中的调研，可以发现，大多数学生对电磁场理论的基础部分—矢量分析缺乏深入的认识，从而带来理解上的困难，最终在学习电场、磁场、电磁波的过程中产生难以剔除的障碍，更为严重的是：由于缺乏对矢量分析这一基础的理解，在学习的过程中逐渐失去兴趣和信心。基于此种现状，本文依据多年的实际教学总结，提出矢量分析教学中的新方法，意在探讨更切合教学实际的教学思维和方案。

二、实际范例与数学相结合

鉴于矢量分析部分的内容难以理解、缺乏具体生活及实际感受的特点，因此从实际的感受出发，引领学生对基本概念深入理解则显得非常重要[5]。本文探讨实际范例与数学理论教学相结合的教学模式，从实际范例的选择、具体数学公式的切入点两个方面来说明该教学模式的具体操作办法。按照矢量分析中知识点的基本特点，可以分为两个层次，第一层次知识点为标量积与矢量积，第二层次为三角算符及衍生算符（包含梯度、散度、旋度）。以下内容以目前矢量分析中的基本概念为例，来说明实际范例与数学相结合的具体方案。

1.第一层次：标量积与矢量积。标量积与点乘对应，矢量积与叉乘对应。其中，标量积的数学计算为分量乘积的代数和，矢量积的计算为行列式的计算。标量积的理解相对容易一些，因为在中学的学习中，力学做功的物理概念得到了比较深入的诠释，做功这一范例，正好可以作为点乘运算的经典，所以理解点乘很容易。但值得注意的是，单纯停留在这一理解层次是不够的，点乘还有一个定义：一个矢量在另一个矢量方向上的投影与该方向上矢量的代数乘积。这一定义在逻辑理解上是很直观的，但在教学中，教师有必要在公式上证明：无论在二维还是三维空间，按照上述定义计算推导的点乘结果，与前面所述“标量积的数学计算为分量乘积的代数和”完全等价（二维空间的证明简单，三维空间的证明可在二维的基础上进行），如此，学生可以将对点乘的理解上升到一个新的高度。

与标量积不同，矢量积的理解则要困难一些，这与中学教学中的侧重点有关。矢量积的最简化描述可以用这样一个范例表示：一个x方向上的矢量与一个y方向上的矢量叉乘，得到一个大小等于xy的z方向上的矢量（满足右手定则）。以上内容对于已经熟悉叉乘的人来说，是很浅显易懂的，但对于不熟悉的人而言，则比较困难，因为叉乘的结果是一个矢量，既有大小也有方向，其大小和方向都需要解释清楚才能让叉乘的概念容易被接受。为了解释叉乘，一个经典的范例是力矩（或力偶），学生对这一概念有具体的生活感受，比如旋转螺丝等转动模型（力的方向不一致，螺丝的上升方向相反），转动轴到着力点的位置矢量定义为r，力定义为F，则力偶记为r×F，生活实际中最具体的感受是：r与F垂直时，力偶的效果最明显。这一感受可以作为理解力偶大小的基础，而螺丝旋向可以作为理解力偶方向的基础。有了这两个方面的理解，前面所述的“x方向上的矢量与y方向上的矢量叉乘，得到一个大小等于xy的z方向上的矢量”显得就比较清晰了。当然，这一层面是理解叉乘的基础，教学中，必须注意到，叉乘的运算可以用行列式表示，也可以这样描述：两个矢量叉乘，其结果的方向为第一个矢量到第二个矢量满足右手定则的方向，其结果的大小等于两个矢量的模与其夹角正弦函数的乘积。因此必须在数学上证明：两个表述或者计算结果是等价的（在三维空间中证明），如此，学生对叉乘的理解也可以上升到一个新的高度。

2.第二层次：三角算符与梯度、散度、旋度。三角算符相关的主要概念包含梯度、散度、旋度，学生对算符本身这一概念很难接受，其原因是接触甚少，因此在教学中首先应该清楚地指出：三角算符是助记符，它的功能就是进行矢量微分运算，其使用是为了书写的简洁，这一点其实和初等代数中的算数平方根符号是类似的，只是两者的功能与作用对象不同。

梯度的概念是三角算符直接作用于一标量函数，结果为一矢量，这一点在数学上很容易解释，但理解相对要困难一些。教学中可以给出一个实际的范例：在一个温度场中，如冬天房间中放置一取暖器，热稳定后，房间形成了稳定的温度分布（等温度面形成），一只聪明的小飞虫从门缝飞入取暖，它的飞行路线会垂直穿越等温面以靠近取暖器，路线的方向与温度场的梯度方向平行。如果小飞虫在空间中某一点往其他方向飞行，这个方向就是方向导数的方向，只有当该飞行方向与该点的温度场梯度方向平行时，方向导数值才能达到最大，以上解释与数学上梯度的运算是完全相符的。如此，学生基本上能够对梯度同时产生感性与理性认识。需要指出的是：解释梯度时，不建议采用重力场作为范例，这一点在实际教学中容易被忽略，原因在于：重力场不是标量场，严格来说应该选择高度场，两者的对应关系不适合在此教学阶段给出说明，放在后面场的分类这一教学部分更加合适。

散度的概念比梯度要复杂，其含义为某一矢量场在单位体积里面的通量，这里包含另一个概念“通量”，要想解释清楚散度，必须先解释清楚通量。通量的概念是直观的，其含义为矢量场与穿过面（有向曲面，为矢量面）的标量积（点乘）。学生对水流通量和光照通量有实际感受与体验，此时可以借助水流通量，光照通量的例子来说明通量的含义。如果学生对有向曲面的理解不够清楚，则需要帮助学生回忆并加深“有向面元”的概念。当通量能够被学生深入理解后，可以开始散度的讲解，仍然可以选择光照的例子来解释散度，此时必须特别注意一个问题（这个问题很多教师觉得本该如此，微不足道，不需说明，实际上非常重要）：散度概念中的通量和前面所属的通量略有不同，这个通量具有特殊性，它特别强调此时的“矢量面”是一个封闭曲面，因为散度的定义本身就是单位体积上的通量，体积从何而来，就是从通量中的“封闭的矢量面”而来。如果不强调这一点，散度定义中的“通量”和“体积”之间的联系容易被忽视。在此基础上，可以选择光照的例子来解释散度，具体可以选择两个模型：（a）将光源置于某一封闭曲面中间；（b）将光源置于某一封闭曲面之外。容易判断，后者的通量为0，因为，从曲面一段进入的光通量在另一端穿出，对于封闭曲面而言，总的光通量为0，此时得到的散度（这一概念在此处不够严谨，但可以帮助理解）为0，究其原因：光源不在里面，换言之，封闭曲面中没有发光体。相反，（a）模型中的散度不为0，封闭曲面中包含发光体。如此对比，学生可以从感性的角度认识到：一个矢量场的散度，实际上是在找寻自己（矢量场）的“源”，当然为了严格起见，最后必须从“单位体积”上的通量来说明散度，即从极限和微积分的对应关系来解释。

从物理学的角度来看，旋度定义为一个矢量，其大小为单位面积上环量的极大值，其方向为环量极大值时、对应封闭曲线的满足右手定则的方向。从实际的教学经历来看，旋度更加难以理解，也更难以从一个通俗易懂的角度进行解释。要想解释旋度，必须首先解释环量。而环量的概念“非直观”，理解比通量要困难，实际生活中能够给出这个概念的范例少之又少，只能选择诸如“龙卷风、水流漩涡”的例子，而且开始讲解时必须强调：置于“龙卷风、或水流漩涡”中的微小树叶能够获得动能，就是“龙卷风、或水流漩涡”中的速度场具有环量的结果，即：此时“龙卷风、或水流漩涡”对环绕一周的微小树叶做功，这一点可以与“重力场”对比，物体在重力场中环绕一周是不能获取能量的，换言之，此时重力场不做功。如此，可以让学生理解“环量”。其次，需要解释“其方向为环量极大值时、对应封闭曲线的满足右手定则的方向”，这里最重要的是要解释“极大值”的问题。为了说明这个特别的“极大值”，仍然需要在“龙卷风、或水流漩涡”的范例中说明，选择具有相同面积、不同方向的有向面元（面元对应的包络线即为有向封闭曲线）进行对比，例如在“水流漩涡”中，在有向面元的形状和面积完全相同时，改变这个面元（有向封闭曲线）的方向，其环量是肯定不一样的，一定存在一个极大值（生活中有感受，就是眼睛看到的漩涡），此时对应一个封闭曲线的方向（满足右手定则）就是旋度的方向。把这个方向作为旋度的方向，其实是一个选择，因为只有这个方向，才能展现这个场的特质。数学上对旋度的解释比较复杂，我们会另文说明。

三、总结

从实际的教学经历出发，总结了电磁场矢量分析部分教学中的问题与难点，通过长时间的总结，提出了关于矢量积、标量积、三角算符及衍生概念的教学新思路，新思路中强调学生的主观体验与数学公式上的结合，有望加深学生对矢量分析的认识，奠定学习电磁场的基础。

参考文献：

[1]周宏威，张少如，黄晓舟，等.电磁场课程理论及实践教学改革[J].实验室研究与探索，2013，（8）：102.

[2]张平娟，丁西明.“电磁场与电磁波”课程教学内容优化与教学方法分析[J].中国电力教育：下，2012，（10）：48-48.

[3]杜勇，庄铭杰，马中华，等.电磁场与微波课程体系改革与内容优化[J].集美大学学报，2013，13（4）：120-124.

[4]刘万强，孙贤明，王海华.电磁场与电磁波实验教学的探索与实践[J].大学物理，2012，（12）：07.

[5]贾雁飞，赵立权，陈晓娟.电磁场与微波技术课程教学方法研究[J].吉林化工学院学报，2013，29（12）：43-45.