例谈反比例函数K值的求解策略

王杰

摘要：探索定值三角形与定值矩形面积转化问题的求解策略、探索坐标系中特殊四边形的面积与定值矩形面积的倍数关系、探索反比例函数图象单支上双交点问题的解题策略与方法。

关键词：反比例；函授；策略

中图分类号：G633.6 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2015）09-0172-02

近年来有关反比例函数的问题愈加活跃在中考舞台上，并呈现出愈加灵活、有深度和难度的趋势。而有关反比例函数K值的求解问题更是成为众矢之的。下面本人就近年的各省市出现的有关K值的求解问题加以归类和总结。

一、同底等高类

此类问题是基于K的几何意义和结合同底等高的三角形面积相等和同底等高的平行四形（或矩形）的 面积相等来出题的。

（一）同底等高三角形类

1.如图1，A是反比例函数y= 图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，则△ABP面积为 。

2.如图2，已知反比例函数= 和= ，点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，点P为X轴上任意一点，连接PC、PB。则△BPC的面积为 。

3.如图3，过x轴正半轴任意一点作x轴的垂线，分别与反比例函数y1=和y2=的图像交于点A和点B。若点C是y轴上任意一点，连结AC、BC，则△ABC的面积为 。

解析：在图2中如果以y轴为轴对拆其中一条函数的图象就会由k值求和问题转化为图3中的k值求差的问题，同样在图3中如果以x轴为轴对拆其中一条函数的图象就会由k值求差的问题转化为图2中k值求和的题。

总结：（1）图形1類问题利用公式S△ABP=S△AOB=

（2）图形2类问题利用公式：

S△BCP=S△BOC= +

（3）图形3类问题利用公式：

S△ABC=S△AOB= -

（二）同底等高类平行四边形问题

1.如图4，点A是反比例函数y=- （x<0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为 。

2.如图5，点A是反比例函数y= （x>0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=- 的图象于点B，以AB为边作？荀ABCD，其中C、D在x轴上，则S？荀ABCD为

。

解析：图4中平行四边形ABCD的面积=矩形AMOD的面积=6；图5中平行四边形ABCD的面积=矩形ABMN的面积=|k1|+|k2|=3+2

二、图象与矩形相交类

1.如图6，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y= 的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是 。

2.如图7，反比例函数y= （x>0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为 。

解析：此类问题最明显的特点是反比例函数的图象与矩形的两边相交且经过对角线的中点。本类问题求解的通法是利用大矩形的面积是定值矩形面积的4倍列方程。

三、图象单支双交点类

1.（2013·泸州）如图8，已知函数y= x与反比例函数y= （x>0）的图象交于点A.将y= x的图象向下平移6个单位后与双曲线y= 交于点B，与x轴交于点C.

（1）求点C的坐标；

（2）若 =2，求反比例函数的解析式。

2.（2010·兰州）如图9，P1是反比例函数y= （k>0）在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为（2，0）.

（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？

（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标。

解析：此类问题的特点是双曲线的一条分支与图形有两个交点，利用坐标绝对值的比值和三角形的相似比设出线段长，然后利用k值相等列方程。

以上是本人结合近年的中考试题总结出来的关于反比例函数k的几何意义的解题策略，需要说明的是由于这一知识点越来越成为各地市出题的热点，所以题目的灵活性越来越强，鉴于此本文对于k的探讨也不可能穷尽所有问题，因而需要我们善于把出现的新问题转化入已有的知识体系中，用已有的知识体系去解决，这才是以不变应万变的所在，也是我们学习数学方法的真正所在。